卷03（上海卷）-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷（解析版）

卷03（上海卷數(shù)學(xué)）-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷

一、填空題（本題12小題，滿分54分，其中1-6每題4分，7-12每題5分）

1.若集合A={2,4,6,8},3={x|f_4xW0},則AB=—.

【答案】{2,4}

【分析】

先解一元二次不等式，得到B={x|0Wx<4},再由交集定義，即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為B={X|X2-4XW0}={X|0WXW4},A={2,4,6,8},

所以A8={2,4}.

故答案為：{254}.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.

2.已知復(fù)數(shù)4=a+2i,Z2=2+3i（,?是虛數(shù)單位），若z/z2是純虛數(shù)，則實數(shù)。=

【答案】3

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，先求z「Z2,再由復(fù)數(shù)類型，即可求出結(jié)果.

【詳解】

因為復(fù)數(shù)4=。+21,Z2=2+3Z,

所以Zj-z2=(a+2i)?(2+3i)=2Q—6+(3a+4)i,

又Z1『2是純虛數(shù)，所以2a—6=0,解得：a=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由復(fù)數(shù)類型求參數(shù)的問題，涉及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.

x—2y=5

3.線性方程組'-°的增廣矩陣為_________.

3x+y=8

【答案】Ifi-12J5、

【分析】

直接根據(jù)線性方程組的增廣矩陣的含義求解.

【詳解】

x-2y=5(1-25)

線性方程組'。的增廣矩陣為，,。，

|3x+y=8(318J

故答案為：Ifl-125J1

【點(diǎn)睛】

考查J'線性方程組的增廣矩陣的含義,屬于容易題.

4.在(x-2＞的二項展開式中，/項的系數(shù)為

【答案】40.

【分析】

直接用二項展開式的通項公式求解.

【詳解】

5rr

Tr+i=C；(x)-(-2),故/的系數(shù)為《(一2)2=4().

2

故答案為：40

【點(diǎn)睛】

考查了二項式定理，利用通項公式求特定項的系數(shù)，屬于容易題.

5.某社區(qū)利用分層抽樣的方法從140戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、80戶低收

入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項指標(biāo)，則中等收入家庭應(yīng)選戶.

【答案】56

【分析】

由分層抽樣的計算方法有，中等收入家庭的戶數(shù)占總戶數(shù)的比例再乘以要抽取的戶數(shù),

即可得到答案.

【詳解】

該社區(qū)共有140+280+80=50()戶.

280

利用分層抽樣的方法，中等收入家庭應(yīng)選而X100=56戶

故答案為：56

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣，注意抽取比例是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

6.若直線/］：0￥+3、一5=0與/2：刀+2，-1=0互相垂直，則實數(shù)a的值為.

【答案】-6

【分析】

由兩直線互相垂直，建立關(guān)了實數(shù)。的方程，解方程即uj■得到答案.

【詳解】

兩直線4:av+3y-5=0與/2：x+2y—l=0互相垂直.

所以axl+3x2=0,解得a=—6

3

故答案為：-6

【點(diǎn)睛】

本題考查兩直線互相垂直求參數(shù)的值，注意兩直線互相垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.

7.如果sins=—'a為第三象限角，則sin(5~+a)=.

【答案】I

【分析】

由條件sina=-2也，a為第三象限角，可求出cosa=-,，再由誘導(dǎo)公式可得

33

sinf^+a^=-cosa,從而可得答案.

【詳解】

由sina=—,ct為第一象限角，有cosa=-Jl-sin2a=—

33

由誘導(dǎo)公式可得sin［奇+。J=-cose

,.(3/r}1

所c以l1sin\-a=-

I2)3

故答案為：一

3

【點(diǎn)睛】

本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，注意角的范圍，屬于基礎(chǔ)題.

x>0

8.若實數(shù)x、y滿足<yN0,則2=》一、的最小值為.

x+2y<2

【答案】-1

4

【分析】

由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解A(0』)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)

即可求得2=》一'的最小值.

【詳解】

x>0

解：由作出可行域，如下圖：

x+2y<2

將目標(biāo)函數(shù)z=x-y化為y=x-z,

由圖可知，當(dāng)宜線曠=*-2過點(diǎn)A(o,i)時，直線在y軸上的截距一Z最大，

Z有最小值,即：zmin=O-l=-l.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最小值，考查數(shù)形結(jié)合思想.

9.如圖，已知正四棱柱ABC?！?4G。的側(cè)棱長為J5,底面邊長為1,則直線

和底面ABCD所成的角的大小為.

5

兀

【答案V

【分析】

根據(jù)題意，得出底向ABC。是正方形，AB=AD=\,即可求出8。,

通過線面垂直的性質(zhì)，由。。_L底面ABCO得出從而得出直線￡>/和底

面ABCD所成的角為ZD/。，在肋△DOB中，求出々BD的弧度數(shù)，即可得出

答案.

【詳解】

解：已知正四棱柱ABC?！狝4G。的側(cè)棱長為J5,底面邊長為1,

則底面ABCD是正方形,

則A3=A￡>=1,所以雙）=JAB2+AD2=&，

而。。_L底面ABCD，DBU底面ABCD，

所以

則直線和底面ABCD所成的角為NRBD,

所以在中，由功即=部=*=1,

兀

解得：

ZD1BD=-.

6

即直線￡>/和底面ABC。所成的角的大小為5.

71

故答案為：—

4

【點(diǎn)睛】

本題考查利用幾何法求線面的夾角，以及線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.

數(shù)列滿足對任意〃恒成立，則

10.｛qjq=1,an+an+i=3〃+2eN*a2（f2Q=.

【答案】3031

【分析】

由已知再寫出兩式相減可得數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項成等差數(shù)列，求出

a“+i+an+2=3〃+5,

生后，由等差數(shù)列的通項公式可得402。.

【詳解】

a+a,=3n+2

由〈nn+1一兩式相減得%+2=3?而凡=5-1=4,

〔*+4+2=3〃+5-

二。20，（）=劣+1009d=4+1009x3=3031.

故答案為：3031.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的判斷，解題關(guān)鍵是由已知遞推式寫出相鄰式

（用〃+1代"）后兩式相減.

11.已知x、y都是正數(shù)，則3+2『+Q+.v1的最小值為_________.

x+y

【答案】匹

2

【分析】

7

利用換元法結(jié)合二次函數(shù)，基本不等式即可求解最小值.

【詳解】

解：令無+y=t,那么

3+2%~+xy+y~2d-41+廣+3

x+yt

I4)8_3叵

t-8/一2

當(dāng)且僅當(dāng)―=奢時取等號'所以3+2；；+/的最小值為苧

故答案為：封.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查分析運(yùn)算能力.

12.如圖為某街區(qū)道路示意圖，圖中的實線為道路，每段道路旁的數(shù)字表示單向通過此

段道路時會遇見的行人人數(shù)，在防控新冠肺炎疫情期間，某人需要從A點(diǎn)由圖中的道路

到2點(diǎn)，為避免人員聚集，此人選擇了一條遇見的行人總?cè)藬?shù)最小的從A到8的行走

線路，則此人從A到B遇見的行人總?cè)藬?shù)最小值是.

【答案】34

【分析】

8

假設(shè)從點(diǎn)8往回走到點(diǎn)A處，根據(jù)圖形，從點(diǎn)8處出發(fā)，前兩條路遇見的人數(shù)可能為

5+8,或5+5,或5+7,由此可確定前兩條路的走法，進(jìn)而同理分析，即可得到滿足

條件的路徑，再計算得到結(jié)論.

【詳解】

要使得遇見的行人總數(shù)最小，此人應(yīng)從點(diǎn)A處向上或向右走，即不能后退或向左走，

現(xiàn)在假設(shè)從點(diǎn)B往回走到點(diǎn)A處，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，觀察可得滿足條件的路徑如圖所示：

B

可得7+6+4+7+5+5=34,即最小值為34.

故答案為：34.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單的合情推理,考查分析理解能力.

二、單選題（本題共4小題，每題5分，共20分）

13.已知直角坐標(biāo)平面上兩條直線方程分別為4■.a}x+h,y+c,=0,

4b、

L,：4x+dy+R=0,那么",=0”是"兩直線4、心平行''的（）

a2b?

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不

必要條件

【答案】B

【分析】

9

根據(jù)兩條直線平行的條件，以及行列式運(yùn)算，可判斷必要不充分條件.

【詳解】

由題意,兩條直線平行,則。也一。24=0且4。，2—么9

qb[

而=0=qfe,—a>4=0,

a2b2

a.b.

故”兩直線4、4平行''能推出",=0"，而反向不可推出，

a2h2

a,b.

那么“，=0”是“兩直線4、A,平行”的必要不充分條件

a2b2

故選：B

【點(diǎn)睛】

判斷充分必要條件：條件推結(jié)論，則是充分條件；結(jié)論推條件，則是必要條件.

14.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45。，腰和上底長均為1的等腰梯

形，則該平面圖形的面積等于（）.

A.1+V2B.2+72C.、也D.1+交

222

【答案】B

【分析】

根據(jù)斜二測直觀圖的特點(diǎn)可知原圖形為一直角梯形，根據(jù)梯形面積公式即可求解.

【詳解】

如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，

10

所以S='(l+&+l)x2=2+V^.

2

故選：B.

15.如圖所示的程序框圖中，輸出的S為()

2"-2,,2,00-22,0,-2。102。

A.--------------C.D.一二一

3333

【答案】C

【詳解】

執(zhí)行循環(huán)得：S=0+2'(-l)+22+23(-l)+24++2100

一5嚴(yán))="二，選c

1-(-2)3

16.已知函數(shù)/(%)=cosxjcos,給出下列結(jié)論:

①/(%)是周期函數(shù);

11

②函數(shù)圖像的對稱中心(丘+卦)伏eZ)；

③若/(玉)=/(*2)，則西+A2=kT(KwZ);

④不等式sin2%xjsin2利>cos2JTX■|cos2zrx|的解集為

<xkH—<X<ZH—，4eZ>.

88

則正確結(jié)論的序號是()

A.①②B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】

由/(%+2〃)=/(x),可知/(x)是周期為2萬的函數(shù)，當(dāng)一時，

/(X)=—cos2x+—；當(dāng)工網(wǎng)時，/(%)=--cos2%--,畫出/(x)在一個

222222

(n37r、

周期一5'萬一內(nèi)的函數(shù)圖象，通過圖象去研究問題.

【詳解】

/(x+2^-)=cos(x+2^-)-|COS(X+2TT)|=COSX|COSX\=/(x)

???/(x)是周期為2萬的函數(shù),①正確;

兀乃I?

當(dāng)--<X?—時，cosxNO,/(X)=COS-x——cos2xH—

22v722

7Z3TZ*/*/\21cl

當(dāng)一<犬W——時，cosx<0,f(x)=-cos-x=——cos2x——

22

713兀

可以畫出〃x）在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，如下

12

由圖可知：函數(shù)J'(x)的對稱中心為(氏+]())(%eZ),②正確；

函數(shù)/(%)的對稱軸為x=版■，左eZ

若/.(%)=/.(%2)，則%/=卜兀,即與+々=2攵萬(左eZ),③錯誤;

伉一］|

cosl--2^x1-cos=cos----cos

5-ZTX2TIXI21

不等式sin-|sin2"乂>cos2zrx-|cos2時等價于:frx-i〉/（2〃x）

+25子+2叼入Z

由圖可知：27rxe

解得xe

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了誘導(dǎo)公式，降幕公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

三、解答題(本題共5小題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCO是矩形，

孫，底面A8CD,E是PC的中點(diǎn).已知A8=2,

AD=2拒,以=2.求：

(1)三角形PCQ的面積;

13

(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.

【答案】(1)273；(2)

【詳解】

(1)因為附，底面A8CD,所以附又A￡)J_CO,所以CDJ_平面以。，

從而CDLPD.

因為PD=獷+(2回2=2招，8=2,所以三角形PCD的面積為|x2x2A/3=273.

(2)

取P8中點(diǎn)凡連接EF、AF,則E尸〃8C,

從而NAEF(或其補(bǔ)角)是異面直線8c與AE所成的角，

在AWEF中，由EF=^、AF=&、AE=2,

則A4EF是等腰直角三角形，所以/AE/三不

因此異面直線BC與AE所成的角的大小是氣

18.已知銳角。的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與X軸正方向重合，終邊與單位圓分

14

別交于P、Q兩點(diǎn)，若P、。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為主何、氈.

105

(1)求cos(a+￡)的大??；

(2)在AA5c中，久b、。為三個內(nèi)角4、B、C對應(yīng)的邊長，若已知角C=a+/?,

3一

tanA=—,且〃2=丸生+。2,求2的值.

4

【答案】⑴顯⑵

22

【分析】

(1)由己知得：cose=,cos，=24,故而sintz=^@,sinB=>再由

10510^5

cos(a+/7)=cosacos夕一sinasin/7可得解.

(2)由(1)得:C=a+/?=工，所以cosC=也,sinC=也，由tanA=3可得

4224

347F)

sinA==,cosA=一，再由sin8=sin(A+C)可得sin8=-^—，最后由正弦定理可

5510

得：2=工^=—"-sing問題得解

besinBsinC

【詳解】

(1)由三角函數(shù)定義，得：cosa=±」?,cos￡=^5

105

a、夕為銳角，

二sina=Jl-cos%=，sin/?=^/1-cos2(5=-y

cos(a+￡)=cosacos/7-sinasinP

3M2舊M后也

=-------x----------------x—=-----

1051052

(2)由cos(a+/)=*，1、夕為銳角，

15

得：C=a+/?=—,cosC=-^-,sinC=

422

由tanA=g,得§n△=3,乂sir?A+cos2A=1，

4cosA4

34

解得sinA=-,cosA=—

sin3=sin[萬一(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC

30407^2

=—X------1——X------=

525210

由正弦定理可得：

a2-c2_sin3A-sin2C_252_1

besinBsinC7A/2叵5

1(T'T

【點(diǎn)睛】

本題考查了三家函數(shù)定義及正余弦和的展開公式，考查了正弦定理邊化角的技巧，考查

了計算能力，屬于中檔題.

19.某開發(fā)商欲將一塊如圖所示的四邊形空地ABCZ)沿著邊界用固定高度的板材圍成一

個封閉的施工區(qū)域，經(jīng)測量，邊界AB與AD的長都是2千米，ZBAD=60°,ZBCD=120°.

(1)如果NADC=105。,求2C的長(結(jié)果精確到0.001千米)；

(2)圍成該施工區(qū)域至多需要多少千米長度的板材？(不計損耗，結(jié)果精確到0.001千

16

米）

【答案】（1）約1.633千米（2）約6.309千米

【分析】

（1）如圖所示：連接BD，則△A3。為等邊三角形，NBDC=45。,根據(jù)正弦定理

計算得到答案.

（2）設(shè)N8DC=6,根據(jù)正弦定理得到6C+CO=警sin（6+60。）考，計算

得到答案.

【詳解】

（1）如圖所示：連接BD,則△A8D為等邊三角形，NBDC=45。,

BCBD班"633.

在BCO中:，故8c

sinNBDCsinZBCD3

BDBCCD

(2)設(shè)N8OC=e,則

sinZBCDsin，sin(60°-0)

故5C=孚sin。，C￡>=，sin（60°-。），

華sin（夕+60。）〈竽,

BC+CD=

當(dāng)。=30。時，等號成立，故至多需要4+逑a6.309.

3

17

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

20.已知橢圓C:「+/=l（a＞力＞0）的長軸長是焦距的2倍，且過點(diǎn)（―I,?）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P（x,y）為橢圓C上的動點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓C的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)P'滿足），=（4—x,0）?

PP'

①證明：一^為定值;

PF

②設(shè)。是直線/:x=4上的動點(diǎn)，直線A。、2Q分別另交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求

|MF|+|N目的最小值.

22

【答案】（1）上+匕=1（2）①見解析②3

43

【分析】

（1）由題意可得a=2c又過一點(diǎn)，及a,b,c之間的關(guān)系求出a，h,進(jìn)而求出橢

圓的方程；

（2）①由（1）可得右焦點(diǎn)P,A,8的坐標(biāo)，求出向量p}y的模，及向量而的模

PP,

可證得-為定值；

PF

②由題意方程可得x=4為右準(zhǔn)線，設(shè)。的坐標(biāo)，求出直線AQ,BQ的直線與橢圓聯(lián)

立求出M,N的橫坐標(biāo)，再由橢圓的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率

18

可得|MF|+|NF|川M,N的橫坐標(biāo)表示，由均值不等式可得其最小值.

【詳解】

19

解：(1)由題意可得a=2c,-y+4鏟=1，6K2=Z?2+c2?

解得：/=4，b2=3

22

所以橢圓的方程為：—;

43

(2)由⑴可得4(一2,0),6(2,0),尸(1,0),

①因為P(x,y)為橢圓C上的動點(diǎn)，

22

點(diǎn)尸'滿足?>=(4_%,0)，所以?+]~=1；

所以PP'=|4-x|

PP,

|4-x|

所以:=2,所以可證?丁為定值2.

g14-x|

PF

19

②由題意設(shè)。（4,f）,所以=%

所以直線A。的方程為：y=q（x+2）,

y=k"+2)

聯(lián)立直線4Q與橢圓的方程：〈

3X2+4/-12=0

整理可得：（27+戶）/+4:+41一108,

c4/2-108一2產(chǎn)+54

所以一2?知=------->所以為=-------

加27+/M27+產(chǎn)

同理程。=￡=（，所以直線3Q的方程：y=；（x-2）,

,）=5（X—2）整理可得：（3+產(chǎn)X-4?x+4產(chǎn)—12=0,

3/+4y2—i2=0

所以2/=竺￥，所以/=之二g，

N3+/N3+產(chǎn)

因為％=4為右準(zhǔn)線，

所以由到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率e=二，

2

可得：|ME|+|N日=g（4-x“）+（（4—4）=g（8-%一/）

X+X

=/|MN=4/一廠+27?廠

2127+/3+t2）

20

=4.....-...>4---E——二3

12+302病+30，

t

當(dāng)且僅當(dāng)〃=81，即，=±3時取等號.

所以|MF|+|NF|的最小值為3.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，涉及橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用和直線與橢圓的綜合,

以及向量的模的求法，考查解題運(yùn)算能力.

21.已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,—=4+4,neN*.

4t+lVan

（1）求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

SS

（2）設(shè)數(shù)列他』的前〃項和為5“，且滿足犬_=h+16〃2-8〃-3,試確定仇的值，

使得數(shù)列也,｝為等差數(shù)列；

（3）將數(shù)列J!（中的部分項按原來順序構(gòu)成新數(shù)列｛c,｝,且q=5,求證：存在無

數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列｛q,｝.

【答案】（1）a?=^=j（nGN*）（2）見解析（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）因為1-=J'r+4,所以/一=4+4,數(shù)列是首項為1,公

an+\Van"〃+lan[4,

差為4的等差數(shù)列，從而求出通項公式；（2）因為二2七-不一=1,即數(shù)列《丁七》

4〃+14幾一3[4n-3J

是首項為“，公差為1的等差數(shù)列，所以了