六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第21講 構(gòu)造論證二（教師版）全國(guó)通用

第21講構(gòu)造論證二興趣篇1、如圖所示，在的警戒方格內(nèi)，每個(gè)哨所可以監(jiān)視橫、豎、斜方向的全部單位方格?，F(xiàn)在已經(jīng)建了兩個(gè)哨所。請(qǐng)你挑選一個(gè)方格，再建立一個(gè)哨所，使得所有的方格都被監(jiān)視到?！痉治觥康诙械谌?、（1）把1,2,3，…，8,9按合適的順序填在圖1第二行的空格中，使得每一列上、下兩數(shù)之和都是平方數(shù)。（2）能否將1,2,3，…，10,11按合適的順序填在圖2第二行的空格中，使得每一列上、下兩數(shù)之和都是平方數(shù)？【分析】（1）考慮到9只能和7配，先填入9和7；剩下的6只能和3配，4只能和5配，依次填好；所以從左至右填入的數(shù)依次是8，2，6，5，4，3，9，1，7；（2）考慮11只能和5配，那么沒有數(shù)和4配，不能3、今有長(zhǎng)度為1,2,3，…，198,199的金屬桿各一根。請(qǐng)問：能否用上全部的金屬桿，不彎曲其中的任何一根，把它們焊接成：（1）一個(gè)正方體框架；（2）一個(gè)長(zhǎng)方體框架？【分析】（1）總長(zhǎng)，不是12的倍數(shù)，不能；（2）能，此時(shí)長(zhǎng)方體框架的長(zhǎng)、寬、高之和為，可以分別為4577、199、1994、老師對(duì)六位同學(xué)的三門功課語文、數(shù)學(xué)、體育進(jìn)行了一次測(cè)驗(yàn)，六位同學(xué)的體育得分是1分或者2分，數(shù)學(xué)得分是1分、2分或者3分，語文得分是1分、2分、3分或者4分。如果一位同學(xué)的三門功課成績(jī)都不低于另一個(gè)同學(xué)的三門功課成績(jī)，就說這個(gè)同學(xué)比另一個(gè)同學(xué)優(yōu)秀。測(cè)驗(yàn)完成后老師發(fā)現(xiàn)這六位同學(xué)誰也不比別人優(yōu)秀，請(qǐng)問：這六位同學(xué)三科得分分別為多少？【分析】這6位同學(xué)在三門課上的得分分別是（1分，1分，4分），（1分，2分，3分），（1分，3分，2分），（2分，1分，3分），（2分，2分，2分），（2分，3分，1分）5、把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：能否使得每一條直線上的紅圈個(gè)數(shù)都是奇數(shù)？【分析】如果每邊紅色圈數(shù)目都是奇數(shù)，那么5條邊總紅色圈個(gè)數(shù)就是奇數(shù)；而實(shí)際上每個(gè)紅圈被計(jì)算了2次，總紅色圈數(shù)目是2的倍數(shù)，是偶數(shù)，矛盾，所以不能6、（1）能否在的方格表的各個(gè)小方格內(nèi)分別填入數(shù)1,2，…，15,16，使得從每行中都可以選擇若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)的和等于該行中其余各數(shù)之和？（2）能否在方格表的各個(gè)小方格內(nèi)分別填入數(shù)1,2，…，24,25，使得從每行中都可以選擇若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)的和等于該行中其余各數(shù)之和？【分析】（1）能，構(gòu)造一個(gè)滿足條件的表格12151634131456111278910（2）如果可以的話，每行數(shù)字和都是偶數(shù)，那么總數(shù)字和是偶數(shù)，而1~16的數(shù)字和是奇數(shù)，矛盾，所以不能7、如圖是把一張的方格紙去掉兩個(gè)角所得的圖形。（1）請(qǐng)把所有的格子涂上紅、藍(lán)兩色之一，使得每個(gè)小長(zhǎng)方形（不論橫豎）的2個(gè)方格中都恰有1個(gè)紅格和1個(gè)藍(lán)格；（2）能否用的小長(zhǎng)方形恰好拼滿這張表格？【分析】（1），其中空白的格子涂上藍(lán)色，涂紅色；（2）不能，因?yàn)槊看蔚男￠L(zhǎng)方形恰好覆蓋了1紅1藍(lán)，如果可以的話，覆蓋的紅與藍(lán)的數(shù)目應(yīng)該一樣，但圖中紅藍(lán)數(shù)目是不一樣的，所以不能。8、全班25名同學(xué)分五排，每排五人坐在教室里，每個(gè)座位的前、后、左、右位子稱為它的鄰座。在兒童節(jié)每一位同學(xué)都買了一份禮物送給他的一個(gè)鄰座，能否可以讓大家適當(dāng)?shù)厮统龆Y物，使得每一位同學(xué)都剛好收到一份禮物呢？【分析】把25個(gè)方格進(jìn)行黑白相間染色，每次交換座位，總是一個(gè)黑色格子的人交換到白色格子里，一個(gè)白色格子的人交換到黑色格子里，如果可以的話，黑白數(shù)目應(yīng)該一樣，但實(shí)際黑白格子數(shù)目不同，所以不能9、將一個(gè)的方格表分為如圖的5塊區(qū)域，在其中填入16個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得每一塊區(qū)域中所填數(shù)的和都相等。這16個(gè)數(shù)的總和最小是多少？【分析】對(duì)于6格區(qū)域，4格區(qū)域，3格區(qū)域，這13個(gè)格子最小是1~13，和是91，那么平均一個(gè)區(qū)域至少是31，按照每塊區(qū)域31構(gòu)造一個(gè)表格，如下圖。最小是1551512411132310185693178110、能否將1,2,3，…，9,10排成一行，使得任意相鄰三個(gè)數(shù)之和都不大于16？能否使得任意相鄰三個(gè)數(shù)之和都不大于15？【分析】能，其中一種排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7；不能，如果能的話，除去首個(gè)數(shù)字，剩下9個(gè)數(shù)正好分為3組，每組數(shù)之和都不大于15，總和就不大于45，但10個(gè)數(shù)總和是55，所以只能每組數(shù)正好15，且第一個(gè)數(shù)是10。此時(shí)除去最后一個(gè)數(shù)字，剩下9個(gè)數(shù)也正好分為3組，每組數(shù)之和都不大于15，總和就不大于45，但10個(gè)數(shù)總和是55，那么末位數(shù)字也是10，矛盾，所以不能。拓展篇1、有7個(gè)不為0的自然數(shù)，它們的和正好等于它們的積。請(qǐng)寫出一組滿足要求的數(shù)?！痉治觥?，1，1，1，1，2，7或者3,4,1,1,1,1,12、如圖，平面上有5個(gè)點(diǎn)，它們之間可以連10條線段。請(qǐng)問：至少要去掉多少條線段，才能使得其中沒有以這5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形？【分析】共10個(gè)三角形，每去掉1條線段，能破壞3個(gè)三角形，要破壞10個(gè)三角形，至少要去掉4條，如圖，構(gòu)造一個(gè)去掉4條滿足條件的圖形3、如圖，一個(gè)幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤分為內(nèi)圓和外環(huán)兩部分，并且被五條半徑平均分割開。其中內(nèi)圓是固定的，外環(huán)可以轉(zhuǎn)動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)后必須使得分割線重新組成半徑。請(qǐng)把0至9這10個(gè)數(shù)字分別填入圖中的10個(gè)區(qū)域，使得不管外環(huán)怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，總有大圓的一個(gè)扇形的兩部分所填數(shù)字的和為9?！痉治觥科渲幸环N填法如下圖所示。4、平面上6條直線，它們的交點(diǎn)稱為“結(jié)點(diǎn)”，每條直線上“結(jié)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)稱為這條直線的“標(biāo)志數(shù)”。圖1中的3條直線的“標(biāo)志數(shù)”都等于2，只有一種取值；圖2中的3條直線的“標(biāo)志數(shù)”卻有兩種取值?，F(xiàn)在請(qǐng)你用直尺畫出6條直線，使得它們中間任何3條直線都不共點(diǎn)，且相應(yīng)的6個(gè)“標(biāo)志數(shù)”至少取3個(gè)不同的數(shù)值?！痉治觥棵拷M平行線的標(biāo)志數(shù)都相同，而要取到3個(gè)不同的標(biāo)志數(shù)，至少有3組不同的平行線，且每組平行線的數(shù)目也不一樣。其中一種畫法如下圖所示，圖中的標(biāo)志數(shù)有3，4，55、（1）能否將1至8這8個(gè)數(shù)放在一條直線上，使得任意三個(gè)相鄰數(shù)的和都不小于13？（2）能否將1至8這8個(gè)數(shù)放在一個(gè)圓圈上，使得任意三個(gè)相鄰數(shù)的和都不小于13？【分析】（1）能，其中一種放法是1，4，8，7，3，6，5，2；（2）不能，8兩邊有兩個(gè)數(shù)，設(shè)為a和b，如果a、b恰好是1和2的話，這連續(xù)的3個(gè)數(shù)和小于13。如果a和b中有1個(gè)大于2的話，至少是3。那么除它和8之外的6個(gè)數(shù)，正好分成2組，總和不小于36-8-3=25，肯定有1組比13小。6、一本故事書有10篇故事，這些故事占的篇幅從1頁到10頁各不相同。如果從書的第1頁開始印第一個(gè)故事，每一個(gè)故事總是從新的一頁開始印，那么故事從奇數(shù)頁起頭的最多有幾篇？最少有幾篇？【分析】令偶數(shù)故事都從奇數(shù)頁開始，最多8篇；令偶數(shù)故事都從偶數(shù)頁開始，至少3篇7、在的方格表中至少應(yīng)該去掉多少個(gè)格子，才能使得剩下的圖形中不存在如圖所示的“L型”？【分析】把圖形分成4個(gè)田字格，每個(gè)田字格至少要去掉2個(gè)才能滿足要求，所以至少要去掉8個(gè)；構(gòu)造一種去掉8個(gè)的方法：去掉1，3行。8、黑板上寫著3個(gè)數(shù)8、18、28，老師現(xiàn)在請(qǐng)一些同學(xué)上黑板對(duì)這3個(gè)數(shù)進(jìn)行操作。進(jìn)行一次操作是指：把3個(gè)數(shù)進(jìn)行如下變化，或者減1，或者加2。請(qǐng)問：能否經(jīng)過若干次操作后得到6、7、8？能否經(jīng)過若干次操作后得到8、8、8？【分析】觀察除以3的余數(shù)（2,0,1）（1,2,0）（0,1,2）（2,0,1）所以6，7,8可以，8,8,8不行。9、有3堆石子，每次可以從這三堆中同時(shí)拿走相同數(shù)目的石子（各次這個(gè)數(shù)目可以改變），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。請(qǐng)問：（1）如果開始時(shí)，3堆石子的數(shù)目分別是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？（2）如果開始時(shí)，3堆石子的數(shù)目分別是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？如果可以，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案；如果不可以，請(qǐng)說明理由?！痉治觥浚?）能，按照（0,21,48）（24,21,24）（4,1,4）（2,3,4）（0,1,2）（1,1,1）（0,0,0）的順序就能做到；（2）不能，因?yàn)榭倲?shù)除以3的余數(shù)不變，原來總數(shù)除以的余數(shù)不為0，所以最后除以3的余數(shù)也不能是0。10、（1）能否將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為平方數(shù)？（2）能否將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為質(zhì)數(shù)？【分析】（1）能。下面的排法滿足要求：9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，15，1，8（2）能。下面的排法滿足要求：15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，2，111、（1）能否用16個(gè)如圖1所示的“T型”拼成一個(gè)的棋盤？（2）能否用8個(gè)如圖1所示的“T型”和8個(gè)如圖2所示的“L型”拼成一個(gè)的棋盤？（3）能否用1個(gè)如圖1所示的“T型”和15個(gè)如圖2所示的“L型”拼成一個(gè)的棋盤？【分析】（1）能，把圖形分成4塊，每塊都按照下左圖的方式分割；（2）能，把圖形分成4塊，其中2塊按照下左圖分割，2塊按照下右圖分割；（3）不能，把整個(gè)圖形黑白相間染色，那么“T型”覆蓋黑色格子數(shù)為1個(gè)或者3個(gè)，而“L型”覆蓋黑色格子數(shù)為2個(gè)，那么總覆蓋黑格子數(shù)為奇數(shù)個(gè)，但實(shí)際總黑色格子數(shù)為偶數(shù)個(gè)。所以無法覆蓋。12、（1）能否用9個(gè)如圖1所示的的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)的棋盤？（2）能否用9個(gè)如圖2所示的“L型”拼成一個(gè)的棋盤？【分析】（1）不能，按照如左圖方式染色，每個(gè)的長(zhǎng)方形覆蓋了1個(gè)黑色格子，那么9個(gè)的長(zhǎng)方形只能覆蓋9個(gè)黑色格子，但圖中有10個(gè)黑色格子，所以不能完全覆蓋；（2）不能，如右圖方式染色，每個(gè)“L型”覆蓋奇數(shù)個(gè)黑格，9個(gè)“L型”覆蓋了奇數(shù)個(gè)黑格，而黑格總數(shù)是偶數(shù)，所以不能完全覆蓋。超越篇1、能否可以用77個(gè)的長(zhǎng)方體小木塊裝滿一個(gè)的長(zhǎng)方體匣子（匣內(nèi)不留任何空隙）？若能，請(qǐng)給出具體裝法；若不能，請(qǐng)說明理由?！痉治觥坎荒?，的長(zhǎng)方體木塊任何一面都可以被3整除，而的長(zhǎng)方體的匣子的面不能被3整除。2、黑板上寫著兩個(gè)數(shù)1和2，按下列規(guī)則增寫新數(shù)，若黑板有兩個(gè)數(shù)和，則增寫這個(gè)數(shù)，比如：可增寫5（因?yàn)椋?；可增?1（因?yàn)椋?。一直寫下去，?qǐng)問：能否得到下面兩個(gè)數(shù)？若能，請(qǐng)你寫出得到的過程；若不能，請(qǐng)說明理由。（1）143；（2）144【分析】（1）1，2，5，11，71，143；（2）不能，除2外全是奇數(shù)3、將平面上每一點(diǎn)都染成紅、黃兩種顏色之一。證明：無論怎樣染色，都一定存在長(zhǎng)為1的線段，它的兩個(gè)端點(diǎn)是同樣顏色的?！痉治觥窟呴L(zhǎng)為1的等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)必有兩點(diǎn)同色，那兩點(diǎn)所在邊符合要求4、在的方格表中至少需要放多少個(gè)棋子，才能保證每行、每列以及每一條與對(duì)角線平行的直線上都有棋子？（角上單獨(dú)一個(gè)格子也可以組成一條與對(duì)角線平行的直線，圖中陰影部分的三個(gè)格子組成的直線也是與對(duì)角線平行的直線。）【分析】顯然每個(gè)角上的小方格都要放棋子，然后按照從右上到左下的方向，共有11條斜線，這11條斜線每條斜線上都至少要1個(gè)棋子，再加上角上多放的1個(gè)，至少要12個(gè)，如下圖是一種放12個(gè)棋子的方法。5、（1）能否從圖1中的格出發(fā)，每次走到相鄰的小格子，最后走到格，并且每個(gè)格子都剛好到一次？（2）中國(guó)象棋的馬是走“日”字型路線。如圖2，如果馬在點(diǎn)，那么它能跳到、、、四點(diǎn)之一。如果馬開始在點(diǎn)，它能否跳3步后回到點(diǎn)；能否跳9步后回到點(diǎn)？【分析】（1）按照黑白相間染色，每次走都是從黑格到白格或者從白格到黑格，如果可以的話，黑格數(shù)目應(yīng)該等于白格，但實(shí)際黑格數(shù)和白格數(shù)目不相同，所以不能；（2）把所有格點(diǎn)黑白相間染色，每次走都是從黑點(diǎn)到白點(diǎn)或者從白點(diǎn)到黑點(diǎn)，如果可以的話，黑點(diǎn)數(shù)目和白點(diǎn)應(yīng)該一樣，但實(shí)際黑點(diǎn)和白點(diǎn)數(shù)目不相同，所以不能。6、如圖，用若干個(gè)和的小長(zhǎng)方形既不重疊，也不留孔隙地拼成一個(gè)的大長(zhǎng)方形，最少要用小長(zhǎng)方形共多少個(gè)？【分析】用的長(zhǎng)方形越多，長(zhǎng)方形總數(shù)越少，解不定方程，得最大的y值為18，對(duì)應(yīng)1個(gè)的。次大的y值為12，對(duì)應(yīng)x值為8個(gè)，如下圖染色，每個(gè)的長(zhǎng)方形覆蓋1個(gè)黑格，每個(gè)的最多覆蓋1個(gè)黑格，由于黑格數(shù)是20個(gè)，所以總的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)至少要20個(gè)。所以只能選擇次大的方法，對(duì)應(yīng)總共有20個(gè)長(zhǎng)方形。7、六位音樂家在一個(gè)音樂節(jié)上相聚，在安排的每場(chǎng)音樂會(huì)上，有某些音樂家演奏，而另外幾位音樂家就作