結構力學知識點梳理及學習方法

第一章緒論

§1-1結構力學的研究對象和任務

一、結構的定義：由基本構件（如拉桿、柱、梁、板等）按照合理的方式所組成的構件的體系,

用以支承荷載并傳遞荷載起支撐作用的部分。

注：結構一般由多個構件聯(lián)結而成，如：橋梁、各種房屋（框架、桁架、單層廠房）等。

最簡單的結構可以是單個的構件，如單跨梁、獨立柱等。

二、結構的分類：由構件的幾何特征可分為以下三類

1.桿件結構一一由桿件組成，構件長度遠遠大于截面的寬度和高度，如梁、柱、拉壓桿。

2.薄壁結構一一結構的厚度遠小于其它兩個尺度，平面為板曲面為殼，如樓面、屋面等。

3.實體結構一一結構的三個尺度為同一量級，如擋土墻、堤壩、大塊基礎等。

三、課程研究的對象

?材料力學——以研究單個桿件為主

?彈性力學一一研究桿件（更精確）、板、殼、及塊體（擋土墻）等非桿狀結構

?結構力學一一研究平面桿件結構

四、課程的任務

1.研究結構的組成規(guī)律，以保證在荷載作用下結構各部分不致發(fā)生相對運動。探討結構的合

理形式，以便能有效地利用材料，充分發(fā)揮其性能。

2.計算由荷載、溫度變化、支座沉降等因素在結構各部分所產生的內力，為結構的強度計算

提供依據，以保證結構滿足安全和經濟的要求。

3.計算由上述各因素所引起的變形和位移，為結構的剛度計算提供依據，以保證結構在使用

過程中不致發(fā)生過大變形，從而保證結構滿足耐久性的要求。

§1-2結構計算簡圖

一、計算簡圖的概念：將一個具體的工程結構用一個簡化的受力圖形來表示。

選擇計算簡圖時，要它能反映工程結構物的如下特征：

1.受力特性（荷載的大小、方向、作用位置）

2.幾何特性（構件的軸線、形狀、長度）

3.支承特性（支座的約束反力性質、桿件連接形式）

二、結構計算簡圖的簡化原則

1.計算簡圖要盡可能反映實際結構的主要受力和變形特點，使計算結果安全可靠；

2.略去次要因素，便于分析和計算。

三、結構計算簡圖的幾個簡化要點

1.實際工程結構的簡化：由空間向平面簡化

2.桿件的簡化：以桿件的軸線代替桿件

3.結點的簡化：桿件之間的連接由理想結點來代替

（1）較結點：較結點所連各桿端可獨自繞校心自由轉動，即各桿端之間的夾角可任意改變。

不存在結點對桿的轉動約束，即由于轉動在桿端不會產生力矩，也不會傳遞力矩，只能傳遞

軸力和剪力，一般用小圓圈表示。

（2）剛結點：結點對與之相連的各桿件的轉動有約束作用，轉動時各桿間的夾角保持不變，

桿端除產生軸力和剪力外，還產生彎矩，同時某桿件上的彎矩也可以通過結點傳給其它桿件。

（3）組合結點（半較）：剛結點與錢結點的組合體。

4.支座的簡化：以理想支座代替結構與其支承物（一般是大地）之間的連結

（1）可動較支座：又稱活動較支座、鏈桿支座、輻軸支座，允許沿支座鏈桿垂直方向的微小

移動。沿支座鏈桿方向產生一個約束力。

（2）固定較支座：簡稱較支座，允許桿件饒固定較錢心有微小轉動。過錢心產生任意方向的

約束力（分解成水平和豎直方向的兩個力）。如預制柱插入杯形基礎，四周用瀝青麻絲填實。

（3）固定支座：不允許有任何方向的移動和轉動，產生水平、豎直及限制轉動的約束力。

（4）定向支座：又稱滑動支座，允許桿件在一個方向上滑動，限制在另一個方向的運動和轉

動，提供兩個約束力。

四、結構計算簡圖示例

§1-3平面桿件結構和荷載的分類

一、平面桿件結構的分類

（-）按結構的受力特點分類

1.梁：是一種受彎構件，軸線常為一直線（水平或斜向），可以是單跨梁，也可以是多跨連

續(xù)梁，其支座可以是被支座、可動錢支座，也可以是固定支座。

2.剛架：由梁和柱組成，具有剛結點。剛架桿件以空亭為豐，所以又叫梁式構件。各桿會產

生彎矩、剪力、軸力，但以彎矩為主要內力。

3.桁架：由若干直桿在兩端用錢結點連接構成。桁架桿件主要承受熱網變形，是拉醫(yī)料住。

支座常為固定較支座或可動錢支座，當荷載只作用于桁架結點上時，各桿只產生軸力。

4.組合結構：由梁式構件和拉壓構件構成。即結構中部分是鏈桿，部分是梁或剛架，在荷載

作用下，鏈桿中往往只產生軸力，而梁或剛架部分則同時還存在彎矩與剪力，

5.拱：一般由曲桿構成，在豎向荷載作用下有水平支座反力。拱內不僅存在剪力、彎矩，而

且還存在軸力。

（二）按幾何組成分類

1.靜定結構：由靜力平衡條件求解

2.超靜定結構：由靜力平衡條件和結構的變形幾何條件共同求出。

二、荷載的分類

荷載是主動作用在結構上的外力，如結構自重、人群、水壓力、風壓力等。

（一）按作用范圍分類

1.分布荷載：體荷載一一面荷載一一線荷載（均布、非均布）

2.集中荷載：如吊車輪壓、汽車荷載等

（二）按作用時間分類

1.恒載：永久作用在結構上。如結構自重、永久設備重量。

2.活載：暫時作用在結構上。如人群、風、雪及車輛、吊車、施工荷載等。

（三）按作用位置的變化情況分類

1.固定荷載：作用位置固定不變的荷載，如所有恒載、屋樓面均布活荷載、風載、雪載等。

2.移動荷載：在荷載作用期間，其位置不斷變化的荷載，如吊車荷載、火車、汽車等。

（四）按作用性質分類

1.靜力荷載：荷載不變化或變化緩慢，不會是結構產生顯著的加速度，可忽略慣性力的影響。

2.動力荷載：荷載（大小、方向、作用線）隨時間迅速變化，使結構發(fā)生不容忽視的慣性力。

例如錘頭沖擊鍛坯時的沖擊荷載、地震作用等。

§1-4結構力學的學習方法

一、課程定位：土建工程專業(yè)的一門主要技術基礎課，在專業(yè)學習中有承上啟下的作用

二、學習方法

1.注意理論聯(lián)系實際，為后續(xù)專業(yè)課的學習打基礎

2.注意掌握分析方法與解題思路

3.注意對基本概念和原理的理解，多做習題

第二章平面體系的幾何組成分析

§2-1概述

一、研究體系幾何組成的目的

1.前提條件：不考慮結構受力后由于材料的應變而產生的微小變形，即把組成結構的每根桿

件都看作完全不變形的剛性桿件。

2.幾何不變體系：在荷載作用下能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系。

幾何可變體系：在荷載作用下不能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系。

注意：建筑結構必須是幾何不變的。

3.研究體系幾何組成的目的

（1）研究幾何不變體系的組成規(guī)律，用以判定一結構體系是否可作為結構使用；

（2）明確結構各部分在幾何組成上的相互關系，從而選擇簡便合理的計算順序；

（3）判定結構是靜定結構還是超靜定結構，以便選擇正確的結構計算方法。

二、相關概念

1.剛片：假想的一個在平面內完全不變形的剛性物體叫作剛片。

注：（1）在平面桿件體系中，一根直桿、折桿或曲桿都可以視為剛片，并且由這些構件組成

的幾何不變體系也可視為剛片。地基基礎也可視為一個大剛片。

（2）剛片中任意兩點間的距離保持不變，所以可由剛片中的一條直線代表剛片。

2.自由度

（1）自由度的概念：體系運動時，用以確定體系在平面內位置所需的獨立坐標數。（2）一個

點：在平面內運動完全不受限制的一個點有2個自由度。

一個剛片：在平面內運動完全不受限制的一個剛片有3個自由度。

注：由以上分析可見，凡體系的自由度大于零，則是可以發(fā)生運動的，位置是可以改變的，

即都是幾何可變體系。

3.約束

(1)定義：又稱聯(lián)系，是體系中構件之間或體系與基礎之間的聯(lián)結裝置。限制了體系的某些

方向的運動，使體系原有的自由度數減少。也就是說約束，是使體系自由度數減少的裝置。

鏈桿：一根單鏈桿或一個可動較(一根支座鏈桿)具有1個約束，如圖(a)。

單校結點：一個單較或一個固定較支座(兩個支座鏈桿)具有2個約束，如圖(b)0

單剛結點：一個單剛結點或一個固定支座具有3個約束，如圖(c)o

單約束：連接兩個物體的約束叫單約束。

復約束：連接3個(含3個)以上物體的約束叫復約束。

1)復校結點：若一個復校上連接了N個剛片，則該復錢具有2(NT)個約束，等于(NT)個單

較的作用。

2)復剛結點：若一個復剛結點上連接了N個剛片，則該復剛結點具有3(NT)個約束，等于

(NT)個單剛結點的作用。

(3)必要約束：使體系自由度數減少為零所需的最少約束。

多余約束：體系上約束數目大于體系的自由度數目，則其差值就是多余約束。

4.實校與虛錢

(1)實錢的概念：由兩根直接相連接的鏈桿構成。

(2)虛錢的概念：虛錢是由不直接相連接的兩根鏈桿構成的。虛錢的兩根鏈桿的桿軸可以平

行、交叉，或延長線交于一點。

(3)虛錢的作用：當兩個剛片是由有交匯點的虛銳相連時，兩個剛片繞該交點(瞬時中心，

簡稱瞬心)作相對轉動。從微小運動角度考慮，虛錢的作用相當于在瞬時中心的一個實校的

作用。

三、平面體系的自由度計算

1.體系與基礎相連時的自由度計算公式：W=3m-(3g+2j+r)

注：支座鏈桿數是把所有的支座約束全部轉化為鏈桿約束所得到的。

2.體系不與基礎相連時的自由度計算公式

體系不以基礎相連，則支座約束r=0,體系對基礎有3個自由度，僅研究體系本身的內

部可變度V,可得體系自由度的計算公式為：W=V+3

得V=W—3=3m-(3g+2j)-3

例1.求圖示多跨梁的自由度。

解：W=3m-（3g+2j+r）=3X3—（2X2+4）=1

因W>0,體系是幾何可變的。

例2.求圖示不與基礎相連體系的自由度。

解：體系內部可變度

V=3m-（3g+2j）-3=3X7-2X9-3=0

故體系幾何不變。

3.體系自由度的討論

（1）W>0,自由度數目》約束數目，體系幾何可變

（2）W=0,具有使體系幾何不變所需的最少約束

（3）W<0,自由度數目〈約束數目，體系具有多余約束（可能是幾何可變體系，也可能是超靜

定結構）

注：WW0是體系幾何不變的必要條件。

§2-2無多余約束的幾何不變體系的組成規(guī)則

一、一點與一剛片

1.規(guī)則一:一個點與一個剛片之間用兩根不在同一條直線上的鏈桿相連，組成無多余約束的幾

何不變體系。

2.結論：二元體規(guī)則

（1）二元體：兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)接一個新結點的裝置。

（2）二元體規(guī)則：在一已知體系中增加或減少二元體，不改變原體系的幾何性質。

注：利用二元體規(guī)則簡化體系，使體系的幾何組成分析簡單明了。

二、兩剛片規(guī)則

1.規(guī)則二：兩個剛片用一個單較和桿軸不過該錢錢心的一根鏈桿相連，組成無多余約束的幾

何不變體系。

2.推論：兩個剛片用不全交于一點也不全平行的三根鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變

體系。

三、三剛片規(guī)則

1.規(guī)則三：三個剛片用不全在一條直線上的三個單較（可以是虛錢）兩兩相連，組成無多余

約束的幾何不變體系。

2.較接三角形規(guī)則：平面內一個較接三角形是無多余約束的幾何不變體系。

注意：以上三個規(guī)則可互相變換。之所以用以上三種不同的表達方式，是為了在具體的幾何

組成分析中應用方便，表達簡捷。

四、瞬變體系的概念

1.瞬變體系的幾何組成特征：在微小荷載作用下發(fā)生瞬間的微小剛體幾何變形，然后便成為

幾何不變體系。

2.瞬變體系的靜力特性：在微小荷載作用下可產生無窮大內力。因此，瞬變體系或接近瞬變

的體系都是嚴禁作為結構使用的。

注：瞬變體系一般是總約束數滿足但約束方式不滿足規(guī)則的體系，是特殊的幾何可變體系。

S)

如上圖2(a),體系是幾何不變的;圖(b)(c)體系是幾何瞬變的；圖(d)是幾何常變的。

⑷S)

如上圖3(a),體系仍是幾何不變的，但有一多余約束；在圖3(b)中，兩鏈桿1、2在一

條直線上，體系是幾何瞬變的。

五、幾何組成分析舉例

幾何組成分析的一般要領是：先將能直接觀察出的幾何不變部分當作剛片，并盡可能擴

大其范圍，這樣可簡化體系的組成，揭示出分析的重點，便于運用組成規(guī)則考察這些剛片間

的聯(lián)結情況，作出結論。

下面提出幾個組成分析的途徑，可視具體情況靈活運用：

(1)當體系中有明顯的二元體時，可先依次去掉其上的二元體，再對余下的部分進行分析。

如圖4所示體系。

(2)當體系的基礎以上部分與基礎間f

以三根支承鏈桿按規(guī)則二相聯(lián)結時，可行干

先拆除這些支桿,只就上部體系本身進

行分析，所得結果即代表整個體系的組⑷

成性質。如圖5所示體系。圖5

(3)凡是只以兩個錢與外界相連的剛片，不論其形狀如何，從幾何組成分析的角度看，都可

看作為通過校心的鏈桿。如圖6所示體系。

(b)S)

圖4圖6

(3)有一個多余約束的幾何不變體系

（任一鏈桿均可視為多余約束）

(4)

圖（a）三錢不共線為無多余約束的幾何不變體系；圖（b）三鏈桿延長交于一點是瞬變體系。

例2.2對下列圖示體系作幾何組成分析。

圖(a)為無多余約束的幾何不變體系;

圖(b)為無多余約束的幾何不變體系；

圖(c)是少一個約束的幾何可變體系；

圖(d)為無多余約束的幾何不變體系。

例2.3對下列圖示體系作幾何組成分析(說明剛片和約束

圖(a)三個虛錢不共線為無多余

約束的幾何不變體系；圖(b)為無

多余約束的幾何不變體系。

注意：三個剛片的三個單較有無窮遠虛錢情況

1.兩個平行鏈桿構成沿平行方向上的無窮遠虛較。

2.三個剛片由三個單錢兩兩相連，若三個錢都有交點,容易由三個錢的位置得出體系幾何組

成的結論。當三個單校中有或者全部為無窮遠虛錢時，可由分析得出以下依據和結論：

(1)當有一個無窮遠虛較時，若另兩個較心的連線與該無窮遠虛銳方向不平行，體系幾何不

變；若平行，體系瞬變。

(2)當有兩個無窮遠虛錢時，若兩個無窮遠虛較的方向相互不平行，體系幾何不變；若平行,

體系瞬變。

(3)當有三個無窮遠虛較時，體系瞬變。

1

⑹

圖(a)為無多余約束的幾何不變體系;

圖(b)為幾何瞬變體系；

圖(c)為幾何瞬變體系。

(b)

例2.4對下列圖示體系作幾何組成分析。

-P

(a)

cc圖（a）為幾何瞬變體系；

圖（b）為幾何瞬變體系；

圖（c）為無多余約束的幾何不變體系;

圖（d）為幾何瞬變體系。

例2.4對圖示各體系作幾何組成分析。

圖（a）為幾何可變體系（少兩個約束）;

圖（b）為幾何瞬變體系；

圖（c）為幾何瞬變體系。

一、本章要求

1.了解幾何不變、幾何可變、瞬變體系、剛片、自由度、虛較、約束及多余約束的概念;

2.重點理解并掌握平面幾何不變體系的簡單組成規(guī)則，并能靈活應用到對體系的分析中。二、

組成規(guī)則應用要點

1.組成規(guī)則中的四個要素：剛片個數、約束個數、約束方式、結論。

2.幾何組成分析的要點是：緊扣規(guī)則。即把體系簡化或分步取為兩個或三個剛片，由相應的

規(guī)則進行分析；分析過程中，規(guī)則中的四個要素均要明確表達，缺一不可。

三、對體系作幾何組成分析的一般途徑

1.恰當靈活地確定體系中的剛片和約束

體系中的單個桿件、折桿、曲桿或已確定的幾何不變體系均可視為剛片。但若剛片只用

兩個較與體系的其它部分連接時，則可用一根過兩校心的鏈桿代替，視其為一根鏈桿的作用。

2.如果上部體系與大地的連接符合兩剛片的規(guī)則，則可去掉與大地的約束，只分析上部體系。

3.通過依次從外部拆除二元體或從內部（基礎、基本三角形）加二元體的方法，簡化體系后

再作分析。

4.桿件和約束不能重復利用。

第三章靜定結構的內力計算

§3-1單跨靜定梁

一、靜定結構概述

1.概念：是沒有多余約束的幾何不變體系。

2.特點：在任意荷載作用下，所有約束反力和內力都可由靜力平衡方程唯一確定。

平衡方程數目=未知量數目

3.常見的靜定結構及應用

二、單跨靜定梁的內力計算

1.類型：簡支梁、外伸梁、懸臂梁

2.工程實例：鋼筋混凝土過梁、吊車梁、單塊預制板等

3.支座反力的計算：由靜力平衡方程唯一確定

4.內力計算：截面法

（1）截面內力形式及正負號的規(guī)定

截開一根梁式桿件的截面上有三個內力（分量），即：軸力縱,、剪力Fs和彎矩M。

截面上平行桿軸的正應力的代數和，一般以受拉為正。

Fs：截面上垂直于桿軸的切應力的代數和，以使隔離體產生順時針轉動為正。

M：截面上正應力對截面中性軸的力矩代數和，對梁一般規(guī)定使其下部受拉為正。

（2）截面法計算梁指定截面內力的步驟

1）計算梁的支座反力（懸臂梁可不求）。

2）在需要計算內力的橫截面處，將梁假想切開，并任選一段為研究對象。

3）畫所選梁段的受力圖，這時剪力與彎矩的方向均按正方向假設標出。

4）通常由平衡方程Z4=0,計算剪力尸s。

5）以所切橫截面的形心。為矩心，由平衡方程計算彎矩

注意：計算內力要點

（1）所取的隔離體周圍的所有約束必須全部切斷并代以約束力、內力。

（2）對未知支座反力可先假定其方向，由計算結果的正負判斷實際方向，并要求在計算結果

后的圓括號內用箭頭表示實際方向。

（3）計算截面的內力時，任意選取受力簡單的隔離體研究，內力均按規(guī)定的正方向假設。

三、單跨靜定梁內力圖的繪制

1.基本方法：按內力函數作內力圖，即內力方程法。

2.簡單方法：由荷載與內力的微分關系作內力圖，即分區(qū)段由內力圖的特點繪制內力圖。

（1）在無荷載區(qū)段，吊圖為水平直線；當時，M圖為斜直線；當吊=0時，M圖為

水平直線。

(2)在均布荷載區(qū)段，吊圖為斜直線；M圖為拋物線，且凸向與荷載指向相同。

(3)水平集中力工作用點兩側截面F"圖有突變，其突變值等于工，4圖和M圖不受影響。

(4)豎向集中力々作用點兩側截面用圖有突變，其突變值等于以；M圖有折點，其折點的

尖角與F,方向相同;FN圖不受影響。

(5)集中力偶M作用點兩側截面的M圖有突變，其突變值等于M；心圖和心圖不受影響。

例3.1繪制圖3.1所示梁內力圖。

解：(1)求支座反力

由梁整體的平衡方程=°，-15x8x4=0

得FB,=8(RN

由ZK，=0，得/%=40ZN

(2)確定控制截面的位置，把梁分為若干區(qū)段

本例可確定A、B、C三點為控制截面，把梁分為AB和兩段。

四、疊加法作彎矩圖

1.簡支梁的彎矩圖疊加法

疊加的基本原理：結構上全部荷載產生的內力等于每一荷載單獨作用所產生的內力的代數和。

8

2.彎矩圖疊加的實質：指彎矩豎標的疊加（而礪是圖形的簡單疊加），當同截面在兩個彎矩

豎標在基線不同側時，疊加后是兩個豎標絕對值相減，彎矩豎標畫在絕對值大的一側；當兩

個豎標在基線同一側時，則疊加后是兩個豎標絕對值相加，豎標畫在同側。

3.直桿段彎矩圖的區(qū)段疊加法

直桿區(qū)段的彎矩圖疊加可利用簡支梁的彎矩圖疊加法。其步驟是：

（1）計算直桿段兩端的最后彎矩值，以桿軸為基線畫出彎矩值的豎標，并將兩豎標連一虛線;

（2）將所連直線作為新的基線，疊加相應簡支梁在跨間荷載作用下的彎矩圖。

例3.2繪制圖3.2所示梁內力圖。

解：（1）求支座反力

「20x2+10x8x4-30

F=------------;------------=55KN

BV6

=20+10X8—55=45ZN

FA）V

（2）計算各控制截面的內力值以及各區(qū)段的彎矩疊加值

%值:F$A=FA,=45kN與c左=45—10x2=25左NFsc^=45-10x2-20=5^

%左=10x2-55=-35左NF5MI=10x2=20^/=0

M值：MA=-^kN-m（上側受拉）

%=45x2—30—10x2x1=40ZN?加（下側受拉）

Al"=—10x2x1=—（上側受拉）MD=0

1.2

AC段中點的彎矩疊加值—Cjl=-xl0x22：=5kN-m

88

1廠2

C6段中點的彎矩疊加值-ql-==-xl0x4=二20kN,m

88

1,

3。段中點的彎矩疊加值—ql~-=-xl0x22:=5kN-m

88

（3）分段作內力圖

%圖按各區(qū)段剪力圖的特點繪制，即首先由以上各控制截面的心值在相應各處作出

圖的縱標，然后在各區(qū)段兩端縱標之間連線，即得用圖如圖（b）。

M圖需分三步作出。首先由以上算得的各30kN?m20kN10kN/m

控制截面”值作出各縱標，然后在彎矩疊加的

區(qū)段連虛線。最后，以虛線為基線，把以上算

得的彎矩疊加值加上去，連成實曲線，得M圖

如圖（C）所示。

應注意：疊加是縱坐標值的相加，因此疊

加值必須垂直于橫坐標軸線按豎直方向畫出，

而不是垂直于虛線。

⑷求Mnax

當拋物線頂點的極值彎矩是全梁的最大正

彎矩或最大負彎矩時，應求出并標出。從M圖

可以看出，區(qū)段上有全梁的最大正彎矩".ax，

求解如下。首先在該區(qū)段上找剪力為零的截面，

并令該截面到支座A的距離為X,則由

F5（X）=45-20-10X=0求得x=2.5m

從而求出MmaxMmax=45X2.5-20x0.5-10x2.5x1.25=41.25ZN(下側受拉)

尸=4kN

例3.3如圖3.3（a）所示一懸臂梁，Ig=3kN/m

承受均布荷載q=3kN/m和集中荷載

P=4kN的作用，試繪制其內力圖。必*士

解：（1）求桿件軸力

q

由于沒有水平向的外荷載，因此

支座水平反力為零，梁內軸力也為零。

（2）求控制截面內力(e)

b

（3）分區(qū)段利用內力圖特點及疊加

原理繪制內力圖。

Mc

7

(g)

(h)

M圖(kN?m)

例3.4如圖3.4所示一外伸梁，承受集中荷載P=4kN,均布荷載q=3kN/m,試繪制其內力圖。

Im,2m.Im

五、簡支斜梁

1.工程實例：樓梯斜梁、剛架中的斜梁

2.樓梯斜梁的荷載及轉化

承受的荷載主要有兩種，一種是沿斜梁水平投影長度分布的荷載，如樓梯上人群的重量

等；另一種是沿傾斜的梁軸方向分布的豎向荷載，如梁的自重等。

一般在計算時，為計算簡便可將沿梁軸方向分布的豎向荷載按等值轉換為沿水平方向分

布的豎向荷載，如圖3.5(a)所示，梁斜長為1',水平投影長度為1,沿梁軸線方向分布的

荷載為q'，轉換為沿水平方向分布的荷載為q，則由于是等值轉換，所以有：

q'1=qlq=q1/l=q/cosa

3.內力計算及內力圖紜制?????I??II?ILLLU>^

CD求出支座反力

(2)求任一截面的內力表達式/

⑶畫內力圖

“圖

匕/cos藤野二

*XJ

匕1——L-------------

圖

(d)

由上圖可知，彎矩圖為拋物線形，跨中彎矩為l/8ql)它與承受相同荷載的水平簡支梁

完全相同，Q圖與同樣條件的水平簡支梁的Q圖形狀相同,但數值是水平簡支梁的cosa倍。

§3-2多跨靜定梁

一、幾何組成及傳力特征

1.定義：多跨靜定梁是由若干個單跨梁用錢聯(lián)結而成的靜定結構。

2.應用：公路橋梁、房屋建筑中的木楝條

3.幾何組成：先基本，后附屬

（1）基本部分：結構中不依賴于其它部分而獨立與大地形成幾何不變的部分。

（2）附屬部分：結構中依賴基本部分的支承才能保持幾何不變的部分。4.傳力特征：繪制傳

力層次圖，附屬部分一基本部分

（1）第一種形式曲-B為%方務E~~F&K工房/

CDGH

BAEFA-A

荔

S)

BCDEFGH

（2）第二種形式M—為

⑷

GH

EFK-JT

C2K一士d務

7^7

(切

二、內力計算

i.受力特點

（1）當多跨靜定梁的附屬部分上有外荷載時,該外荷載將使該附屬部分產生內力，并傳給它

以下的基本部分使其也產生內力。

（2）當在其基本部分上有外荷載時，該外荷載僅使該基本部分（及以下）產生內力，對其上

的附屬部分不產生內力。

2.計算要點

（1）計算順序：先附屬，后基本

（2）多跨靜定梁的內力總能由靜力平衡條件求出。

例3.5計算圖示多跨靜定梁，并作內力圖。

E

c

才

S)

解:（1）根據傳力途徑繪制層次圖，如圖（b）所示。

（2）計算支座反力，先從高層次的附屬部分開始，逐層向下計算。

①EF段：由靜力平衡條件得

2%=0x4-10x2=0=%=5kN（T）

2工=0/^v+5-10-20=0=>/^v=25kN（T）

②CE段：將理,反向作用于E點，并與q共同作用可得

=0%x4-25x5-4x4x2=0=%=39.25kN（T）

ZK=0%+39.25-4X4-25=0=%=1.75kN（T）

109

5TSII

M圖(kN?m)。圖(kN)

E尸段

M圖(kN?m)

CE段

M圖(kN?m)。圖（kN）

FH^.

.............

\UJJ^

M圖(kN?m)

4c段

Q圖(kN)

③FH段：將耳，反向作用于F點，并與q=3kN/m共同作用可得

IX=。%x4-5x5-3x4x2=0=%=12.25kN（f）

Z月=0+12.25—5—3x4=0=FHy=4.75kN（T）

④AC段：將Fg反向作用于C點，并與q=4kN/m共同作用可得

Z%=04x4-1.75x5-4x5x25=0=%=14.7kN。）

￡F、.=0FAV+14.7-1.75-5x4=0=>FAV=7.1kN（T）

(3)計算內力并繪制內力圖

各段支座反力求出后不難由靜力平衡條件求出各截面內力，然后繪制各段內力圖，最后

將它們聯(lián)成一體，得到多跨靜定梁的M、FQ圖，如圖所示。

例3.5計算圖示多跨靜定梁，并作內力圖。

,2mz2mIm.3mImz2m.2m,1m,4m,1m,4m

J

X

三、多跨靜定梁的受力特征

1.內力圖特點：與同跨簡支梁相比，彎矩圖分布比較均勻，中間支座處有負彎矩，可減小跨

中的正彎矩。

2.受力特征：受力均勻，可節(jié)省材料，但其構造要復雜。

§3-3靜定平面剛架

一、概述

1.定義:剛架一般指由若干橫桿（梁或斜梁）、豎桿（柱）構成的，其主要特點是具有剛結點,

可圍成較大空間的結構形式。剛架的桿件是以彎曲變形為主的梁式桿。

2.特點:在于它的剛結點。從幾何組成看，剛結點能維持剛架的幾何不變性，使結構內部具有

較大的凈空；從變形角度看，剛架整體剛度大，在荷載作用下，變形較小，剛結點在變

形后既產生線位移，又產生角位移，但變形前后各桿端之間的夾角不變，即結點對各桿

端的轉動有約束作用，因此剛結點可以承受和傳遞彎矩；從內力角度看，由于剛結點能

承受和傳遞彎矩，使桿件的內力分布更均勻，可以節(jié)省材料。

3.分類:按支座形式和幾何構造特點分為

（1）簡支剛架（2）懸臂剛架（3）三較剛架（4）組合剛架

前三類是簡單剛架；而組和剛架是復合剛架，簡單剛架的分析是復合剛架分析的基礎。

二、靜定平面剛架的計算步驟

1.計算支座反力（或約束力）；

2.計算桿端截面內力（簡稱桿端力）和控制截面內力；

3.分區(qū)段利用內力圖的特點畫各段內力圖。

說明：（1）在剛架中，各桿件桿端是作為內力的控制截面的。桿端力，即桿端內力，用內力

符號加兩個下標表示桿端力。如用MBA表示剛架中AB桿在B端的彎矩。

（2）剛架的內力正負號規(guī)定同梁。剪力、軸力圖可畫在桿軸的任一側，但必須標正負

號；彎矩圖畫在受拉側，不標正負號。

例1.求懸臂剛架的內力圖。4kN/m

e二

二

2

32口

M圖(kN?m)N圖(kN)

(d)(e)

2kN/mQBC

例2.求簡支剛架的內力圖。

解：（1）求支座反力

（2）求各控制截面內力

（3）畫內力圖

（4）校核

取C點為隔離體校核：

?Y=FQCB-FQ=-16-（―16）=。

取BCD為隔離體進行校核：S)

2x4-尸皿=-8-8-(-16)=02kN/m

￡MB=MBC+2x4x2+x4=0MM=48h

上述計算結果無誤。

“48

Ne=T6

三

二3

五

二

三

'圖(kN)

(0(A)

例3.求三錢剛架的內力圖。（課本例3.7）

例4.求組和剛架的內力圖。

解：對于這種組合剛架，計算時應先計算附屬部分的反力，再計算基本部分（或整體）的反

力，然后按前述方法計算內力并繪制內力圖。

本題中ABCD部分為基本部分，EFG部分為附屬部分。

（1）求支座反力

先取EFG為隔離體，求G支座反力FG=4.5kN（t）

E結點處約束力FNEF=-6kN,FQEF=-4.5kNo

取ABCD為隔離體(或取整體研究)，F(xiàn)D=lkN(t)FAx=2kN(f)FAy=10.5kN(t)

(2)求內力

AH桿，HB桿，BC桿，CD、EF、FG桿

(3)繪制內力圖

(4)校核

分別以結點D、結點G和整個結構為隔離體進行校核，可見均滿足平衡條件。

4kN/m

N圖(kN)Q圖(kN)

三、剛架內力圖的另一作法

1.先按上述作法繪制剛架的彎矩圖。

2.根據各桿端彎矩及桿件上的荷載，利用平衡條件求出各桿端剪力，并繪制剪力圖。

剪力計算公式：

F一產。%+妁

rQi.i~rQijI

F一尸%+儲

11

Qji—Qji7

注：（1）%、/味是ij桿相應簡支梁在桿上荷載作用下，i端和j端的剪力;

（2）M.是ij桿i端和j端的彎矩，其符號根據正向規(guī)定確定。

3.取剛結點為研究對象，由結點平衡求各桿端軸力，繪制軸力圖。

§3.4三較拱

一、拱的概念

1.定義:桿軸為曲線，在豎向荷載作用下可產生水平支座反力（水平推力）。

與曲梁的區(qū)別：在豎向荷載作用下］尸

（1）拱有水平反力（推力），曲梁沒有。

（2）水平推力的存在使拱的截面彎矩京再源廣必冰方

比相應簡支梁的彎矩小的多，可“1/H，||%

節(jié)省材料，減輕自重。（a）S）"

2.應用：主要承受壓力，適用于大跨的橋梁和屋架。

3.拱的構造及各部名稱：拱軸、拱趾、拱頂、拱跨、拱高、起拱線、高跨比;是影響拱受

力性能的主要參數。

4.拱軸形狀：拋物線、圓弧線、懸鏈線等

5.拱的分類：三較拱、兩較拱、無較拱

靜定拱：三較拱、帶拉桿三較拱；超靜定拱：兩較拱、無較拱。

二、三較拱的內力計算

1.三較拱的支座反力：和三校剛架支座反力的計算方法完全相同。

注：①這三個關系式僅在只有豎向荷載作用下成立。

②豎向反力與拱高無關；水平反力與拱軸形狀無關，而與三個錢的位置有關。

③由第三式分析，在拱上作用的荷載和拱的跨度不變的條件下，是一個常數，拱的

推力時與拱高成反比。即當高跨比1越小，則水平推力七越大。（/-0，F(xiàn)H-8）

3.拱的內力計算

（1）內力形式：拱的任一截面上一般有三個內力（M、FQ、FQ

（2）內力計算方法：截面法。與直桿件不同的是拱軸為曲線時，截面法線角度不斷改變，截

面上內力K

（3）內力計算公式:

MK=M^-FHyK

F

FNK=QK^aK+FHcosaK

FQK=FQKcosaK-FHsinaK

說明及注意：廠二

（C）（fl）

①由于拱的水平推力的作用，有效減小彎矩。在豎向荷載作用下，梁中無軸力,

而拱中有軸力，且數值較大一般為壓力。所以拱是以受壓為主的結構。

②以上公式是在以拱的左底較為原點的平面直角坐標中應用，并僅考慮了豎向荷載的作用。

③式中幺為所計算K截面處拱軸切線與水平x坐標的夾角。如果取均是與水平方向的銳角

考慮，則K截面在左半拱時耿為正，在右半拱時％.為負。

④帶拉桿的三較拱，其支座反力可由整體的平衡條件完全求得，水平推力由拉桿承受?？蓪?/p>

頂錢和拉桿切開，取任一部分求出拉桿中的軸力。

三、拱的內力圖

1.內力圖特征：當拱軸為曲線時

（1）不管拱軸區(qū)段上是否有分布荷載，拱的各內力圖在區(qū)段上均為曲線形狀；

（2）在豎向集中力F作用點兩側截面，拱的軸力和剪力有突變，突變值分別為Fsin/和

FcosaK,彎矩圖在該點轉折；在集中力偶M作用點兩側截面，彎矩有突變，突變值為M,

軸力和剪力不受影響。

(3)由于水平推力對拱的彎矩的影響，拱的彎矩與相應的簡支梁的彎矩比較大大的減小。

2.內力圖的制作方法：原則上是將拱沿其跨度平分成若干等份區(qū)段，分別計算出每個等分點

截面的內力值，然后將各點內力豎標順序連以光滑曲線即可。但要注意各內力圖上的突

變和轉折特征。

拱相橫坐標縱坐標Qi.M(kN,m)Q(kN>N(kN)

麗也sin*cos你

分點xx(m>1yMm)(kN)KA

-HAyKM&cos*-HAsi怖QKQxsin%HCOS6cNA

000145*0.7070.7079000063.63-60.13.553.6360.1123.7

10.8750.7536.87*0.60.89090-74.415.672-51215468122

hli0.8750.7536.87'0.60.34090-74.415.632-5]-19246892

221.50.526.57.0.4470.89440130一127.52.535.76-38-2,24)7.887693.9

331.8750.2514.04s0,2420.9720160-159.40.619.4-20.57-1.174.8482.1587.3

442000010170-170000008585

551.875-0.25-14.04,一0.242+0.97-20160-159.40.6-19.420.571.174.8482.4587.3

61.5-0.5-26.57“-0.447+0.894—20140-127.512.5-17.883820.18.947684.9

61.5-0.5-26.57--0.4474-0.894-70140727.512.562.583824.631.376107.3

770.875-0.75一36.87°—0.6+0.8-7070-74.4—4.4-5651-54268110

880-I-45*-0.707+0.7077000049.4960.110.649.4960.1109.6

四、拱的合理拱軸

L概念：在某一荷載作用下，沿拱軸所有截面上均無彎矩只有軸向壓力作用時的拱軸線。其

壓應力沿截面均勻分布，此時的材料使用最為經濟。

2.合理拱軸線的確定原則：在荷載作用下，任何截面的彎矩為零的原則確定。

3.豎向荷載下的合理拱軸線

豎向荷載下拱的彎矩計算公式為M長=M：—FHyK

令%=0得％

PH

三被拱在豎向荷載作用的合理拱軸：

（1）在豎向集中荷載作用下的的無荷載區(qū)段上，合理拱軸是一條直線，并在集中荷載作用點

出現(xiàn)轉折。

（2）在均布荷載作用區(qū)段上，合理拱軸是一條二次拋物線。

（3）在徑向均布荷載作用下，合理拱軸是圓弧線；在填土荷載作用下，合理拱軸是懸鏈線。

注：拱的合理拱軸線的形狀與相應的簡支梁的彎矩圖相似。

例2求出如圖（a）所示三校拱承受豎向均布荷載時的合理拱軸。

解：作相應簡支梁，其彎矩方程為:

--qlx—^qx2

三錢拱支座水平推力為：

F—巡—近

"f8/

合理拱軸方程應為：

_2-_4而（/—x

>K='

FH仁I

8/

由此可見，三較拱在豎向均布荷載作用下的合理拱軸是一條二次拋物線。

§3-5靜定平面桁架

一、概述

1.桁架的概念：桁架是由若干直桿組成且全為較結點的結構計算簡圖形式。

2.理想桁架假定

（1）桁架中的錢為絕對光滑而無磨擦的理想較；

（2）桁架中的各桿件軸線絕對平直，且通過它兩端錢中心；

（3）桁架上的荷載和支座反力都作用在結點上，而且位于桁架平面內；

（4）各桿自重不計，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點上。

注：理想桁架桿件只產生軸向內力，即理想桁架桿件是二力桿件。

3.優(yōu)缺點：與梁、剛架相比，截面應力分布均勻，材料的使用經濟合理，自重較輕；但桿件

較多，結點多，施工復雜。

4.應用：工業(yè)和民用建筑中的屋架、托架、楝條、橋梁、高壓線塔架、水閘閘門構架及其它

大跨結構。

5.工程中的實際桁架

（1）工程中實際桁架從構造上與理想桁架的假定均相差很大。例如，軸線絕對平直的桿件和

理想較接實際中均做不到，尤其是后者。

（2）理想桁架主要承受結點荷載，因此桿件的彎矩較小，主要以承受軸力為主。由于這類桿

件的長細比較大，受壓時會失穩(wěn)。利用理想桁架計算簡圖計算桿件軸力（主內力）。桿件上的

彎矩、剪力（次內力）另由其他方法計算。

6.桁架的組成和分類

（1）桁架的組成：弦桿（上弦桿、下弦桿）；腹