平行四邊形常考知識點2023年中考數(shù)學(xué)考點微

考向4.6平行四邊形?？贾R點專題

例1、(2021?江蘇宿遷?中考真題)在①AE=C/；②OE=OF；③8E〃。尸這三個條件中任選

一個補充在下面橫線上，并完成證明過程.

已知，如圖，四邊形A8CD是平行四邊形，對角線AC、〃。相交于點O,點E、廠在AC

上，(填寫序號).

求證：BE=DF.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.心「

解：若選②，HPOE=OF；/

證明：??.四邊形ABC。是平行四邊形，/

:.BO=DO,8-------------------

VOE=OF,ZBOE=ZDOF,

AABOE^ADOF(SAS),

，BE=DF；

若選①，即AE=CF；

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

ABO=DO,AO=CO,

VAE=CF,

.'.OE=OF,

又NBOE=NDOF,

??.△BOE9△DOF(SAS),

.*.BE=DF；

若選③，即BE〃DF；

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

ABO=DO,/

4AJD

?.BE〃DF；/Xf

/.ZBEO=ZDFO,///

XZBOE=ZDOF,/

.'.△BOE<△DOF(AAS),-------------------------

，BE=DF；

1、平行四邊形的性質(zhì)識記方法：從邊、角、對角線三個角度識記；

2、平行線間的距離處處相等，此性質(zhì)與面積問題相結(jié)合，是解決面積問題，尤其是在函數(shù)中面積問題

往往帶來意想不到的方便。

3、本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握平行四邊形的

性質(zhì)和全等三角形的判定是關(guān)鍵.

例2、（2021?湖南岳陽?中考真題）如圖，在四邊形ABCO中，AEYBD,CF1.BD,垂足

分別為點E,F.

（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加的

條件是;

（2）添加了條件后，證明四邊形AE”"為平行四邊形.

（I）解答：顯然，直接添加Af7/C￡,可根據(jù)定義得到結(jié)果，

故答案為：AF//CE（答案不唯一，符合題意即可）：

（2）證明：：CFLBD,

二AE//CF,

,/AF//CE,

???四邊形AECF為平行四邊形.

1、平行四邊形的判定從邊、角、對角線三個方面識記共有五種判定方法;

2、證明平行四邊形在中考題中往往和特殊平行四邊形及相似結(jié)合在一起進行考查，基礎(chǔ)知識掌握是解

題突破口。

3、本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.

1、平行四邊形對角線分得的四個三角形面積相等；

2、平行線之間距離處處相等往往和同（等）底同高面積相等結(jié)合，在函數(shù)解題中提供解題的方法。

經(jīng)典變式練

一、單選題

1.（2021?四川宜賓?中考真題）下列說法正確的是（）

A.平行四邊形是軸對稱圖形B.平行四邊形的鄰邊相等

C.平行四邊形的對角線互相垂直D.平行四邊形的對角線互相平分

2.（2021.湖南株洲?中考真題）如圖所示，四邊形A8C￡）是平行四邊形，點E在線段BC的

延長線上，若NDCE=132。,則4=（）

3.（2021?湖北荊門?中考真題）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCO中作如下擺放，設(shè)

Zl=30°,那么N2=（）

4.（2021.山東濱州.中考真題）如圖,在口他?！辏┲?仍平分乙48（7交。。于點￡若乙4=60。,

則的大小為（）

A.130°B.125°C.120°D.115°

5.（2021?貴州遵義?中考真題）如圖，。488的對角線AC,8。相交于點O,則下列結(jié)論

一定正確的是（）

A.OB=ODB.AB=BCC.ACLBDD.NABD=NCBD

6.（2021?廣西梧州?中考真題）如圖，在RdABC中，點。，E,尸分別是邊AB,AC,BC

的中點，AC=8,8C=6,則四邊形CEO尸的面積是（）

A.6B.12C.24D.48

7.（2021.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，ABCD中，AC、交于點。，分別以點A

和點C為圓心，大于:AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN,交AB于

點￡,交CD于點F,連接CE,若A￡>=6,8CE的周長為14,則8的長為（）

A.10B.8C.6D.3石

8.（2021?湖北恩施中考真題）如圖，在A8CD中，AB=13,AD=5,ACVBC,則ABCD

的面積為（）

A.30B.60C.65D.——

2

9.（2021?天津?中考真題）如圖，ABCO的頂點A,B,C的坐標(biāo)分別是（0,1）,（-2,-2）,（2,-2）,

則頂點D的坐標(biāo)是（）

C.(4,1)D.(2,1)

10.（2021?四川南充?中考真題）如圖，點。是，ABC。對角線的交點，E尸過點O分別交AO,

A.OE=OFB.AE=BF

C.NDOC=NOCDD.NCFE=NDEF

11.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在邊長為。的等邊AABC中，分別取AABC三邊的中

點A，q,G，得△AB6；再分別取△ABG三邊的中點4,B2,C2,得△A/C；這

樣依次下去…，經(jīng)過第2021次操作后得△4⑼&MQ?,則44必約。2￡以的面積為（）

D.空

crr逗

2取“2,240*2

二、填空題

⑵（2021.湖南湘潭?中考真題）如圖，在，中，對角線AC,8。相交于點O,點E

是邊A8的中點.已知8C=10,則。E

13.（2021.江蘇常州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形Q4BC是平行四邊

形，其中點A在x軸正半軸上.若BC=3,則點4的坐標(biāo)是.

14.（2021.江蘇南京.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，498的邊AO,AB的中點C,

。的橫坐標(biāo)分別是1,4,則點B的橫坐標(biāo)是.

15.（2021.湖南湘西.中考真題）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別

為AB、CD,若CDHBE,Zl=20°,則N2的度數(shù)是.

D

16.（2021?江西?中考真題）如圖，將A8CD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，CE交AD

于點F,若N5=80。，ZACE=2ZECD,FC=a,FD=b,貝ijABC。的周長為.

17.（2021?山東臨沂?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的對稱中心是坐標(biāo)原點，頂

點A、8的坐標(biāo)分別是（-1,1）、（2,1）,將A8CQ沿x軸向右平移3個單位長度，則頂點C的

對應(yīng)點C1的坐標(biāo)是一.

18.（2021?四川阿壩?中考真題）如圖，在ABC。中，過點C作CELAB,垂足為E,若

Z￡4￡>=40°,則NBCE的度數(shù)為.

三、解答題

19.（2021?江蘇淮安?中考真題）已知：如圖，在中，點E、F分別在4。、BC上，且

BE平分/ABC,EF//AB.求證：四邊形ABFE是菱形.

20.（2021?湖南懷化?中考真題）已知：如圖，四邊形488為平行四邊形，點及A、C、F

在同一直線上，AE=CF.求證：

（1）VADE^VCBF

(2)EDHBF

21.（2021?山東聊城?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，AC與8。相交于點。，且AO=

CO,點E在8。上，滿足NEAO=/OCO.

（1）求證：四邊形AECQ是平行四邊形；

（2）若A8=BC,CD=5,AC=8,求四邊形4ECZ）的面積.

一、單選題

1.（2021?四川南充?中考真題）如圖，在矩形A8C￡>中，A8=15,BC=20,把邊AB沿對

角線8。平移，點Al9分別對應(yīng)點A,B.給出下列結(jié)論：①順次連接點4,B',C,D

的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線A4,的對稱點的距離為48；③HC-UC的最大

值為15；④A'C+B，C的最小值為9J萬.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2021.河北?中考真題）如圖1,45CD中，AD>AB,N48C為銳角.要在對角線8。

上找點N,M,使四邊形4VCN為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正

確的方案（）

D

8

因

作/N.（M分別平

分NR”）.ZfiCD

圖2A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

3.（2021?浙江?中考真題）如圖，已知在他。中，ZABC<90°,A8R是AC邊上

的中線.按下列步驟作圖：①分別以點昆C為圓心，大于線段8c長度一半的長為半徑作弧,

相交于點M，N；②過點作直線MN,分別交8C,BE于點、DQ；③連結(jié)CO.DE.則

下列結(jié)論錯誤的是（）

Z.CODC.DE//ABD.DB=DE

4.（2021.四川瀘州?中考真題）如圖,在平行四邊形ABCD中，AE平分NBA。且交BC于點

E,ZZ>58°,則NAEC的大小是（）

A.61°B.109°C.119°D.122°

5.（2021?浙江寧波?中考真題）如圖是一個由5張紙片拼成的ABCD,相鄰紙片之間互不

重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為5,另兩張直角三角形紙片的面

積都為S?,中間一張矩形紙片EFG”的面積為J，戶H與GE相交于點O.當(dāng)

-AE0-3E0,_CG。,的面積相等時?，下列結(jié)論一定成立的是（）

A.S,=5,B.5,=S,C.AB=ADD.EH=GH

6.（2021?浙江寧波?中考真題）如圖，在ABC中，/B=45。,NC=60。,A。，BC于點￡）,

BD=#）.若E,尸分別為AB,8c的中點，則E尸的長為（）

A.立B.立C.1D.逅

322

7.（2021?浙江溫州?中考真題）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形

A8CD如圖所示.過點。作。尸的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G,連結(jié)CG,

延長BE交CG于點H.若AE=2BE,則g■的值為（）

A.-B.V2C.D.逆

215

8.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）已知：AOC。的頂點。（0,0）,點C在x軸的正半軸

上，按以下步驟作圖：

①以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點交OC于點N.

②分別以點M,N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧在NAOC內(nèi)相交于點E.

③畫射線OE,交A。于點尸（2,3）,則點A的坐標(biāo)為（)

yE

%/\

-O|~NCx

A.DB.（3-713,3）C.卜川D.（2-713,3）

9.（2021?山東威海?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=3,CD=2.連接AC,

過點8作BE〃4C,交。C的延長線于點E,連接AE,交8c于點F.若ZAFC=2ZD,則四

邊形4BEC的面積為（）

10.（2021.湖南益陽?中考真題）如圖，已知488的面積為4,點尸在A3邊上從左向右

運動（不含端點），設(shè)△入「￡＞的面積為x,ABPC的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致

11.（2021.黑龍江.中考真題）如圖，平行四邊形AB尸C的對角線AF、BC相交于點E,點。

為AC的中點，連接B。并延長，交FC的延長線于點。，交A廣于點G,連接A。、0E,

若平行四邊形的面積為48,則5摻0c的面積為（）

二、填空題

12.（2021?青海西寧?中考真題）如圖，在RtAABC中，ABAC=90°,D,E分別是AB,BC

915

的中點，連接AE,DE,若DE、,A￡=y,則點4到8c的距離是.

13.（2021?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形A8C。是平行四邊形，以點8為圓心，BC的

長為半徑作弧交A。于點￡分別以點C,E為圓心，大于;CE的長為半徑作弧，兩弧交于

點P，作射線8P交AO的延長線于點尸，NCBE=60°,BC=6,則的長為

14.（2021?江蘇泰州?中考真題）如圖，四邊形ABCO中，AB=CD=4,且AB與CO不平行,

P、M、N分別是4。、BD、AC的中點，設(shè)△PMN的面積為S,則S的范圍是一.

15.（2021.青海?中考真題）如圖，在A8CO中，對角線80=8cm,AE1BD,垂足為E,

且AE=3cm,3C=4cm,則AD與2c之間的距離為.

16.（2021.山東荷澤?中考真題）如圖，在放43c中，ZC=30°,D,E分別為AC、BC

的中點，DE=2,過點B作8F〃AC,交￡>￡：的延長線于點尸，則四邊形的面積為

4

17.（2021?廣東?中考真題）如圖，在ABCO中，4。=5,48=12,5M4=1.過點0作￡犯，4?,

18.（2021?江蘇揚州?中考真題）如圖，在A8C。中，點E在AO上，且EC平分NBE￡>,

若NEBC=3O。，BE=10,則ABC。的面積為.

三、解答題

19.（2021廣東廣州?中考真題）如圖，在四邊形ABC￡>中，N43C=90。，點E是AC的中

點，且AC=AD

（1）尺規(guī)作圖：作NO力的平分線AF,交CO于點F,連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不

寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，若N8AL>=45。，ZCAD=2ZBAC,證明：..B所為等邊三角

形.

E

20.(2021?江蘇常州?中考真題)如圖，B、F、C、E是直線/上的四點,

AB//DE,AB=DE,BF=CE.

(1)求證：△ABC/^DEF；

(2)將ABC沿直線/翻折得到：A'BC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出.48C(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

②連接A'D,則直線A'D與I的位置關(guān)系是.

21.(2021?湖南永州?中考真題)如圖，已知點A,D,C,8在同一條直線上,

AD=BC,AE=BF,AE//BF.

(1)求證：/\AEC^/\BFD.

(2)判斷四邊形OECF的形狀，并證明.

參考答案

1.D

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷各個選項，即可得到答案.

【詳解】

解：A.平行四邊形是中心對稱圖形不是軸對■稱圖形，故該選項錯誤，

B.平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項錯誤，

C.平行四邊形的對角線互相平分，故該選項錯誤，

D.平行四邊形的對角線互相平分，故該選項正確.

故選D.

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

2.B

【解析】

【分析】根據(jù)補角的定義求NOCB,再利用平行四邊形對角相等的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

ZDCE=132°

：.ZDCB=1800-ZDCE=180°-132°=48°

???四邊形ABCD是平行四邊形

二ZA=ZDC8=48°.

故選：B.

【點撥】本題考查了補角的定義和平行四邊形的性質(zhì).平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，對角

相等，對角相互相平分.

3.C

【解析】

【分析】延長EG交AB于”，根據(jù)平行四邊形與三角板的性質(zhì)，Zl=30°,DC//AB,得到

NDEH=/BHE=60°,再由平角的定義，計算出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，延長EG交AB于凡

'//BMF=/BGE=9。。,

:?MFHEH,

：.NBFM=NBHE,

；Zl=30°,

/BFM=NBHE=60。,

:在平行四邊形ABC。中，DCHAB,

：.ZDEH=ZBHE=60°f

???NGEN=45。,

???Z2=180o~60°-45o=75°,

故選：C.

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與一副特殊三角形板的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出輔助線，

利用平行四邊形的性質(zhì)進行求解.

4.C

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AQ〃8C,DC//AB,然后即可得到

ZA+ZABC=180°,ZABE+Z￡>EB=180°,再根據(jù)NA=60。，BE平分NA3C,即可得到NDE3

的度數(shù).

【詳解】

解：??,四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AD//BC,DC//AB,

：.ZA+Z/lBC=180°,ZABE+ZDEB=\S0°t

*/ZA=60°,

JNABC=12()。,

???BE平分NA8C,

???ZABE=60°f

：.ZDEB=\20\

故選：C.

【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答是解答本題的關(guān)鍵.

5.A

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角線互相平分進行判斷即可.

【詳解】

解：平行四邊形對角線互相平分，A正確，符合題意；

平行四邊形鄰邊不一定相等，B錯誤，不符合題意；

平行四邊形對角線不一定互相垂宜，C錯誤，不符合題意；

平行四邊形對角線不一定平分內(nèi)角，D錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相

平分是解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】利用三角形的中位線定理，先證明四邊形OEC尸是矩形，再利用矩形的面積公式

進行計算即可.

【詳解】

解：點、D,E,尸分別是邊AB,AC,的中點，AC=8,BC=6,

DE//BC,DE=-BC=3,DF//AC,OF=工AC=4,

22

???四邊形DEC尸是平行四邊形，

,ZC=90°,

四邊形DEC尸是矩形，

S矩形DECF=3x4=12.

故選：B.

【點撥】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，掌握利用三角形的中位

線證明四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

【分析】由已知可得EA=EC,再根據(jù)三角形8CE的周長可以得到A8的長，從而得到CO

的長.

【詳解】

解：由已知條件可知EF是AC的垂直平分線，所以EA=EC,

■：ABCE的周長為14,

BC+CE+EB=\4,

：.BC+EA+EB=\4,

即BC+AB=\4,

V四邊形ABCD為平行四邊形，

：.DC=AB,BC=AD=6,

，DC=14-BC=14-6=8,

故選B.

【點撥】本題考查平行四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的

作圖與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.B

【解析】

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得5c=4)=5,再利用勾股定理可得4C=12,然后

利用平行四邊形的面積公式即可得.

【詳解】

解：四邊形A88是平行四邊形，4)=5,

BC=AD=5,

,AC.LBC,AB=13,

AC=>]AB2-BC2=12-

則,的面積為8cAe=5x12=60,

故選：B.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與面積公式、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

9.C

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及點的平移性質(zhì)計算即司;

【詳解】

解：：四邊形A3CD是平行四邊形，

點8的坐標(biāo)為(-2,-2),點C的坐標(biāo)為(2,-2),

點B到點C為水平向右移動4個單位長度，

到D也應(yīng)向右移動4個單位長度，

???點A的坐標(biāo)為(0,I),

則點。的坐標(biāo)為(4,1),

故選:C.

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及平移的相關(guān)知識點，熟知點的平移特點是解

決本題的關(guān)鍵.

10.A

【解析】

【分析】首先可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AAEO絲△CF。，從而進行分析即可.

【詳解】

:點。是AB8*)角線的交點，

AOA=OC,NEA8/CFO,

'：ZAOE^ZCOF,

：.￡,AEO^/\CFO(ASA),

：.OE=OF,A選項成立：

：.AE=CF,但不一定得出BF=CF,

則AE不一定等于8凡B選項不一定成立；

若"OC=NOC”則。OOC,

由題意無法明確推出此結(jié)論，c選項不一定成立；

由△AEO絲△CFO得NCFE=NAEF,但不一定得出ZAEF=ZDEF,

則/CFE不一定等于/OEF,D選項不一定成立；

故選：A.

【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，理解基本性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

11.D

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計算，再總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可得.

【詳解】

解：點A，用分別為8C,AC的中點，

A8=2A,4,

1?點4，區(qū)分別為4G，A^G的中點，

44=244,

&B?=(-)2,a,

「4紇二(；)”即

,,△&2也021Go21的面積=乎嗎產(chǎn)a=-^T,

故選D.

【點撥】本題考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理.

12.5

【解析】

【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理得出EO的長.

【詳解】

解：?.?在口4武”中，對角線AC,80相交F點0,

，點。是AC的中點，

又；點E是4B的中點，

.?.E。是的中位線，

：.E0=^BC=5.

故答案為：5.

【點撥】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確得出E。是AA8C

的中位線是解題關(guān)鍵.

13.(3,0)

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知：0A=BC=3,進而即可求解.

【詳解】

解：：四邊形04BC是平行四邊形，

，OA=8C=3,

.,.點A的坐標(biāo)是(3,0),

故答案是：(3,0).

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及點的坐標(biāo)，掌握平行四邊形的對邊相等，是解

題的關(guān)鍵.

14.6

【解析】

【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)，先求出點A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)A、。求出8點橫坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)點4的橫坐標(biāo)為a,點8的橫坐標(biāo)是公

O點的橫坐標(biāo)是0,C的橫坐標(biāo)是1,C,。是AOAB的中點

—(6(+0)=1得(7=2

:.~(2+b)=4得匕=6

2

點B的橫坐標(biāo)是6.

故答案為6.

【點撥】本題考查了中點的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，三角形中線的性質(zhì)，正確的使用中點坐

標(biāo)公式并正確的計算是解題的關(guān)鍵.

15.40°

【解析】

【分析】如圖，山折疊的性質(zhì)可得/R4F=N1=2O。，進而可得NC"B=Z/MB+N〃B4=40。，

然后易得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：如圖所不：

,/Nl=20。，

山折疊的性質(zhì)可得N84尸=4=20。，

,/CD//BE,

,ZHBA=ZBAF=20°,

：.NCHB=NHAB+NHBA=40°,

CHHBD,

四邊形CH8D是平行四邊形，

ZCHB=Z2=40°；

故答案為40°.

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握平

行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.4a+26

【解析】

【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出N4CE=NAC8=2NEC￡>,計算可得到

ZECD=20°,ZACE=ZACB=40°,利用三角形的外角性質(zhì)得到NCFD=/3=80。，再等角

對等邊即可求解.

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可得：ZACE^ZACB,

'：ZACE=2ZECD,

：.ZACE=ZACB=2ZECD,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.ZFAC^ZFCA,ZB+ZBCD=180°,^ZB+ZACE+ZACB+ZECD=\?,O°,

：.ZECD=20°,ZACE^ZACB=4Q°=ZFAC,

ZCFD=ZFAC+ZFCA^O°=ZB-ZD,

:.AF=CF=CD=a,即AD^a+b,

則nABC。的周長為2AD+2CD=4a+2b,

故答案為：4a+2h.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形

是解題的關(guān)鍵.

17.(4,-1)

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點C坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到C/坐標(biāo).

【詳解】

解：在平行四邊形ABC。中，

?.?對稱中心是坐標(biāo)原點，A(-1,1),B(2,1),

：.C(I,-I),

將平行四邊形ABC。沿x軸向右平移3個單位長度，

：.Ci(4,-1),

故答案為：(4,-1).

【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移

減；縱坐標(biāo)上移加，下移減.

18.50°

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出NB=NEAC=40。，由角的互余關(guān)系得出N8CE=9(T-NB

即可.

【詳解】

解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AD//BC,

?,.ZB=ZEAD=40°,

?/CE±AB,

：.ZBCE=90°-ZB=50°；

故答案為:50。.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求

出N8的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

19.見解析

【解析】

【分析】先證四邊形ABFE是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證AB=AE,

依據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】

證明：?.?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AD//BC,

5L'：EF//AB,

.?.四邊形A8FE是平行四邊形，

1平分NABC,

NABE=NFBE,

"."AD//BC,

：.NAEB=NEBF,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

???平行四邊形A8FE是菱形.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判定，解題關(guān)鍵是熟練

運用相關(guān)知識進行推理證明，特別注意角平分線加平行，可證等腰三角形.

20.(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)禾煙平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC,再證明NE4Z)=/FCB,利用

SAS證明兩三角形全等即可.

(2)mVADE^CBF,得出再利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證明.

【詳解】

(I)證明：；四邊形A8C。為平行四邊形

J.AD//BC,AD=BC

：.ZDAC=ZACB

：.NEAD=NFCB

在44?！辏汉?CB尸中，

AE=CF

"NEAD=ZFCB

AD=BC

：.7ADE匆CBF(S45)

(2),?VADE^VCBF

：.ZE=ZF

J.ED//BF

【點撥】本題考查全等三角形的證明、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、靈活進行

角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵.

21.(1)見解析：(2)24

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可證明VAOE/VC8,得到0。=。&從而根據(jù)“對角線互相平分

的四邊形為平行四邊形''證明即可；

(2)根據(jù)AB=8C,AO=CO,可證明為AC的中垂線，從而推出四邊形AECZ)為菱形，

然后根據(jù)條件求出OE的長度，即可利用菱形的面積公式求解即可.

【詳解】

(1)證明：在AAOE和△COO中，

Z.EAO=NDCO

■AO=CO

ZAOE=ZCOD

：.^AOE^^COD(ASA).

：.OD=OE.

V."：AO=CO,

四邊形AEC￡)是平行四邊形.

(2)'：AB=BC,AO=CO,

.?.80為AC的垂直平分線，BOLAC.

平行四邊形AECD是菱形.

VAC=8,

CO=-AC=4.

2

在RtbCOD中，8=5,

:.OD=\ICD2-CO2=\l52-42=3，

?.DE=2OD=6,

s

^At：Cn=^O￡AC=^x6x8=24,

...四邊形AECD的面積為24.

【點撥】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與面積計算，掌握基本的判定方法，熟練

掌握菱形的面積計算公式是解題關(guān)鍵.

1.D

【解析】

【分析】

根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點C到8。的距離，從

而對②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作。關(guān)于4V的對稱點W,DD

交A4'于"，連接3D，過祝作DN_L8C于M分別交于K,H,證明。C是最小

值時的位置，再利用勾股定理求解OC,對④做出判斷.

【詳解】

解：由平移的性質(zhì)可得48〃AE

且A8=A0

?.,四邊形ABC。為矩形

：.AB//CD,AB=CD=15

A'B'//CDS.A'B'=CD

四邊形A'B'CD為平行四邊形，故①正確

在矩形ABCD中，BD=ylAB2+AD2=>/152+202=25

過4作AM_L30,CNLBD,貝ijAM=CN

15x20

：.AM=CN=--------=12

25

..?點C到A4'的距離為24

???點C到它關(guān)于直線AA'的時稱點的距離為48

???故②正確

,/A!C-eC<A!ff

.?.當(dāng)4,從C在?條直線時4C-3C最大,

此時8'與。重合

，A'C-8'C的最大值=A?=15

，故③正確，

如圖，作。關(guān)于AA的對稱點。,，”/交AA丁加，連接血X,過。，作。NJ_BC于M分

別交于K,",

則ABIIAB'IIKH,AB=KH=15,KM為,D'HD的中位線，BDLDD，

D'K=HK=15,

由fA'B'CD可得B'C=AD,

B'C=A'D=A'D',

A'C+B'C=A'C+A'D'=D'C,此時最小，

由②同理可得：DM=D'M=\2,

…八DC153HN

tanNDBC=----=—=-=-----,

BC204BN

設(shè)HN=3x,則8V=4x,

由勾股定理可得：DD'2+BD2=BD'-=BN2+D'N2,

252+242=（30+3x）2+（的?，

整理得：25f+180x-301=0,

.-.（5x-7）（5x+43）=0,

743

解得：x,=1,x2=-y（負(fù)根舍去）,

72171

NC=20-4x=（￡>W=

故④正確

故選O.

【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的

應(yīng)用等知識點，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

2.A

【解析】

【分析】

甲方案：利用對角線互相平分得證；

乙方案：由ABN-CDM,可得BN=DM.即可得ON=0M,

再利用對角線互相平分得證；

丙方案:方法同乙方案.

【詳解】

連接AC,交于點。

甲方案：四邊形A8CD是平行四邊形

AO=CO,BO=DO

BN=NO,OM=MD

:.ON=OM

四邊形ANCM為平行四邊形.

乙方案：

四邊形438是平行四邊形

：.AB=CD,AB//CD,AO=CO,BO=DO

:.ZABN=NCDM

又：AN工BD,CM工BD

：.ZANB=ZCMD

：./XABN^^CDM(AAS)

BN=DM

?；BO=DO

:.ON=OM

四邊形4VCW為平行四邊形.

丙方案：

四邊形ABC。是平行四邊形

AB=CD,AB//CD,AO=CO,BO=DO,/BAD=/BCD

；.ZABN=NCDM

又?.AN,CM分別平分NBAD/BCD

:.gzBAD=；NBCD,g|JZBAN=ZDCN

r.AABN之△CDM(ASA)

:.BN=DM

;BO=DO

ON=OM

四邊形4VCM為平行四邊形.

所以甲、乙、丙三種方案都可以.

故選A.

【點撥】本題考查了平行四邊的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，角平分線的概念等

知識，能正確的利用全等三角的證明得到線段相等，結(jié)合平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意可知道MN為線段BC的中垂線，然后結(jié)合中垂線與中線的性質(zhì)逐項分析即可.

【詳解】

山題意可知，為線段BC的中垂線，

???0為中垂線上一點，

：.OB=OC,故A正確；

0B=0C,

：.ZOBC=ZOCB,

,:MNLBC,

：.ZODB=ZODC,

:.NB0D=NC0D,故B正確；

為8c邊的中點，BE為AC邊上的中線，

...OE為△48C的中位線，

：.DE//AB,故C正確；

由題意可知DB=DC,

假設(shè)。8=QE成立，

則DB=DE=DC,NBEC=90。，

而題干中只給出BE是中線，無法保證8E一定與AC垂直，

...DB不一定與OE相等，故D錯誤；

故選：D.

【點撥】本題考查三角形中幾種重要線段的理解，熟練掌握基本定義，以及性質(zhì)定理是解題

關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)四邊形A8CO是平行四邊形，得到對邊平行，再利用平行的性質(zhì)求出

o

ZBAD=180-ZD=122°（根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：4E平分NBAD求NZME,再根據(jù)平行

線的性質(zhì)得NA￡C,即可得到答案.

【詳解】

解：???四邊形A8C。是平行四邊形

二ABIICD，AD//BC

：./BAD=180°-ZD=180o-58°=l22°

?「AE平分

ZDA￡=-ZBAD=-xl220=61°

22

,/ADHBC

工ZA￡C=180°-ZZME=180°—61°=119°

故選C.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，能利用平行四邊形的性質(zhì)找到角

與角的關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵.

5.A

【解析】

【分析】

根據(jù)AAEO和ABCG是等腰直角三角形，四邊形A8CO是平行四邊形，四邊形"EFG是矩

形可得出AE=OE=8G=CG=a,HE=GF,，點O是矩形尸G的中心，設(shè)

AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c,過點。作OP_LE尸于點P,OQLGF丁點Q,

可得出OR。。分別是和AEGF的中位線，從而可表示OP,。。的長，再分別計算

出S-S2,邑進行判斷即可

【詳解】

解：由題意得，△AED和△8CG是等腰直角三角形，

,ZADE=ZDAE=NBCG=NGBC=45°

V四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD^BC,CD^AB,ZADC=ZABC,NBAD=NDCB

：.ZHDC^ZFBA,NDCH=NBAF,

：.^AED^/\CGB,△CDH^ABF

：.AE=DE=BG=CG

「四邊形"EFG是矩形

：.GH=EF,HE=GF

iSAE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c

過點。作。匕LE產(chǎn)于點OQJ_G尸于點。，

：.OP//HE,OQUEF

???點。是矩形HEFG的對角線交點，即〃尸和EG的中點,

：.0P,。。分別是和AEG尸的中位線，

/.OP=-HE=-b,OQ=-EF=-c

2222

=^BF.OQ=^(a-b)x^c=^(a-b)c

SMOE=；AE.OP=；ax；b=：ab

?SRBOF~SSOE

-(a-b)c=-ab,即ac-bc=ab

44

11

而S]9,

111.191.

S2=SMFB=—AF^BF=-(a+c)(a-b)=—(a~-ab+ac-bc)=—(a~-ab+ab)=—a~

所以，5,=52,故選項4符合題意,

112

S3=HE^EF=(。-Z?)(a+c)-a-be-ab+ac=a-\-ab-ab=a

???S1WS3,故選項8不符合題意，

而=于E〃=G“都不一定成立，故C。都不符合題意,

故選：A

【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是求出與,

S2,S3之間的關(guān)系.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)條件可知△A3。為等腰直角三角形，則區(qū)。=4。，AAOC是30。、60。的直角三角形，可

求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=上。

【詳解】

解：因為A力垂直8C,

則4ABD和^AC￡）都是直角三角形，

又因為N8=45°,ZC=60°,

所以A￡>=8￡>=6，

因為sinNC=&^=正，

AC2

所以AC=2,

因為后尸為^ABC的中位線，

所以E/三A號C=1,

故選：C.

【點撥】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件

分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

【分析】

如圖，設(shè)BH交CF于P,CG交DF『Q,根據(jù)題意可知8E=PC=OF,AE=BP=CF,根據(jù)

=可得BE=PE=PC=PF=DF,根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△FDG是等腰直角三角形，

可得OG=FD,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得尸4=g尸Q,CH=QH=CQ,利用A&4可證明

17

匕CPH9AGDQ,可得P”=QD,即可得出戶可得B『BE,利用勾股定理可用

BE表示長C"的長，即可表示出CG的長，進而可得答案.

【詳解】

如圖，設(shè)B〃交CF于P,CG交DF于Q,

??,山四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形A3CO,

:?BE=PC=DF,AE=BP=CF,

AE=2BE,

；?BE=PE=PC=PF=DF,

?.,ZCFD=ZBPCf

：.DF//EH,

:?PH為〉CFQ的中位線，

:?PH=GQF,CH=HQ,

???四邊形EPFN是正方形，

???NEFN=45°,

VGD±DF,

???AFDG是等腰直角三角形，

:?DG=FD=PC,

???NGDQ=NCPH=90。,

:.DG//CF,

???/DGQ=/PCH,

ZGDQ=ZCPH

在△OGQ和△PC”中，\DG=PC,

ZDGQ=NPCH

:?△DGgXPCH,

:?PH=DQ,CH=GQ,

：.PH=-DF=-BE,CG=3CH,

33

7

BH=BE+PE+PH=-BE,

3

在心△PCH中,CH=《PC?+PH?=,IBE2+(-BE)2=叵BE,

V33

:.CG=MBE,

CG>/]0BE35/10

故選：c.

【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定

理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

8.A

【解析】

【分析】

由題意得：0E平分N40C,結(jié)合AO〃0C,可得40=A凡設(shè)4"=根，則A0=AF=2+m,根

據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解.

【詳解】

解：由作圖痕跡可知：0E平分/AOC,

ZAOF=ZCOF,

?.?在AOCZ）中，AD//OC,

：.ZCOF=ZAFO,

：.ZAOF^ZAFO,

：.AO=AF,

VF（2,3）,

：.FH=2,0H=3,

設(shè)AH=〃3貝（IAO=A/?=2+〃7,

:在必AO"中，AH2+OH2^AO2,

m2+32=（2+m）2,解得：m=—,

故選A.

【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作角平分線，勾股定理，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，推出AO=AF,利用勾股定理列出方程，是解題的關(guān)鍵.

9.B

【解析】

【分析】

先證明四邊形A8EC為矩形，再求出AC,即可求出四邊形A8EC的面積.

【詳解】

解：?.?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=ZABC,

?/BEUAC,

四邊形A3EC為平行四邊形，

*/Z4FC=2ZD,

ZAFC=2ZABC,

'：ZAFC=ZABF+ZBAF,

：.ZABF=ZBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

平行四邊形A8EC是矩形，

NBAC=90。,

AC=1BC。-AB。=>/32+22=石?

...矩