專升本高等數(shù)學(xué)課件-第一章

第一章函數(shù)、極限和連續(xù)第一節(jié)函數(shù)函數(shù)有界性單調(diào)性周期性奇偶性初等函數(shù)分段函數(shù)

復(fù)合函數(shù)集合映射第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)概念以點(diǎn)a

為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a

的鄰域,記為U(a).aa+a-

U（a,

）=（a-,a+）

δ>0,稱集合(a-δ,a+δ)為點(diǎn)a的δ鄰域,記為U(a,δ).aa+a-

集合稱為點(diǎn)a

的去心δ鄰域,記為即。1、鄰域因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域2、函數(shù)的定義自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．3、函數(shù)的表示法解析法：用解析表達(dá)式表示函數(shù)關(guān)系表格法：用列表的方法來表示函數(shù)關(guān)系圖示法：用平面直角坐標(biāo)系上的曲線來表示函數(shù)關(guān)系

(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)(4)取最值函數(shù)yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).顯函數(shù)：函數(shù)關(guān)系用解析式表示的稱為顯函數(shù)，如.分段函數(shù)：有些函數(shù)，對(duì)于其定義域內(nèi)自變量的不同值，函數(shù)不能用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示，而要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的公式來表示，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).隱函數(shù)：函數(shù)與自變量的對(duì)應(yīng)法則用一個(gè)方程表示的函數(shù)，如.4、顯函數(shù)，分段函數(shù)，隱函數(shù)二、函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的單調(diào)性則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.單調(diào)性的判定方法：（1）用函數(shù)單調(diào)的定義判定。（2）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定，在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。2．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于y軸對(duì)稱稱f(x)為偶函數(shù)。稱f(x)為奇函數(shù)奇函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱[性質(zhì)](1)若f(x)在x=0有定義

,f(x)為奇函數(shù)時(shí),必有f(0)=0.則當(dāng)(2)有時(shí)利用f(x)+f

(-x)=0

是判斷一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的有效方法.(3)偶+偶=偶，奇+奇=奇，偶×偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇.(4)定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的函數(shù)=奇函數(shù)+偶函數(shù)(5)具有奇偶性的函數(shù),可簡(jiǎn)化微積分的運(yùn)算(后續(xù)).3．函數(shù)的周期性（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.周期為

周期為[注](1)周期函數(shù)不一定存在最小正周期.[例如]

常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)[注](2)周期函數(shù)還有一些有用的微積分性質(zhì)，以后逐漸學(xué)到.4.函數(shù)的有界性上界下界(1)[定義]則稱函數(shù)f(x)在X上有界.否則稱無界.M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界無界[結(jié)論]f(x)在X上無界[注]具有“有界”性質(zhì)的函數(shù)是一類重要的函數(shù).因?yàn)橛薪缡菙?shù)列收斂的必要條件,是各類積分存在的必要條件.三、反函數(shù)DWDWy=f(x)——直接函數(shù)——直接反函數(shù)——矯形反函數(shù)

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.四、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)3、對(duì)數(shù)函數(shù)4、三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5、反三角函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).五、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)定義:[定義][說明]通常f稱為外層函數(shù)，g稱為內(nèi)層函數(shù).則稱為由①,

②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.自然定義域注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例1解綜上所述第一章函數(shù)、極限和連續(xù)第二節(jié)極限

數(shù)列的極限一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)4242一、概念的引入單擊任意點(diǎn)開始觀察1.[割圓術(shù)]“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒沼^察完畢[引例]2.[截丈問題]“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義[例如][單調(diào)性]單擊任意點(diǎn)開始觀察三、數(shù)列的極限觀察結(jié)束通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:[直觀定義]當(dāng)n無限增大時(shí)，xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，稱a是數(shù)列xn的極限.或者稱數(shù)列{xn}

收斂于a,

記為或[發(fā)散]如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.[說明]發(fā)散有①不存在(非無窮大)；

②

∞；③+∞；④∞.[常用結(jié)論公式]1.常數(shù)列的極限等于它本身.[注]

當(dāng)時(shí)，不存在.1.[唯一性][定理1]收斂數(shù)列的極限唯一.四、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.[唯一性][定理1]收斂數(shù)列的極限唯一.四、收斂數(shù)列的性質(zhì)2.[有界性][例如]有界無界(2)[定理2]收斂的數(shù)列必定有界.[注意]①逆否命題必成立：無界列必定發(fā)散.②逆命題不成立：有界列不一定收斂.③數(shù)列有界是收斂的必要條件(不充分).子數(shù)列的概念:子數(shù)列的表示：收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系:定理3

注:其逆反定理用于證明數(shù)列的發(fā)散函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)四、極限運(yùn)算法則【數(shù)列極限】——整標(biāo)函數(shù)【函數(shù)的極限】有兩大類情形單擊任意點(diǎn)開始觀察一、自變量x→∞時(shí),f(x)的極限1.【引例】單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察觀察完畢通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:即x→∞時(shí),f(x)→0.2.【直觀定義】在x→∞時(shí)，函數(shù)值f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,稱A為f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限.記作直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.4.[兩種特殊情況][幾何意義][例如]都有水平漸近線3.[水平漸近線][又如][定理]故有水平漸近線[例如]二、自變量x→x0有限值時(shí),函數(shù)f(x)的極限1.【引例】①函數(shù)在處的極限為②函數(shù)在處的極限為③函數(shù)在處的極限為２２２yAx１２３x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限是否存在,與f(x)在x0處是否有定義并無關(guān)系.結(jié)論2.【直觀定義】在x→x0時(shí)，函數(shù)值f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,稱A為f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限.記為3.【單側(cè)極限】【例如】②[右極限]當(dāng)x>x0且x→x0時(shí)，函數(shù)值f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,稱A為f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的右極限.[注意]函數(shù)的左、右極限與函數(shù)的極限是三個(gè)不同的概念,

但三者之間有如下重要定理:

①[左極限]當(dāng)x<x0且x→x0時(shí)，函數(shù)值f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,稱A為f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左極限.左右極限存在但不相等,[例1][證][極限存在定理][注]

一般而言,分段函數(shù)的極限要分左右極限考察.三、函數(shù)極限的性質(zhì)[注]以下僅以形式為代表給出函數(shù)極限的一些定理，其它形式類推之。1.[唯一性][定理2]2.[有界性]局部3.[

保號(hào)性][幾何解釋]容易推得下面更強(qiáng)的結(jié)論：[定理3][定理3*]局部常用于證明有關(guān)定理或證明題[推論][證明]利用定理3反證之（略）.[思考]若推論

中的條件為是否必有不一定!如四、極限運(yùn)算法則定理推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2

無窮小量與無窮大量一、無窮小量二、無窮大量三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系四、無窮小量的比較70七、求極限方法舉例五、極限存在準(zhǔn)則六、兩個(gè)重要極限

無窮小量與無窮大量1、無窮小量的定義一、無窮小量（簡(jiǎn)稱無窮?。┒x

1若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

(或x→∞

)時(shí)的極限為零,則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0

(或x→∞

)時(shí)的無窮小量

.特別地,以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n→∞時(shí)的無窮小量

.例如,注意（1）無窮小是變量,它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)為零;（4）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).（2）一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的；（3）很小很小的數(shù)不是無窮小量，越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量；2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意

無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大量（簡(jiǎn)稱無窮大）無窮大量的定義：如果當(dāng)自變量的過程中，經(jīng)過某一時(shí)刻后的絕對(duì)值可以大于事先任意給定的充分大的正數(shù)M，則稱在該變化過程中，為無窮大量.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理

在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限四、無窮小量的比較定義:意義：用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式．例如,常用等價(jià)無窮小:例解等價(jià)無窮小代換定理２(等價(jià)無窮小代換定理)證例解若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．不能濫用等價(jià)無窮小代換.切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.注意例４解例５解解錯(cuò)練習(xí)題練習(xí)題答案五、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則注意:準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則I'稱為夾逼準(zhǔn)則.例1解由夾逼定理得2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:例2證(舍去)六、兩個(gè)重要極限(1)例解(2)對(duì)數(shù)列有例解小結(jié)：練習(xí)題七、求極限方法舉例例1解小結(jié):解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(無窮小因子分出法)小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例5解先變形再求極限.例6解例7解左右極限存在且相等,意義：例8解三、小結(jié)1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則第一章函數(shù)、極限和連續(xù)第三節(jié)連續(xù)一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)的增量2.連續(xù)的定義例1證由定義2知3.單側(cè)連續(xù)定理例2解右連續(xù)但不左連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,二、函數(shù)的間斷點(diǎn)1.跳躍間斷點(diǎn)例4解2.可去間斷點(diǎn)例5注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)3.第二類間斷點(diǎn)例6解例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:例8解小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算1、四則運(yùn)算的連續(xù)性2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3、初等函數(shù)的連續(xù)性與初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性【定理1】［例如］由函數(shù)“點(diǎn)連續(xù)”的定義和極限四則運(yùn)算法則，立得:【推廣】有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)?！窘Y(jié)論】三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).若f(x),g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在點(diǎn)x0處也連續(xù).2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【定理2】嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù),且單調(diào)性相同.［例如］【結(jié)論】反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).（1）反函數(shù)的連續(xù)性【定理3】（2）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【意義】可知極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)

f

交換次序;條件是：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連續(xù)；則可交換次序.【例1】【解】同理利用lnu的連續(xù)性又如交換次序：利用arccosu的連續(xù)性內(nèi)層函數(shù)分子有理化抓大頭—分離無窮小量【例2】【解】同理可得指數(shù)代換法則有公式【定理4】（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）【注意】定理4是定理3的特殊情況,內(nèi)層函數(shù)由

極限存在加強(qiáng)為連續(xù).簡(jiǎn)言之：內(nèi)、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)。3、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.（已證）★★★（指出但不詳細(xì)討論）（由【定理2】反函數(shù)的連續(xù)性可得）【定理5】基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.由【定理4】復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)【定理6】一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).回顧—[初等函數(shù)定義]由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),

在其定義域內(nèi)