安徽省池州市青陽(yáng)縣第一中學(xué)、青陽(yáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)青陽(yáng)一中2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷滿(mǎn)分：150分時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以，故選：B2.設(shè)向量不共線(xiàn)，向量與同方向，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共線(xiàn)定理求解即可.【詳解】由向量共線(xiàn)定理得存在一個(gè)實(shí)數(shù)使成立，即則，解得或，又因?yàn)橄蛄颗c同方向，所以，即，故選：.3.已知點(diǎn)，則向量在方向上投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求投影向量公式進(jìn)行求解【詳解】，則向量在方向上投影向量故選：B4.函數(shù)具有性質(zhì)（）A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，最大值為 B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，最大值為1C.圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，最大值為 D.圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，最大值為1【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴函數(shù)的最大值為1，所以，故AC錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤，D正確故選：D.5.已知，，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，，由湊角法，利用正弦的差角公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椤殇J角，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕使蔬x：A.6.若一個(gè)圓錐的軸截面為等腰直角三角形，其側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，由直角圓錐的側(cè)面積為可求出，，再求出圓錐的高即可知，得，即可求出球的體積．【詳解】解：設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)為，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，得：若圓錐的側(cè)面積為，則，所以圓錐的高，由，解得：，所以球O的體積等于.故選：D．7.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求得正確答案.【詳解】依題意，由正弦定理得.故選：A8.已知菱形的邊長(zhǎng)為1，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）．A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，令,直接利用向量的數(shù)量積定義運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)，，，∴的最大值為．故選:D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，，則可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，由向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得，由此可得.【詳解】，可設(shè)，則，，，解得：，或.故選：AD.10.下列選項(xiàng)中，正確的有（）A.設(shè)，都是非零向量，則“”是“”成立的充分不必要條件B.若角的終邊過(guò)點(diǎn)且，則C.在中，D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算、三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、正弦定理以及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤．【詳解】選項(xiàng)A，由，可知，所以，故充分性成立；若，則，因?yàn)闉榇笥诘膶?shí)數(shù)，不一定為，所以必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要條件，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，若角的終邊過(guò)點(diǎn)且，則，解得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)樵谥校?，由正弦定理可知，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，而A，B為的內(nèi)角，，故；故可得，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，若，則，D錯(cuò)誤．故選：AC.11.有一個(gè)內(nèi)角為的三角形的三邊長(zhǎng)分別是m，，，則實(shí)數(shù)m的值不可能為（）．A.1 B. C.2 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理建立方程解出即可.【詳解】?jī)?nèi)角為所對(duì)邊為，則在三角形中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)可得：，解得或（舍）．故選：12.已知圓錐的底面半徑為，高為2，為頂點(diǎn)，，為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓錐的體積為B.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為C.圓錐截面面積的最大值為D.若圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，體積，側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，軸截面面積，外接球體積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，則：對(duì)于A，圓錐的體積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為，則，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時(shí)，此時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，截面的面積最大，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即圓錐的外接球，設(shè)圓錐外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知：，即，解得，所以外接球的體積．故D正確．故選：BD.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】將不等式看成關(guān)于的二次不等式問(wèn)題,再利用恒成立問(wèn)題解決即可.【詳解】由有,因?yàn)?故.所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于的二次復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,需要根據(jù)的范圍與二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合求解.屬于中等題型.14.已知的面積為24，P是所在平面上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的面積為_(kāi)___；【答案】12【解析】【分析】由三角形的重心的向量表示得：點(diǎn)P為△A1B1C1的重心，則SSS，由三角形面積公式得：S△PABS，S△PBCS，S△PACS，所以S△PAB：S△PBC：S△PAC＝3：1：2，又S△PAB+S△PBC+S△PAC＝24，即S△PAB＝12，得解．【詳解】解：設(shè)，，，則，即點(diǎn)P為的重心，則，又，，，所以：：：1：2，又，所以，故答案為12【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式、三角形的重心及平面向量基本定理，屬難度較大的題型．15.定義是向量和的“向量積”，其長(zhǎng)度為，其中為向量和的夾角．若，，則=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積,求出夾角,然后再根據(jù)向量積的定義,即可求解.【詳解】，,,進(jìn)而,,所以由“向量積”的定義可知:故答案為:16.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)，，利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解得，所以，故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）-1.【解析】【分析】（Ⅰ）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求得．再根據(jù)角的范圍可求得答案；（Ⅱ）根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化為關(guān)于正切的關(guān)系式，代入可得答案.【詳解】（Ⅰ）由，得．∵，∴．∵，∴，．∴，．（Ⅱ）原式∵，∴原式．18.平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，.（1）設(shè)，求m，n的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量，，，由，利用向量相等求解；（2）根據(jù)向量，，，得到和的坐標(biāo)，由求解；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，，且，所以，所以，解得；【小?wèn)2詳解】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，，因?yàn)?，所?19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且角為鈍角.（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入化簡(jiǎn)即可；（2）由可以得出，由通過(guò)正弦定理可得，再加上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩角一邊解三角形的基本問(wèn)題.【詳解】（1）∵，又，∴，∴，∵角為鈍角，∴，∴(舍去).（2）由余弦定理得，∴，又，∴，即.∴，∴由得.∵，∴面積為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，首先數(shù)題目的條件，如果沒(méi)有三個(gè)，只能算一些比值，或者角度之類(lèi)的問(wèn)題，如果有三個(gè)，就可以解這個(gè)三角形，一般把含蓄的條件轉(zhuǎn)化為直白的條件進(jìn)而求解.20.已知函數(shù)．（1）求的解集；（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式進(jìn)行三角恒等變換，然后利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解不等式.（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的定義域求值域.【小問(wèn)1詳解】解：由題意得：．由，得．根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知：解得．故的解集為．【小問(wèn)2詳解】又，，故在上的值域?yàn)椋?1.如圖，在四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）先求出，在中結(jié)合正弦定理求解即可；（2）根據(jù)題中條件運(yùn)用二倍角公式求出的值，然后在中結(jié)合余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，在中，根?jù)正弦定理知，，即，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榍?，所?因?yàn)椋?/p>