吉林省延邊州2022年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1.已知/（x）=log2（x—1）+JX2—2X+4,若/（+則x的取值范圍為（）

（1-小1+忖

A.（-oo,0）u（l,+oo）122J

席。仲￥）

D.（-l,0）U（l,2）

2.已知同=2及，5=3,a,b夾角為（，如圖所示，若通=54+25，AC=a-3b>且，為5c中點，則

而的長度為（）

A

A"B如

22

C.7D.8

3.若函數(shù)尸|苗（尸1）的圖象與直線產(chǎn)2（方力有且只有2個公共點,則實數(shù)t的所有取值之和為（）

A.2B.-2

C.1D.-1

4.已知實數(shù)x,y>0,且，+y=l,則2x+』的最小值是（）

A.6B.3+2應(yīng)

C.2+3&D」+0

5.已知扇形的周長為8。加，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為

A4cm2B.6cm2

C.8cm2D.16cm?

6,若集合A={x|x<3},8={x|x〉0},則ADB二

A.{X[0<X<3}B.{X|X>0}

C.{x|x<3}D.R

7.給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

8.將紅、黑、藍(lán)、白5張紙牌（其中白紙牌有2張）隨機分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少分得1張，則下列

兩個事件為互斥事件的是

A.事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得1張紅牌”

B.事件“甲分得1張紅牌”與事件“乙分得1張藍(lán)牌”

C.事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得2張白牌”

D.事件“甲分得2張白牌”與事件“乙分得1張黑牌”

9.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖AB'C。'是邊長為2的菱形，且0'￡>'=2,則原平面圖形的周長為。

A.4五+4B.476+4

C.8五D.8

10.已知函數(shù)〃力=,2+1,X-0若/(/(0))=2a,則“的值為

log2x+a,x>0

4B-4

c.-lD.1

11.已知函數(shù)y=/(x)的圖象上的每一點的縱坐標(biāo)擴大到原來的4倍，橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，然后把所得的圖象

沿X軸向右平移5個單位，這樣得到的曲線和y=2sinx的圖象相同，則已知函數(shù)y=/(x)的解析式為

A/(x)=；sin2xB./(x)=^cos2x

C.7(x)=；sinx

D./(x)=—cosx

12.各側(cè)棱長都相等,底面是正多邊形的棱錐稱為正棱錐，正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為。，側(cè)面都是直角三角形,

且四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()

A.&兀a，B.21/

C.也兀『D.36

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.函數(shù)/(x)=lnx+JT=］的定義域為.

14.不等式log4的解集為.

15.已知一組數(shù)據(jù)王,工2,…，Z的平均數(shù)工=10,方差,尸=15,則另外一組數(shù)據(jù)3玉+2,39+2「-,3乙+2的平均數(shù)

為,方差為.

16.下列四個命題：

①函數(shù)/(幻=35畝(2%+5］與8(幻=385(2%一5)的圖象相同；

②函數(shù)/(x)=sin4x-cos'x的最小正周期是乃；

③函數(shù)/(x)=2xcosx的圖象關(guān)于直線》=71對稱;

④函數(shù)/(尤)=sin(-2x+g］在區(qū)間一展，工上是減函數(shù)

其中正確的命題是(填寫所有正確命題的序號)

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.已知函數(shù)f(x)=log2(x+3),g(x)=log)(3-九)

⑴求函數(shù)h(x)=/(x)-g(x)的定義域;

⑵判斷函數(shù)/7。)的奇偶性，并說明理由;

(3)如果/?(x)〉l,求x的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(司=幺￡±1

(1)當(dāng)4=1時，解方程lg/(2x)-lg/(x)=l-lgl6；

(2)當(dāng)xe(O,l]時，|/(2x)-"x)|21恒成立，求"的取值范圍

19.已知函數(shù)/(*)=mx2+4mx+3,m&R

＜1)若m=r求f(x)W。的解集；

(2)若方程f(x)=0有兩個實數(shù)根xj孫，且M+第—3匕犬2＞0，求,八的取值范圍?

20.已知函數(shù)〃上士-inx.

⑴求.”2)，嗎"⑻,吧

的值；你能發(fā)現(xiàn)了(X)與有什么關(guān)系？寫出你的發(fā)現(xiàn)并加以證明:

(2)試判斷了(可在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.

21.已知函數(shù)/(x)=邪sin(?x+^)+2sin2-1(啰＞0,0＜。＜乃)為奇函數(shù)，且/(x)圖象的相鄰兩對稱軸

TT

間的距離為7.

2

(1)求“X)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知〃x)在啖卑時，求方程力⑴+&⑺-3=0的所有根的和.

22.已知塞函數(shù)”x)=(〃?-1)2/毋"+2在(0,+。)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=2x-Z.

(1)求加的值；

(2)當(dāng)xw[l,2)時，記〃x),g(x)的值域分別為集合A8,設(shè)〃:若〃是4成立的必要條件，求

實數(shù)攵的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1、C

【解析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域，再解抽象不等式.

/、x—1>0

【詳解】函數(shù)/（X）的定義域需滿足$_2丫+4〉0，解得：X>1,

并且在區(qū)間（1，+8）上，函數(shù)單調(diào)遞增，且/（2）=2,

所以/（/一萬+1）一2<0=/（》2一萬+1）</（2）,

x2-x+l>1~.1+J?1-J5

即解得：1<x<或------<x<0.

x-x+l<222

故選:C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域，尤其是容易忽略函數(shù)的定義域.

2、A

【解析】AD為AABC的中線，從而有通=g（AS+定），^AAB,AC,根據(jù)長度|旗卜扁7進(jìn)行數(shù)量積的運

算便可得出入D的長度

【詳解】根據(jù)條件：A^=|（Afi+AC）=1（5a+a,26-3^=|（6a-^）=3a-1^；

故選A

【點睛】本題考查模長公式，向量加法、減法及數(shù)乘運算，向量數(shù)量積的運算及計算公式，根據(jù)公式|AD|=J后計

算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】可直接根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程W（x-l）=2x-2t有兩個根，然后利用分類討論思想去掉絕對值再利用判別式即

可求得各個t的值

【詳解】由題意得方程國（》-1）=2》-2/有兩個不等實根，

當(dāng)方程有兩個非負(fù)根時，

令xNO時，則方程為％（工-1）=2%-2乙整理得x2—3x+2t=0

A>0

b9

《一丁〉°,解得04f<u；

2a8

2r>0

當(dāng)x<0時，一/一x+2f=o

△<0,解得，<-：，故不滿足滿足題意；

O

當(dāng)方程有一個正跟一個負(fù)根時，

當(dāng)x>0時，x2-3x+2z=0?

fA=0

.9

]b>解得>

-->08

.2a

當(dāng)x<0時，方程為一/一》+2/=0,

'△=()

'b>解得f=-g:

--<08

.2a

當(dāng)方程有兩個負(fù)根時，

令x<0,則方程為一V-x+2f=0，

A>0

b]

<<0解得—<f<0,

2a8

2r<0

當(dāng)xNO,x2-3x+2r=0

9

△<0,解得，>G，不滿足題意

8

19

綜上，t的取值為-7和二，

88

因此t的所有取值之和為1,故選C

【點睛】本題是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上加了絕對值，所以首先需解決絕對值，關(guān)于去絕對值直接用分類討論思想即可;

關(guān)于二次函數(shù)根的分布需結(jié)合對稱軸，判別式，/(0)進(jìn)而判斷，必要時可結(jié)合玉+Z和王々進(jìn)行判斷

4、B

【解析】構(gòu)造2x+^=2xl1、1

+—+y=3+2盯+一，利用均值不等式即得解

yy)x7xy

【詳解】2x+-=\2x+-J-+y]=3+2xy+—>3+2>/2,

yIy八x)xy

當(dāng)且僅當(dāng)2孫=',即無=1+正，y=&-1時等號成立

切2

故選：B

【點睛】本題考查了均值不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題

5、A

【解析】利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出

【詳解】設(shè)此扇形半徑為r,扇形弧長為l=2r

則2r+2r=8,r=2,

.?.扇形的面積為1/r=r=4c>

2

故選A

【點睛】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題

6、D

【解析】詳解】集合A={x|x<3},3={xW（）},

所以A<JB=R.

故選D.

7、D

【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇.

【詳解】

當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正

確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它

們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確.綜上，真命題是②④.

故選D

【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是

中檔題.

8、C

【解析】對于A,事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得1張紅牌”可以同時發(fā)生，不是互斥事件；對于跟事件“甲分

得1張紅牌”與事件“乙分得1張藍(lán)牌”可能同時發(fā)生，不是互斥事件；對于。，事件“甲分得2張白牌”與事件“乙分得

1張黑牌”能同時發(fā)生，不是互斥事件；但。中的兩個事件不可能發(fā)生，是互斥事件，故選C.

9,B

【解析】利用斜二測畫法還原直觀圖即得.

【詳解】由題可知0'0'=A'0'=2,ZA'OZ>'=45",

6>,A,=272?還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，

則0D=20'。'=4,0A=O'A'=2形,A3=DC=2,

???AD=yJo^+OD2=J(2可+42=276.

原平面圖形的周長為4#+4.

故選：B.

10、D

【解析】/(/(0))=/(2°+l)=/(2)=l+a=2a:.a=l,選D

點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)

/(/(?))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,

然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

11、B

【解析】分析：將y=2sinx.的圖象x軸向左平移1個單位，然后把所得的圖象上的每一點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼乃姆?/p>

之一倍，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩种槐?，即可得到函?shù)y=/(x)的圖象，從而可得結(jié)果.

詳解：利用逆過程：將y=2sinx.的圖象x軸向左平移1個單位，得到y(tǒng)=c。院的圖象；

2

將y=COB的圖象上的每一點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼乃姆种槐兜玫統(tǒng)=；cosx的圖象；

將y=|COSA-的圖象上的每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼乃姆种槐兜玫統(tǒng)=gcos2x的圖象，

所以函數(shù)y=/(x)的解析式為gcos2x,故選B.

點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象變換，重點考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先

周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.

12、D

【解析】因為側(cè)棱長為a的正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，三棱錐的正方體

的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，正方體的對角線長為：舟;

所以球的表面積為：樂[,a[=3na2

故答案為D.

點睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置,

球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平

面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線，這樣兩

條直線的交點，就是其外接球的球心，有時也可利用補體法得到半徑.

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13、（0,11

【解析】根據(jù)開偶次方被開方數(shù)非負(fù)數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域得到不等式組，解出即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=lnx+J。定義域滿足:

x>0

13。解得—

所以函數(shù)f(x)=lnx+J。的定義域為(0,1]

故答案為：(0,1]

【點睛】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14、（0,2]

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由題設(shè)，可得：log,XVlog#，則0-￡2,

不等式解集為(0,2］.

故答案：(0,2］.

15、①.32②.135

【解析】由平均數(shù)與方差的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)據(jù)3%+2,3/+2,…,3x“+2的平均數(shù)為3工+2=32,方差為3?xl5=135.

故答案為：32；135

16、①?④

【解析】首先需要對命題逐個分析，利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】對于①，3sin(2x+-)=3cos(2x+---),所以兩個函數(shù)的圖象相同，所以①對；

442

對于②，/(x)=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)

=sin2x—cos2x=—cos2x,所以/5)最小正周期是丁=萬，所以②對;

對于③，因為/(x)=2xco&x,所以/(0)=(),/(乃)=—2?，/'(2萬)=4萬，

因為/(0)。/(2?)，所以函數(shù)“X)的圖象不關(guān)于直線—乃對稱，所以③錯,

TT7T

對于④，/(x)=sin(-2x+—)=-sin(2x-y),

、t,「九Q八71,冗冗、

當(dāng)xe［一不，不時，2x,

7TTT57r

所以函數(shù)/(%)=-sin(2x-y)在區(qū)間［-五,五］上是減函數(shù)，所以④對,

故答案為①?④

【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及到的知識點有利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的周期，正

弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題目.

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17、(1)(-3,3)；(2)見解析；(3)1<%<3

【解析】⑴根據(jù)真數(shù)大于零列不等式，解得結(jié)果，⑵根據(jù)奇函數(shù)定義判斷并證明結(jié)果，⑶根據(jù)底與1的大小，結(jié)合對

數(shù)函數(shù)單調(diào)性分類化簡不等式，解得結(jié)果.

x+3>0/、

【詳解】(1)由彳3_丫〉0，得一3VxV3,二函數(shù)〃(x)的定義域為(-3,3)

(2)由⑴知，函數(shù)〃(X)的定義域關(guān)于原點對稱，且/z(r)+〃(x)=0,

h(—x)=-h(x)9/.函數(shù)/z(x)奇函數(shù)

x+3

x+3---->2

(3)/?(%)=log,——->1,所以<3-x,解得1<x<3,

3—x

-3<x<3

所以1cx<3.

18、(1)x=l

,、(Hl「5

(2)

I3JU13-,+°o

【解析】（D當(dāng)a=l時，/（刈=亨，求出/（2x）,把原方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程，再利用換元法求解，即可求出結(jié)果;

3—1

_,3*_3Xt1—1

(2)|/(2x)-/(x)|>l<=>/a：2->l?|a+l|>2x-12x,令3*=/,f?1,3],Jl!)|a+l|>----對任意/e(l,3]

恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性求出g?）=r-』的最大值，再求解絕對值不等式可得實數(shù)。的取值范圍

【小問1詳解】

a-y+l3'+l

解：當(dāng)a=I時，/（x），/（2x）

3'-13T32,7

原方程等價于愴弓f(”2x\=lg1/0且/(,2x、)>0,//x、>(),

/⑴16

(可+1

(3')2+1

且>^>0,3X+1>0,所以(3')~T=5,且3'>1

喘嚓(3，)-13V-13V+1-8

y-1

『+15

令3'=/,則原方程化為大，整理得3/一10，+3=0,

O

解得r=3或/=即3'=3或3x=：（舍去），所以無=1.故原方程的解為x=l

【小問2詳解】

解：因為|/（2x）-/（x）,l,所以21,即>1

31

令3*=f，因為xe(O,l],所以re(l,3],廣一1>0

則坐￥21恒成立，即―(1,3］上恒成立，

令函數(shù)g(f)="；,因為函數(shù)'=。與曠=-；在。,3］上單調(diào)遞增，所以g⑺在(1,3］上單調(diào)遞增

Q(8/_1QQ

因為g⑶=1，g(l)=O,所以g(r)qo,5,則=所以a+］?“

解得。<一節(jié)或故4的取值范圍是(一8,-5U:300)

19、(1)^.|-3<x<-1}

(2){m|m<0或is)'

m津

【解析】(1)根據(jù)題意，解不等式產(chǎn)+打+3<0即可得答案；

(2)由題知，m=0，再結(jié)合韋達(dá)定理解過+2_3%上=(A\+x)2-。即可得答案,

x25XZX2>

(A=16m2-12m>0

【小問1詳解】

解：當(dāng)m=1時，f(x)=x2+4x4-3,

所以f(x)=A,2+4x+3=(x+3)(x+1)<0>解得一3<%<-1,

所以fCOM0的解集為3-3MxW-1?

【小問2詳解】

解：因為方程f&)=0有兩個實數(shù)根；，心，

所以「m工0'解得m<0或、s,

1A=16m2-12m>0'工

所以3，

%+x2=-4,>\必=一

所以15，解得出<0或15-

好+號一3xtx2=(小+'2)‘-5XXX2=16-—>0m>-

綜上，m的取值范圍為{m|m<0或空丫

20、(1)/(2)=1-ln2,/|+ln2?*e)=±Tne,/三+lne,/(x)與的關(guān)系:

+j=l,證明見解析

(2)〃力在(0,+。)上單調(diào)遞減，證明見解析

【解析】(D通過函數(shù)〃x)解析式計算出/(2),/(；),〃e)通過計算證明〃x)+/

1.

(2)通過芭>%2，/(%)一/(9)<0來證得/(x)在區(qū)間(0，+。)上單調(diào)遞減?

【小問1詳解】

1、1-_li=-+ln2

〃2)=-In2=--ln2,/l-n

1+225F25

1+J

1-Ine,A1

--\n-=-^—7+\ne.

1+e2"8e1+e2

1.

1—Inx,.?./(：)=1x~9

y-In—=+lnx

證明：''l+x2xi+x2

—1^--lnA+^+lrw=l.

???/(%)+/v

l+x2l+x2

【小問2詳解】

/(x)在區(qū)間((),+")上遞減.

1

證明如下：Vx,,x2€(0,+oo)且玉>%2,/(%))-/(%2)—InXj一-lnx

1+X；1+X；2

11、

l+x；1+xj一叱喙

,.<%)>x2>O,/.1+^>0,l+%2>0,x,+x2>0,X2-A^<O,O<—<1.

玉

???僧篇1＜。嶗＜。"(6/(力黃磊滬母。

在+。)上單調(diào)遞減.

???/&)＜/(x2),.-./(x)(0,

不，37，

21、(1)/(x)=2sin2x,----卜k兀,----FK7T,kwZ

44

(,2、)——11萬

6

【解析】⑴將函數(shù)變形為/(x)=2sin"+。-看J,由函數(shù)的周期及奇偶性可求解；

(2)解方程得/(幻=-石或/(》)=咚，即sin2x=-#或sin2尤=￥，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【小問1詳解】

/(%)=5/3sin(tyx+(P)+2sin2=/siMtyx+R)-cos(ox+°)=2sin(<yx+夕一看)

TT

???f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為工，

2

f