高等數(shù)學教材（文科）

前言

本書是給大學文科學生寫的數(shù)學書，內容有微積分和線性代數(shù)，是

高等數(shù)學中最基本的內容。作為給文科學生學習的教材，本書的目的不

是為了教會文科學生如何進行數(shù)學推理，掌握數(shù)學的邏輯系統(tǒng)。我們希

望用數(shù)學的思想、歷史和應用將基本內容串聯(lián)起來，使文科學生體會到

數(shù)學并不是只有抽象的令人生畏的外表，還有親切自然的一面。

通常認為數(shù)學有三個層面的意義，第一是作為理論的數(shù)學，主要是

培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，是數(shù)學研究所必須具備的；第二是作為應用

的數(shù)學，以前數(shù)學是作為一種工具在科學技術中發(fā)揮作用，而近年來數(shù)

學與計算機的結合直接成為了能創(chuàng)造財富的生產(chǎn)力了；第三是作為文化

修養(yǎng)的數(shù)學，我們從小學就開始學習數(shù)學，真正將來能從事數(shù)學理論研

究和實際應用的人畢竟還是少數(shù)，大多數(shù)人學習數(shù)學是作為訓練理性思

維能力的載體，是人的基本素質的一部分。一般我們不會要求每個學生

都能寫詩繪畫，但會要求具備藝術修養(yǎng)、文學素質。對待數(shù)學也應該如

此。

既然是基本素質，我們僅僅知道初等數(shù)學，那就很不夠了。人類進

入工業(yè)社會，數(shù)學是起了很大作用的。微積分的誕生，在很大程度上影

響了工業(yè)革命的進程，同時開創(chuàng)了人類科學的黃金時代，成為人類理性

精神勝利的標志。而微積分最重要的思想就是“極限”，這是近代數(shù)學

與初等數(shù)學的本質性的差別。作為21世紀的大學生應該要了解這一點,

不然就很難說已經(jīng)具備了數(shù)學的基本素質。這也是編寫這本書的想法。

盡管數(shù)學素質非常重要，但文科學生對學習數(shù)學還是會有一些疑

問，比如，數(shù)學在人文學科中有什么應用？

實際上在半個世紀以前的很長時間內，數(shù)學的應用還基本局限于物

理學、力學等傳統(tǒng)領域。二戰(zhàn)以后，人們將數(shù)學應用于信息、控制領域,

產(chǎn)生了“信息論”和“控制論”。發(fā)電報傳送的信息，用腦控制手去撿

東西都成為了數(shù)學研究的對象。影響更大的是美國數(shù)學家馮*諾依曼基

于數(shù)學基礎的計算機方案，從理論上為我們今天計算機的飛速發(fā)展打下

了基礎。在上世紀50年代，數(shù)學又被應用到了金融學中，誕生了數(shù)理

金融學，在以前認為只要簡單算術就可以解決問題的金融學中，用起了

大量的現(xiàn)代數(shù)學。

醫(yī)學從來就被認為是實驗科學，基本是靠醫(yī)生的經(jīng)驗去解決問題，

所謂郎中是老的好。但是在上世紀60年代誕生的“X光斷層掃描技術”,

即我們熟知的CT機，就是數(shù)學和計算機技術相結合的產(chǎn)物。CT大大

提高了疾病的診斷精度，極大地減少了對醫(yī)生經(jīng)驗的依賴，是數(shù)學直接

產(chǎn)生生產(chǎn)力的一個很好的例子?，F(xiàn)在，數(shù)學在文學、考古學等純文科領

域也有了很多的應用。如用數(shù)學方法研究文學作品的作者，典型的例子

是上世紀80年代，復旦大學數(shù)學系李賢平教授使用數(shù)學中統(tǒng)計學方法,

對紅樓夢的作者進行了研究，得出了自己的結論。在考古學中應用數(shù)學,

產(chǎn)生了新的學科：計量考古學。

總之，隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，數(shù)學必將在更多的領域中發(fā)揮作用。

縱觀這幾十年，很多偉大的發(fā)現(xiàn)，都是在傳統(tǒng)認為不需要數(shù)學的地方運

用了數(shù)學而獲得的。所以，學習數(shù)學對于文科學生來說，除了基本素質

的要求，還應該看高一層。

在文科專業(yè)中，很多學生并不喜歡數(shù)學，這是多少年來我們數(shù)學教

學總是循著定義，定理，證明這樣一條形式化的路線，中學數(shù)學基本也

是如此，甚至將數(shù)學教學變成了解題教學。這種過于死板的教學，對學

生的吸引力當然是很有限的，很多學生對數(shù)學的反感，大多源于此。在

本書中，希望通過我們的探索和努力，讓讀者對數(shù)學有一個新的認識。

本書在成書過程中參考了不少文獻和書籍，重要的都列在了本書最

后的參考文獻一欄。同時本書的編寫得到了華東師大教學建設基金的資

助，也得到了數(shù)學系很多同事的幫助，他們提出了很多非常好的意見和

建議，在此一并表示感謝。

由于試著要改變一些傳統(tǒng)，所以有些想法會有局限，也會有很多地

方存在疏漏，請廣大讀者提出批評和建議，我們一定會認真聽取衷心感

謝。

目錄

第一章微積分研究的對象一一函數(shù)

§1表示變量因果關系的函數(shù)

§2函數(shù)的實例

第二章微積分的基礎一一極限

§1數(shù)列極限的初步認識

§2數(shù)列極限的數(shù)學定義

§3數(shù)列極限的性質

§4函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性

第三章變化率和局部線性化一一導數(shù)和微分

§1函數(shù)的變化率一一導數(shù)

§2函數(shù)的局部線性化一一微分

§3微分中值定理和導數(shù)的應用

第四章變量的累加問題一一積分

§1艱難的探索一一古代求曲邊圍成圖形面積的例子

§2告別手工作坊，走近定積分

——定積分的概念和性質

§3原函數(shù)和微積分基本定理

§3定積分的應用

第五章進一步的應用一一從微分到微分方程

第六章處理線性關系的數(shù)學一一線性代數(shù)

§1行列式

§2線性方程組的求解

§3矩陣與線性方程組的解

第一章微積分研究的對象一一函數(shù)

函數(shù)是微積分研究的對象，要學習微積分，首先要了解函數(shù)。由于

在中學階段已經(jīng)學習了函數(shù)的相關知識，對于函數(shù)的基本概念讀者應該

都是熟悉的。所以本章將對函數(shù)作一個概括，給出一些理解性的論述。

§1表示變量因果關系的函數(shù)

1.1函數(shù)的概念

世間出現(xiàn)的各種變量之間，有些是有聯(lián)系的，有些則沒有。函數(shù)表

達的就是變量之間的因果關系，是用來描述事物（變量）關系變化的工

具。我們熟悉的一元函數(shù)就是兩個變量的相互關系，如圓的面積S與它

的半徑r這兩變量就有關系5=不產(chǎn)。半徑定了，面積自然定了（對于半

徑r,有唯一確定的面積S）。因此這個變量r就稱為自變量，S的變化

是由于「的變化引起的，就稱為因變量。產(chǎn)生S的法則（公式S=萬產(chǎn)）

就稱為對應法則。在一般情形下，對應法則往往用/表示。因此函數(shù)的

表示式就是

y=/（x），xeD

這里x是自變量，y是因變量，x的取值范圍。稱為函數(shù)的定義域,

因變量的取值范圍稱為值域。中學數(shù)學告訴我們，一個函數(shù)由它的定義

域和對應法則唯一確定，因此值域并不是一個函數(shù)的獨立的要素。

函數(shù)的英語名稱是“function"，所以為什么我們習慣用/表示函數(shù)

也就清楚了。實際上，用其他字母表示函數(shù)也是一樣的。

從上面的討論可以知道，函數(shù)的表達式是函數(shù)對應法則的代數(shù)解

釋。

在中學階段我們就已經(jīng)知道，一個函數(shù)可以與直角坐標中的一條曲

線相對應，這條曲線稱為該函數(shù)的圖形或圖像，這就是對應法則的幾何

解釋。如函數(shù)＞的圖形就是圖1.1表示的曲線。

圖1.2勒奈?笛卡爾

(ReneDescartes)

X

一條幾何曲線可以用某個函數(shù)來表示，這是在笛卡爾（法國數(shù)學家,

1596-1650,圖1.2）創(chuàng)立直角坐標系以后的事情。也正是笛卡爾，將代

數(shù)和幾何結合在一起，建立了解析幾何。代數(shù)（公式）和幾何（圖形）

的相互轉化，極大地促進了數(shù)學的發(fā)展，同時也大大增加了數(shù)學的應用

性。在這之前，代數(shù)和幾何是兩碼事，沒有代數(shù)幫忙的歐氏幾何（中學

稱為平面幾何），大家都已經(jīng)領教過它的困難！直角坐標系的建立是近

代數(shù)學的起點，為微積分的創(chuàng)立打下了基礎。

1.2函數(shù)的表示

在以往的學習中，我們比較熟悉函數(shù)的解析表示法（或稱公式法）,

即函數(shù)的兩個變量之間的關系用一個公式來表示，如線性函數(shù)

y^ax+b-,幕函數(shù)y=or"；三角函數(shù)丁=sinx等等。但有時兩個變量盡

管有聯(lián)系，但卻很難找出一個公式來表示它們之間的函數(shù)關系，比較常

見的例子是氣溫C與時間，的關系，不同時間有不同的溫度，可以畫出

圖，也可以列出表，但卻找不到合適的解析式來表示這個關系。但它是

一個函數(shù)，因為在某一個時間f0,有唯一確定的溫度C。與對應。所以，

函數(shù)還可以用一個表格（數(shù)值的方法）表示（見表1.1）,或者用一個曲

線的圖形來表示（見圖1.3）。

表1.12010年9月8日從9點到24點上海世博會入園人數(shù)（單位：千人）

時間t910II1213141618202224

入園人數(shù)L0141190202209214224241249250250

用圖形表示函數(shù)：直角坐標中的一條曲線，當任何垂直于X軸的直

線與該曲線最多只有一個交點時，這條曲線就表示一個函數(shù)。

圖1.3中函數(shù)的定義域。是曲線在X軸上的投影口；對應法則是

這樣的，在定義域中任取一點小€團,回，過點與與X軸的垂直的直線與

曲線交于唯一的一點M0（Xo，X））,的縱坐標方就是點與的對應值。

所以圖1.3的圖形就表示了一個函數(shù)：y=/（x）。

通過上面的議論，可知函數(shù)通常有三種表示方法：公式法（又稱解

析法），圖形法和數(shù)值法。在計算機飛速發(fā)展的今天，數(shù)值法越來越顯

示出它的重要性，因為計算機就是以數(shù)值計算見長。而且在我們日常生

活和社會人文科學中碰到的函數(shù)關系，很多都是數(shù)值形態(tài)的，我們經(jīng)常

聽到的國民經(jīng)濟的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，人口與消費等等，都是數(shù)值形態(tài)的。

在這幾種表示方法中，公式法的優(yōu)點是函數(shù)關系明確，便于數(shù)學推

導，在理論研究上非常重要。圖形法的優(yōu)點是形象，便于宏觀觀察，很

容易看出函數(shù)的變化趨勢，但不像公式法那樣精確，至于要求一點的函

數(shù)值那就只能根據(jù)圖形估計了。由此看到，圖形法的優(yōu)點就恰是公式法

的缺點，圖形法的短處又恰是公式法的長處。

數(shù)值法表示函數(shù)其實在中學就已經(jīng)有過體驗，如數(shù)學手冊中的三角

函數(shù)表，對數(shù)表等等就是用數(shù)值法表示三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的例子。數(shù)

值法的優(yōu)點是表中列出的那些點（只能是有限個?。┑暮瘮?shù)值非常明確,

但缺少整體的對應。正因為這個缺點，以前在數(shù)學教材中很少受到關注,

但現(xiàn)在我們應該多多關注了。

1.3基本初等函數(shù)和初等函數(shù)

從上面的討論知道，函數(shù)種類有很多，有些能用公式表示，有的只

能用表格和圖形表示。在所有能用公式表示的函數(shù)中，有六類我們常見

的函數(shù)稱為基本初等函數(shù)，分別是

1.常值函數(shù)：J=C（C是常數(shù)），即不論自變量取何值，其對應

的函數(shù)值總是常數(shù)C。常值函數(shù)的圖形如圖1.4。

2.基函數(shù)：y=a是一個實數(shù)。中學階段的事函數(shù)要求。是有

理數(shù)。當a=2時，就是熟知的二次函數(shù)y=f（圖1.5）；當a時，

為y=G（圖1.6）；e=-l時，是反比例函數(shù)y（圖1.1）。

x

圖1.7圖1.8

4.對數(shù)函數(shù)：y=log“x(a>0,anl)。對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函

數(shù)，當a=e時，就是非常重要的自然對數(shù)函數(shù)y=lnx(圖1.8)。

5.三角函數(shù)：_y=sinx,)?=cosx,y=tanx,y=cotx(圖1.9和圖

6.反三角函數(shù)：y-arcsinx,y-arccosx,y=arctanx,j=arccotx

（圖1.1卜圖1.14）。

這6類函數(shù)經(jīng)過有限次的加減乘除以及復合運算，產(chǎn)生的函數(shù)如果

能用一個公式表示，就稱為初等函數(shù)。在現(xiàn)階段我們所看到的函數(shù)絕大

部分都是初等函數(shù)。

例1分段函數(shù)。在自變量不同的取值范圍用不同的公式來表示同

一個函數(shù)，稱為分段函數(shù)，如下面兩個函數(shù)就是分段函數(shù)，它們的圖形

分別是圖1.15和圖1.16o

[-1x<0

x+1x<0

y(x)={,/(x)={ox=o。

ex>0

分段函數(shù)一般是不能用一個公式表示的，但也有例外。

例2y是分段函數(shù)，但可以用y=J7(=|x|)

[x,x>0

表示，所以是初等函數(shù)。

例3我們知道，世界上有兩個溫度標準，華氏度和攝氏度。我國

用攝氏標準，美國用華氏標準。這兩個標準之間的關系是y=1(x-32),

其中x表示華氏溫度，)表示攝氏溫度。這是一個線性函數(shù)，也可以看

成密函數(shù)和常值函數(shù)相減。有了這個公式你到美國，就不會被那里的華

氏溫度搞糊涂了。

例4復合函數(shù)。如果兩個變量之間的關系不那么直接，需要通過

第三個變量聯(lián)系起來，如在物體的自由落體中，動能E與時間f之間的

關系就是要通過速度v獲得：物體的質量是加，動能與速度的關系是

E^^mv2,速度又是時間的函數(shù)u=gf,所以動能￡就成了時間f的函

數(shù)七=5次2=］密2/。這個過程，就是函數(shù)的復合，E=g〃吆2/稱為

由函數(shù)七=；〃?/與丫=8/復合得到的復合函數(shù)，中間出現(xiàn)過的變量u稱

為中間變量。

圖1.17函數(shù)的復合

復合函數(shù)實際上是通過若干個中間變量，最終將兩個不直接相關的

變量(自變量和因變量)建立起函數(shù)關系。就如甲乙兩人本不直接認識,

通過丙的介紹相識，丙就是中間變量，甲乙之間的關系猶如復合函數(shù)。

一般情況下，對于兩個函數(shù)y=/(“)，u=g(x),如果g(x)的值

域與/(〃)的定義域有公共部分，則這兩個函數(shù)就可以復合成

y=/(g(%))(見圖117)。通常稱/為外層函數(shù)，稱g為內層函數(shù)。

例5函數(shù)y=*，是由基本初等函數(shù)y=e","=sinx復合而成的。

1.3函數(shù)的基本性質

函數(shù)的基本性質是指有界性，單調性，奇偶性和周期性。不是每個

函數(shù)都會有這些性質，但了解這些性質卻對我們今后進一步熟悉和學習

微積分卻是有很大好處的。

1.有界與無界。函數(shù)有界性是一個很重要的性質，所謂有界，就

是指這個函數(shù)的值域可以包含在某個閉區(qū)間中。我們用數(shù)學化的語言表

述如下：

設函數(shù)y=/(x)在數(shù)集。上有定義，如果存在一個正數(shù)M>0,使

函數(shù)的值域3y=/(x),xeO}u[—，即|/(x)區(qū)M對所有的

xe。成立，則稱函數(shù)/是數(shù)集。上的有界函數(shù)，或稱/在。上有界。

否則就稱/在。上無界。

無界是有界的反面，函數(shù)/在O上無界就是再大的閉區(qū)間也無法將

該函數(shù)的值域包含在內，總有例外。數(shù)學化的表述就是：對于任何無論

怎樣大的正數(shù)M,總有與e。，使得

"(%>1洛

欣賞：宋朝葉紹翁的詩句“滿園春色關不住，一枝紅杏出墻來”

從文學的意境表達了無界的含義：再大的園子(閉區(qū)間)也無法將所有

的春色(函數(shù)值)關住，總有一枝紅杏(某個函數(shù)值)跑到園子的外面。

詩的比喻如此恰切，其意境把枯燥的數(shù)學語言形象化了。

例6正弦函數(shù)^=sinx和余弦函數(shù)y=cosx在其定義域(-8,+oo)

內是有界函數(shù)，因為對一切的XG(-OO,+<?),都有|sinx區(qū)1,|cosx|Wl。

反比例函數(shù)y='在[l,+oo)上是有界函數(shù)，因為當xe[l,+oo)時，

X

而在(0,+8)上則是無界的，因為當自變量X無限接近于。時，

其函數(shù)值會無限地增大，再大的閉區(qū)間也無法將其全部包含(圖1.1)。

可見，函數(shù)的有界性與所考慮的自變量的取值范圍有關，在大的范圍無

界，在小的范圍內可能就有界了！

函數(shù)/(x)在區(qū)間國,為上有界的幾何解釋是：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

[a,句上的圖形位于兩條直線y=與y=M之間(圖1.18)。

圖1.18

2.單調增加與單調減少。函數(shù)的單調增加（或減少）是指當自變

量變大時，對應的函數(shù)值也在變大（或變小）。函數(shù)單調增加和減少統(tǒng)

稱為函數(shù)的單調性。

如果一個函數(shù)的定義域是有限集，這個函數(shù)就可以列成表格。函數(shù)

是否單調，只要把自變量由小到大排列起來，看函數(shù)值是否不斷增加（或

減少）就可以了。

例730年來我國國民生產(chǎn)總值（簡稱GDP）年度數(shù)據(jù)見表1.2,

從表中看到，隨著時間的增加，GDP也增加，顯然是單調增加函數(shù)。

表1.2我國歷年GDP數(shù)據(jù)，是單調增加函數(shù)

年份19781980198519901995200020022005200620072008

GDP（億元）362445178964185485848789468104791183868211923257306314045

由于只有有限個數(shù)據(jù)，一個個地比較就可以判斷了，沒有什么困難。

但是如果定義域是一個區(qū)間，就麻煩了，因為你根本無法將一個區(qū)間的

實數(shù)按大小排起來，也就無法檢驗“自變量變大時，對應的函數(shù)值也在

變大”這個條件，怎么辦？于是，我們用數(shù)學化的方法定義如下：

設函數(shù)/（X）在數(shù)集。上有定義，如果對于任意兩點和當

玉＜當時，有/日）＜/（々）（或/（芭）＞/（兀2）），則稱函數(shù)/（X）在。上單

調增加（或單調減少）。

在這里，用“任意兩點和/6。，當王＜々時，有/（為）＜/（々）”

完成了對“自變量變大時，對應的函數(shù)值也在變大”的檢驗，顯示了數(shù)

學語言的簡潔而且嚴密。

例8通過函數(shù)的圖形，容易看出，線性函數(shù)y=2x+l（圖1.19）

在其定義域（-8,+8）上單調增加；指數(shù)函數(shù)y=e'（圖1.7）在其定義域

（-8,+8）上單調增加；y=cosx（圖1.9）在閉區(qū)間［0,萬］上單調減少。

圖1.19

與有界性類似，函數(shù)的單調性也與自變量的取值范圍有關。如二次

函數(shù),=尤2（圖1.4）,在［0,+8）上單調增加，在（-00,0］上單調減少，而

在整個定義域（-8,+8）上則不具備單調性。

3.奇偶性和周期性。在中學數(shù)學學習中，這兩個性質應該比較熟

悉，這里僅作簡單介紹，不再多敘。

如果/（—x）=/（x）,xeD,則稱/為偶函數(shù)；如果/（—x）=-/（x）,

xeD,則稱/為奇函數(shù)。這里。是了的定義域?？梢?，奇函數(shù)的圖形

是關于原點對稱的，而偶函數(shù)的圖形是關于y軸對稱的。還有一點要注

意，討論函數(shù)的奇偶性時，其定義域。一定是關于原點對稱，即當xe。

時，-x也要屬于。。

如果/(x+T)=/(x),對一切xe。成立，則稱/為周期函數(shù)，T稱

為周期。使得了(尤+。=/(為成立的最小正數(shù)f稱為/的最小正周期。一

般所說的周期都是指最小正周期，如丁=5足》的周期是2〃，y=tanx的

周期是萬等等。

§2函數(shù)的實例

這里舉幾個函數(shù)的實際例子，領略一下函數(shù)的實用價值。

例1復利問題。銀行要對存貸款計算利息，是金融學中的一個基

本問題。計息方法有多種，最常見的有單利計息和復利計息。所謂復利

計息，就是每個計息期滿后，隨后的計息期將前一計息期得到的計息加

上原有本金一起作為本次計息期的本金，俗稱“利滾利”。

這好比一對兔子，經(jīng)過一段妊娠期之后，會生出一對小兔子出來。

此后，大兔子繼續(xù)生小兔，小兔子又會生小小兔，小小兔還會生小小小

兔子……。試問經(jīng)過一段時間之后，將會有多少對兔子？這與復利是同

一性質的問題。下面來看復利計息的計算。

一般銀行計息周期是以年為單位的，即每年計息一次。設年利率為

r,本金為A,一年以后的利息為/=Ar,本利和(本金加利息的和)

為

A1=A+A(A+o

于是第二個計息期以4為本金，到期的本利和為

2

A2=A1+AJT=A(l+r)+A(l+r)r=A(l+r),

因此，經(jīng)過連續(xù)n個計息期的到期本利和就是下面的復利計息公式

A“=A（l+r）”（1.1）

如果每年不是計息一次，而是計息f次（如三個月的定期存款，每

年計息4次），于是原〃個計息期就變成了加個計息期，而每個計息期

的利率則是:，這樣公式（1.1）就變成

A,=A（l+y"jO（1.2）

以后還會看到，當/越來越大趨于無窮時，公式（1.2）會是怎樣的結果。

例2測定生物體年齡。碳14（是放射性物質，隨時間而衰減，

碳12是非放射性物質?；钚晕矬w（生物或植物）通過與外界的相互作

用（吸納食物、呼吸等）獲得碳14,恰好補償碳14衰減損失量而保持

碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù)，但死亡后

由于碳14無法得到補充會隨時間的增長而逐漸衰減。因此碳14測定技

術已經(jīng)成為考古學的常用技術手段，但它是數(shù)學應用的結果。

現(xiàn)已測知一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14數(shù)量的80%,

試求遺體的死亡年代。

解已知放射性物質的衰減速度與該物質的含量成比例，并且符合

指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。設遺體當初死亡時14c的含量為P。，在f時的含

量為p=/?）,故%=/（0）,衰減的比例系數(shù)為常數(shù)上,于是含量

與時間的函數(shù)關系就是

，=/?）=Po*。

衰減系數(shù)%是這樣確定的：因為從化學知識知道，的半衰期為

5730年，即14c經(jīng)過5730年后其含量會減少一半，因此有

?=P『,約去p。，得;=e573°3

兩邊取對數(shù)，5730^=In-,用計算器很容易計算出左=-0.0001209。

2

于是我們得到含量與時間之間的函數(shù)關系

pup。/000⑵%。(1.3)

將(1.3)式用于本題，已知p=o.8p0,代入得。金;”0000m”,取

自然對數(shù)ln0.8=-0.000120%,用計算器計算得f。1846(年)。即古墓

中遺體已經(jīng)死亡了約1846年，應該是漢朝人。

例3人口模型。假設在一定時期內，某國的年人口增長率(即出

生率減去死亡率)是一個常數(shù)，比如為2%。即如果第一年的人口為綜，

則第二年的人口就是《=《(1+2%),以此類推，第〃年的人口為

匕=4(1+2%)(可以看到人口問題與復利問題也是統(tǒng)一性質的問題)。

設該國原有人口為1億，問多少年后，該國人口將達到2億。

解設〃年后人口達到2億，將具體數(shù)據(jù)代入上述公式，得

2=1.(1+2%)"。取對數(shù)，得到

In20.69315

ln2=/?lnl.O2,n=?35（年）

In1.020.01980

約35年后，該國人口將達到2億。

當r很小時，有e’-1。尸，于是人口函數(shù)模型還可以寫成

nrn

P?=P0(l+2%)=P0eo

馬爾薩斯(Malthus,英國，1766-1834)根據(jù)上述模型提出了著名

的馬爾薩斯人口理論。不過上述模型僅適用于生物種群(動物、魚類、

細菌)生存環(huán)境寬松的情況，當生存環(huán)境惡化(如食物短缺)時此模型

就不適用了。

上面三個例子的最終結果都歸結到以e為底的指數(shù)函數(shù)，有無內在

的原因？請關注下面一章的內容。

習題一

1.判斷下列函數(shù)的有界性.

(1)y=l+3sinx-5cosx；(2)y=xsinx；

x⑷"占-0,1)。

⑶y

1+x2

2.指出下列各函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成：

sinr

(1)y=arctan4x；(2)y=eo

3.指出下列函數(shù)的單調性：

(1)y=x4xe(-oo,+oo)；(2)y=x+arctanxxe(-a?+c。

4.長沙馬王堆一號墓于1972年8月出土，測得尸體的14c的含量是活

體的78%。求此古墓的年代。

5.一個圓柱形有蓋飲料罐，其容積是一個定值匕底面半徑是r,高是

H,求此罐的表面積A與底面半徑一的函數(shù)關系。

第二章微積分的基礎一一極限

“極”、“限”二字，在我國古代就有了，今天，人們把“極限”連

起來，將不可逾越的數(shù)值稱為極限，因此“挑戰(zhàn)極限”成了當今的流行

用語。自從1859年清代數(shù)學家李善蘭（1811?1882,圖2.1）和英國傳

教士偉列亞力翻譯《代微積拾級》時，將“l(fā)imit”翻譯為“極限”，

用以表示變量的變化趨勢，極限也就成為了數(shù)學名詞。

著名數(shù)學家，在《方圓

闡幽》中較早闡發(fā)了微

積分的初步理論.在《垛

積比類》中，他說明了

高階等差數(shù)列的理論，

提出“李善蘭恒等式”

李善蘭

圖2.1清代數(shù)學家李善蘭

§1數(shù)列極限的初步認識

在微積分教科書中，常常用《莊子?天下篇》中的“一尺之梗，日

去其半，萬世不竭”作為極限的例子。這個“?！钡氖Ｏ虏糠值拈L度用

數(shù)學符號表示，就是以下數(shù)列

1,1/2,…，1/2n,…

當時間（日數(shù)）〃的不斷增加并趨向于無窮大時，盡管它剩下部分的

長度總不會是零，但會無限地接近0,最后的歸宿（極限）就是0。它

非常形象地描述了一個無限變化的過程。

一般我們把根據(jù)某個規(guī)則按照自然數(shù)順序排成一列的無限多個實

數(shù)

Xt,x2,,xn,(I)

稱為數(shù)列。其中第〃項X”稱為該數(shù)列的通項。數(shù)歹女1)可以簡記為｛.｝。

如果數(shù)列的通項X“隨著〃增大而能無限接近某個固定常數(shù)。，則稱

這個數(shù)列｛七｝是收斂的，稱。是數(shù)列的極限，記作叩

的數(shù)列｛《卜其極限是0。我們把有極限的數(shù)

如上面“一尺之趣”

列稱為收斂數(shù)列，沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。

先看幾個例子，使我們對數(shù)列極限有更多的感性認識。

例1數(shù)列12一，，通項為七=工，極限

23nn—8H

例2數(shù)列1,-1,1,,通項為4=(-1)"，始終在1與-1

之間振動，所以沒有極限。

mic143福福洛〃+(一1嚴,(-1)"-1+人物利

例32--r-7,,通項為毛=----—=1+----o這個數(shù)列

234nn

雖然不像例1那樣是單調減少地逼近極限，但還是有極限的，其極限是

1,盡管數(shù)列的通項不斷在1的兩邊振蕩，一會兒大，一會兒小。

例41,2,4,8,，通項為=2"T,當〃->8時，數(shù)列的通項也->oo。

數(shù)列沒有極限。

為了進一步了解數(shù)列極限，作以下討論。

(1)有理數(shù)組成的收斂數(shù)列，極限值可能是有理數(shù)，也可能是無

理數(shù)。如由有理數(shù)構成的數(shù)列其極限是0。又如無理數(shù)衣,則

可以看成是其不足近似組成的有理數(shù)列｛1.4,1.41,1.414,

1.4142,…，｝的極限。這個數(shù)列雖然寫不出通項，卻知道它無限接近

實數(shù)

同樣，圓周率n也可以是一有理數(shù)數(shù)列的極限。

（2）從上面的例3看到，當數(shù)列收斂時，數(shù)列的通項不必是單調

增加或單調減少地逼近極限；另外，數(shù)列的各項也不必一定是后一項總

比前一項更靠近極限值，但是最后的總趨勢還是趨向極限值。例如數(shù)列

2，1，4,3，，.+（7嚴，

的極限也是0,但是各項離極限0的距離忽大忽小，第3項1/4離0

近，第4項1/3反而離0遠些，不過它的總體趨勢還是趨向于0。

（3）不要忘記常數(shù)列，常數(shù)列總是有極限的。

例如，常數(shù)列1,1,…，1,…的極限就是1本身。

（4）數(shù)列的極限是唯一的，但是不同的數(shù)列卻可以有相同的極限。

例如，0是下列數(shù)列的極限：

0,0,0,…，0,…

1,1/2,1/22,…，1/2n，…，

-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,1/6,…，

§2數(shù)列極限的數(shù)學定義

有了極限的感性認識，本節(jié)我們要用數(shù)學語言來給出極限的嚴格定

義，看看數(shù)學是如何將極限的“無限接近”這種可以意會，難以言傳的

說法精確成數(shù)學符號的。

定義1設｛x“｝是一個實數(shù)數(shù)列，。是一個實數(shù)，如果對任意給定

的正數(shù)￡>0（無論多么?。即嬖谧匀粩?shù)N,當n>N時，總有

則稱a是數(shù)列｛%｝的極限，記作

limx“=a,或一>a（〃一>0）。

/：-?00

此時也稱數(shù)列｛X?）是收斂的。

定義是用“如果不管你給多么小的正數(shù)￡，總可以在數(shù)列｛X.｝中找

到一項打，在/后面的任何項與a的距離1%-總是小于e”的數(shù)學

語言取代了“隨著”的無限增大，數(shù)列的通項x“就會無限接近于這

種的模糊語言。

同時，定義中用加減乘除、絕對值，大于小于這樣的“算術”運算

和符號，將“無限增大”、“無限接近”動態(tài)的、無限的極限過程，靜態(tài)

化和有限化了。有限的詞語揭開了''無限"的面紗，非常精確化，彰顯

了數(shù)學的魅力。下面通過具體的例子，表現(xiàn)這種“魅力”。

例1驗證數(shù)列｛%｝=｛1+1/〃｝的極限是1。

證我們用上述定義證明如下：任給一個很小的正數(shù)￡（比如

￡=1/10000）,為了使

|x?-l|=|l+l/n-l|=l/n<f=1/10000

只要把項數(shù)N取為10000,那么當〃〉10000時，上述不等式就成立了。

由于￡是任意給定的，再給小一點，比如￡=1/10000000,那也沒

有問題，只要將N取成10000000,當〃>N時，同樣有不等式

|1+1/〃—1|=1/〃<￡=1/10000000

成立。

因此，你無論給出多么小的正數(shù)￡,只要取正整數(shù)N＞，（總能取

￡

到?。?，當心N時，一定有不等式

|1+1/〃-1|=1/〃＜1/N＜￡

成立。

這就證明了數(shù)列｛1+1/〃｝的極限是lo

莊子《天下篇》說“無生也有涯，而知也無涯。以有涯隨無涯，殆

已”。莊子有些頹廢，人的一生雖然不能窮盡所有知識，但是人的創(chuàng)造

性思維，卻能跨越無限，用可以操作的有限來表達無限。極限的這一定

義，是在牛頓-萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分后的200年經(jīng)過很多數(shù)學家不斷完

善、總結得到的，正是其嚴格的數(shù)學化的表示，奠定了微積分發(fā)展的基

礎。

§3數(shù)列極限的性質

有了一個數(shù)學概念之后，為了對這個概念進一步的了解，就應該來

討論概念的性質。極限也是如此。

性質一（唯一性）若數(shù)列｛%“｝收斂，則其極限是唯一的。

這個性質告訴我們，無論用什么方法，只要方法正確并求出了極限,

結果是一樣的，不會因為方法不同產(chǎn)生不同的極限。

性質二（四則運算）如果limx“=a,limy〃=b,則有

八一〃一＞00

1）加減法則±yn）=a±h=limxH±limyn；

〃一＞8〃一＞8n—＞oo

2）乘法法則lim（%“y“）=ab=limxZIlimyn；

〃一＞8n—＞O0〃一＞8

ralim

3）除法法則當Z?wO時，lim==—=￡-。

"-8ynblimyn

n-＞oo

四則運算使求極限的方法一下增加了很多。當然我們需要掌握一些

基本數(shù)列的極限，并且要注意使用四則運算的條件，特別是除法運算時

分母的極限不能為零。

從乘法法則還可以得到：

4)如果Z是常數(shù)，則lim攵％“=

"fee/?—>00

5)]im()一=lim()=a2

w—>00\7w—>00'/

性質三(有界性)如果數(shù)列｛玉｝收斂，則｛當｝是有界數(shù)列。

這里的有界數(shù)列與第一章出現(xiàn)過“有界函數(shù)”的概念基本一樣，即：

如果存在一個正數(shù)使得對一切正整數(shù)“，都有|五區(qū)則稱數(shù)列

｛七｝是有界數(shù)列。

注1如果數(shù)列｛七｝無界，它會有極限嗎？當然沒有，所以這個性

質有時用來判斷數(shù)列發(fā)散(沒有極限)還是有用的。

如數(shù)列｛(-1)"〃｝,是無界數(shù)列，所以沒有極限。當然也可以用定義

去驗證。

注2從數(shù)列｛七｝有界卻不能得出｛%｝收斂，所以性質三只是數(shù)列

收斂的必要條件。如數(shù)列｛(-1)"｝有界，但沒有極限！

性質四(保不等式性)設limx“=a,lim%=。，且對所有的正整

H—>00>00

數(shù)〃,有Ny??則a2b。

也就是說，對應項大的數(shù)列，極限也大，這比較容易理解。于是根

據(jù)四則運算，又有：如果七20,且limx,=a,則“20。更通俗的說

/I—>00

法是，非負的數(shù)列，其極限也是非負的。如數(shù)列[l,0,g,0,g,0,1每一

項都是非負，所以其極限不可能是負的(實際上是0)。

性質五單調有界的數(shù)列一定有極限。

所謂數(shù)列｛七｝單調，是單調增加和單調減少的總稱，單調增加（減

少）是指：數(shù)列的后一項總比前一項大（?。?，即對一切的正整數(shù)〃，

有怎MW（>xn+]）o

這個性質用圖2.2,更容易理解：數(shù)列｛%,,｝是單調增加的，一項比

一項大，但又不能超過M,因此必定有極限aCa<M

—?_----------——I------

oX1x2X3XnaM

圖2.2

性質三說，有極限的數(shù)列一定是有界的，但是有極限的數(shù)列不一定

是單調的，所以，單調有界只是數(shù)列收斂的充分條件，可以用來證明某

些數(shù)列的收斂性。

例1可以證明數(shù)列（1+：）;是單調增加且有界的，其極限存在，

（1Y

我們用字母e表示它的極限，即：lim1+-=e°

nJ

這是一個非常著名的極限，我們在中學時期就認識這個e,是自然

對數(shù)的底：lnx=log,x?，F(xiàn)在知道了，原來這個e不是隨意想出來的。

以后還會看到，這個e實在是自然界創(chuàng)造的，所以以e為底的對數(shù)要叫

“自然對數(shù)”。

例2數(shù)列6揖2+6,,丘+丘++應有極限，并求出這個

〃個根號

極限。

解數(shù)歹IJ的通項是“J2+J2+京,明顯有七>0。下面說明

”個根號

數(shù)列｛七｝是單調增加，且有界。

對任意正整數(shù)〃，顯然有

x“+]=｛2+42+++V2>J2+J2++=X”，

"+i個根號"個根號

所以數(shù)列是單調增加的。又由于％=0<2,設z<2,則工

<^2=2,根據(jù)中學學過的數(shù)學歸納法，得知，對一切正整數(shù)〃，有

%<2,同時又有天〉0,即數(shù)列｛%｝是有界的。依據(jù)性質五，數(shù)列｛%｝

有極限，設limx“=a。下面想方法求出這個極限。

77—>00

對七+1=j2+x”兩邊平方，得片+]=2+x“0對上式兩邊同時取極限,

等式依舊成立，并注意｛4+A的極限也是a,即lim.+1=a,因此得

到4=2+a。這是一元二次方程，容易解得a=2或者。=-1。由于

X?>0,故其極限。20（性質四），所以limx.=2。

H—>00

例3計算lim（3+2]。

\?1

解根據(jù)性質二，以及l(fā)im-T=0,lim-=21im-=20=0,所以

00n~〃T8〃〃

〃T8

lim=lim—+lim—=0+0=00

n—>ao/I—>00〃n—>ao〃

〃

23"+2

例4計算lim~-一o

f3"

3"+2"(2"、f’2Y、

解因為lim土==lim1+二=lim1+-，又因為當?shù)缺葦?shù)

"7833)[3J

列>"》的公比|川<1時，其極限limr"=0,所以lim士=0。

I)〃->00M—>col3)

/

limM2l+limj2]

因此,lim1+=1o

A—>83"n—>00

3J7

例5計算1加上肝二L

“f82n-+3

解當〃-8時，分子，分母都趨于無窮大，沒有極限，所以不能

直接用運算法則（性質二）。為了求出極限，首先要想辦法使其能符合

性質二的條件,為此先用〃2同除分子分母，這樣分子分母就都有極限了，

再用性質二，得

22+-―--+

lim2…「6=Hm〃〃2=

〃f°°3〃~+4,4i?J4）

Q3+—lim3+—

n“一入n）

2+lim—lim—）

71->CO〃"TOO〃/十?Un—Vn乙

NE43+0-3

3+lim—

例6求極限lim6（J/I+3/九一1）。

8

解由于是兩項趨于去窮大的乘積，不能直接使用運算法則，故用

Jn+3+Yn-l同乘分子分母,以消去無窮大。

limMd-g)=limG(R-尸X尸+匹2

Vn[n+3-(n-l)]_4y/n

lim

〃一>8dn+3+y]n-lyjn+3+<n-1

§4函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性

微積分是用極限方法研究函數(shù)的性質。這一節(jié)討論函數(shù)的極限和連

續(xù)性?？纯匆粋€數(shù)學是如何表達連綿不斷的“連續(xù)性”。

一、函數(shù)極限

函數(shù)極限與數(shù)列極限有相似之處，又有不同，主要是因為函數(shù)的自

變量是連續(xù)變化的。因此，函數(shù)除了有Xf8時的極限，還有X趨向于

一個有限數(shù)與的極限。時的極限與數(shù)列極限沒有本質的區(qū)別，所

以下面我們重點討論XfX。時函數(shù)的極限問題。為了對這類函數(shù)極限有

一個感性認識，先看下面兩個例子。

例1函數(shù)，(x)=x+l,考察該函數(shù)當自變量X趨于1時，函數(shù)值

的變化趨勢。我們可以看到，當X越來越接近1時，函數(shù)/(X)的值就越

來越接近2(見下表)，而2恰好是/(幻在x=l的函數(shù)值：/(l)=2o

x0.90.950.990.99911.0011.011.051.1

/(x)=x+21.91.951.991.99922.0012.012.052.1

所以，當x-1時，/(x)的極限為2,記為lim(x+l)=2。

r2-1

例2函數(shù)g(x)=」,同樣考察該函數(shù)當自變量x趨于1時的極

x-\

—X2-!

限。這個函數(shù)與例1中函數(shù)不同之處在于定義域不一樣，即g(x)=

x-1

在X=1處沒有定義，當XW1時，g(x)=-——-=――1)(*+D=x+1,與

X-1x—\

上例中的函數(shù)/(x)=x+l完全一致。所以當X越來越接近1時，盡管函

數(shù)g(x)在x=l處沒有定義，但是并不妨礙其函數(shù)值越來越接近2,如下

表

X0.90.950.990.99911.0011.011.051.1

g(x)=W1-91-95L"L9"無定義2.0012.012.052.1

r2_1

因此lim------=lo

Ix-1

函數(shù)/(x)和g(x)的圖形如圖2.3所示。

上面兩個例子告訴我們，在考察函數(shù)/(幻當xr/的極限時，我們

關心的是函數(shù)/(幻的變化趨勢，與/(處在/是否有定義沒有關系。

函數(shù)極限的描述性定義如下：

定義1如果當自變量尤無限接近X。時，函數(shù)/(x)的值無限接近某

個確定的常數(shù)4則稱當自變量x趨于小時，函數(shù)/(x)的極限為人記

為

limf(x)-A,或/(x)fA(x—>x0)□

函數(shù)極限也有與數(shù)列極限類似的性質，如四則運算等。

下面根據(jù)定義1看幾個例子，加深對函數(shù)極限的印象。

例3設函數(shù)/(尤)=sinx,當犬分生，sinx-^―,即嗎x=—

42x->—2

4

A

例4設/(%)=：z?X"<u(),則當了〉。并且趨于0時，

x~x>0

/(x)=攵-?(,當x<0并且趨于0時，/(x)=e“->1。這說明當x->0

時，/(幻不能無限接近某個確定的常數(shù)，因此當X—0時，函數(shù)/(x)沒

有極限。

例5對于暴函數(shù)y=x"(〃是正整數(shù))，有l(wèi)imx"=x；。

函數(shù)極限也有與數(shù)列極限類似的性質，如極限的唯一性、四則運算

性質等。四則運算給求函數(shù)極限帶來很多方便。

例6求函數(shù)/(1)=e*cosx+ln(l+x)當x-0時的極限。

解因為lime，=1,limcosx=l,limln(l+x)=lnl=O,所以根據(jù)極

A—>0xf0x-0

限四則運算性質，有

lim[e'cosx+ln(l+x)]=11+0=1。

例7重要極限lim皿=1。

這是一個分式的極限，當x-0時，分子、分母都趨于0,因此不

能用極限的四則運算來求這個極限(因為0除以0是沒有意義的)，但

是我們可以通過實驗的方法(因為證明繁瑣，這里就不作證明)，用計

算器計算得到：當x越來越接近0時，曲的值越來越接近1(注意這

X

里的X是弧度！)，即lim皿=1

X

有了這個極限，就可以做一些運算了。如

sin2xsin2xsin2xci-

lim=lim22hm-------=24=2

XTOxA-?O2xi。2x

tanx「sinx「sin尤1

lim------=lim---------=lim-------------

10xzOxcOSXa。XCOSX

..sin%.111I

=lim-----lim------=11=1

Xf°XXT°COSX