水力學量綱分析與相似理論

量綱分析法是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學地表達物理過程是十分有益的。兩個規(guī)模不同的流動相似是流體力學試驗時必須面對的問題。本章在量綱分析法的基礎上探討流動的相似理論，對流體力學試驗研究有重要的指導意義。第六章量綱分析與相似理論1可編輯版§6—1量綱分析§6—2相似理論第六章量綱分析與相似理論2可編輯版§6—1量綱分析

一.量綱、無量綱量在量度物理量數(shù)值大小的標準（單位）確定之后，一個具體的物理量就對應于一個數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的量的特征。

量綱是指物理量所包含的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示物理量的類別，是物理量的質(zhì)的特征。3可編輯版基本量綱具有獨立性，比如與溫度無關(guān)的動力學問題可選取長度[L]、時間[T]和質(zhì)量[M]為基本量綱?；玖烤V誘導量綱量綱誘導量綱可由量綱公式通過基本量綱導出稱為量綱指數(shù)則x為幾何學的量則x為動力學的量則x為運動學的量如運動粘性系數(shù)動力粘性系數(shù)4可編輯版無量綱（量綱為一）量相同量綱量的比值幾個有量綱量通過乘除組合而成如角度，三角函數(shù)定義：物理量的所有量綱指數(shù)為零如壓力系數(shù)5可編輯版正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其各項的量綱指數(shù)都分別相同。

二.量綱和諧原理任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學關(guān)系式，其數(shù)學形式不隨單位制變換而改變形式?？陀^物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達。

6可編輯版物理過程的有量綱表達形式為，其中m個物理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m個物理量可各自與這m個物理量組合成無量綱量，

定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達形式為

三.定理物理過程涉及n個物理量，其中有m個物理量的量綱是互相獨立的，選這些量綱為基本量綱，可組成n-m個無量綱量，物理過程則可由這n-m個無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。7可編輯版例初速為零的自由落體運動位移ss～g,tg,t選為基本量綱三個量只能組成一個無量綱量s/gt2初速為零的自由落體運動規(guī)律s/gt2=C做一次實驗測得C=1/2，就不用再做類似實驗，包括在月球上做實驗。8可編輯版從無量綱表達看，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實涉及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達來，無量綱表達更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實質(zhì)，也更具普遍性。應用

定理要點（也是難點）在于：確定物理過程涉及的物理量時，既不能遺漏，也不要多列。

9可編輯版本節(jié)在量綱分析基礎上，討論兩個規(guī)模不同的不可壓流體流動的相似問題。這是進行有關(guān)流體力學模型試驗時必須面對的問題。§6—2相似理論

一.流動相似概念

幾何相似：流場幾何形狀相似，相應長度成比例，相應角度相等。幾何相似還可認為包括流場相應邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。長度比尺10可編輯版11可編輯版

運動相似：以幾何相似為前提。流體質(zhì)點流過相應的位移所用時間成比例。在對應瞬時，流場速度圖相似，即相應點速度大小成比例，方向相同。長度比尺時間比尺12可編輯版長度比尺時間比尺

動力相似：在對應位置和對應瞬時，流場中各種成分的力（時變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應點力的大小成比例，方向相同。并且五種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。作用力比尺13可編輯版在兩個相似流動中，對應的無量綱量是相同的。不可壓流體的流動都受N-S方程的控制，那么我們怎樣來保證兩個不同規(guī)模的流動是相似的呢？兩個相似的不可壓流體流動的無量綱解應是相等的，這意味著控制流動的無量綱方程和無量綱邊界條件和初始條件應是完全一樣的。

二.相似準則用流動的時間、長度、流速和壓強特征量，將方程的自變量和應變量無量綱化：帶‘～’的量成為無量綱量。14可編輯版將無量綱變量代入連續(xù)方程N-S方程得到無量綱方程和其中15可編輯版另一方面，也要將定解條件無量綱化，即給出在無量綱邊界上的邊界條件及在無量綱時間初值時的初始條件。接著再將無量綱N-S方程對流項前的系數(shù)歸一，得到必須相等。它們都是無量綱量，分別反映了時變慣性力、重力、壓差力和粘性力在流動的動力平衡中相對于位變慣性力的重要性。相似流動的無量綱方程和邊界條件、初始條件應該完全一樣，所以兩個相似流動對應的16可編輯版根據(jù)上面得到的四個無量綱量（有的作了取倒數(shù)、開方等改形）得到流動的相似準數(shù)：斯特勞哈爾數(shù)弗勞德數(shù)歐拉數(shù)雷諾數(shù)它們分別是時變慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的準數(shù)。17可編輯版時變慣性力位變慣性力表征斯特勞哈爾數(shù)弗勞德數(shù)歐拉數(shù)雷諾數(shù)位變慣性力重力位變慣性力粘性力位變慣性力壓差力表征表征表征18可編輯版流動的特征量一般應取流動中容易測量到的、能顯著體現(xiàn)流動特征，或者對流動起到重要控制作用的量。如這些特征量常取在邊界處，使相似準數(shù)中自然融進邊界條件的相似。

T取為周期性運動的周期U取為無窮遠方來流速度P取為與無窮遠方的壓差L取為繞流物體的特征長度或圓管直徑19可編輯版

相似準則：重力相似準則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等非恒定相似準則：保證兩現(xiàn)象的斯特勞哈爾數(shù)相等壓差力相似，即歐拉數(shù)相等往往是兩現(xiàn)象動力相似的結(jié)果粘性相似準則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等20可編輯版

三.相似理論的應用在相似的條件下進行實驗應該測量實驗結(jié)果無量綱表達式包含的所有物理量實驗結(jié)果應整理成以相似準數(shù)和其它無量綱量來表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實驗結(jié)果只能應用于相似現(xiàn)象之間。在什么條件下進行實驗?應該測量哪些物理量?實驗結(jié)果如何應用?如何進行實驗?21可編輯版可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變g和

.而我們知道改變g是不大可能的（由此可知為什么有些實驗要在航天飛機上