函數(shù)、導數(shù)及其應用-2021高考之2020新高考真題分項匯編（解析版）

專題04：函數(shù)、導數(shù)及其應用-備戰(zhàn)2021高考之2020新高考真題分項匯編

一、單選題

X,**若函數(shù)g(x)=/(x)-陷-2*(AeR)恰有4

1.(2020?天津高考真題)已知函數(shù)/(X)=<

個零點，則后的取值范圍是()

11

A.—00,-----(20,+8)B.-00,-----(026)

22

C.(-oo,0)(0,20)D.(—00,0)(2^2,+00)

答案：D

解答：注意到g(o)=o,所以要使g(x)恰有4個零點，只需方程I丘-21=答恰有3個實根

|x|

即可，

令h(x)=，即y=1日—2I與/?(%)=瞥的圖象有3個不同交點.

\x\|x|

因為心)常武x>Q

x<0

當k=0時,此時==2,如圖1,y=2與加?=乎?有1個不同交點,不滿足題意;

\x\

當上<0時，如圖2,此時y=|幺2|與"尤)=智恒有3個不同交點，滿足題意;

\x\

當左〉0時，如圖3,當丁=近-2與y=X2相切時，聯(lián)立方程得V—丘+2=0,

令A=0得左2—8=0，解得攵=20(負值舍去)，所以4>20.

綜上，%的取值范圍為(—8,0)(272,+00).

故選：D.

V

V

2.(2020?海南高考真題)基本再生數(shù)生與世代間隔「是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感

染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)

模型：/(/)=e"描述累計感染病例數(shù)/(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,「近似滿足Ro=1+”.

有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出/?。=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要

的時間約為(ln2=0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案：B

328—1

解答：因為&=3.28,7=6,+所以一=于0=0.38,所以/⑺=e"=*3即，

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為6天,

則*38（，+4）=2eo.38,,所以0。3跖=2,所以0.3跖=In2,

In20.69

所以4a1.8天.

038~038

故選：B.

u/,

3.（2020?全國高考真題（理））#2+log2a=4+21og4Z?,則（）

A.a>2bB.a<2hC.a>b2D.a<b2

答案：B

解答：設/(x)=2'+log2x,則/(x)為增函數(shù)，因為2"+log2a=4"+210g4匕=22"+log2b

2/,2626

所以/3)-fQb)=2"+log2a-(2+log22h)=2+log2b-(2+log22b)=log2g=—1<0,

所以/(a)</(2。)，所以a<2>

222622/?

/(?)-f(b)=2“+log?a-(26+log,b)=2+log2b一(2扇+log2^)=2-2戶-log2b，

當。=1時，/(。)一/(/)=2>0,此時/3)>/(/),有

當匕=2時,f(a)-f(b2)=-l<0,此時/(a)</(/),有°<從,所以c、D錯誤.

故選：B.

4.(2020?全國高考真題(理))函數(shù)/。)=/一2/的圖像在點(1,/(I))處的切線方程為()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

答案：B

解答：/"(同=/_2/,.?./'(力=4%3-6/,，〃1)=_1,r(l)=一2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x—1),即y=-2x+L

故選：B.

5.(2020?全國高考真題(理))在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份

訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.己知該

超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成

50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者()

A.10名B.18名C.24名D.32名

答案：B

解答：由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600-1200=900,設需要志愿者x名，

50x

-->0.95,x217.1,故需要志愿者18名.

900

故選：B

6.(2020?全國高考真題(理))若直線/與曲線片五和x2+y2=g都相切，貝lj/的方程為()

1111

A.y=2x+lB.y=2x+—C.y=—x+1D.y=—x+—

答案：D

解答：設直線/在曲線y=、G上的切點為(x()，H)，則%>0,

L，1/1

函數(shù)y=J7的導數(shù)為丁=云1，則直線/的斜率女=2第

設直線/的方程為y—JW=77=(x—%)),即％-2后卜+%0=0,

,,151

由于直線/與圓f+y2=一相切，則1，=F,

-5V1+4xo，5

兩邊平方并整理得5片一4/一1=0,解得x0=l,x0=--(舍),

則直線/的方程為x-2y+l=0,即丁=,/」.

22

故選：D.

二、解答題

7.(2020?海南高考真題)已知函數(shù)/(x)=aei-lnx+lnQ.

(1)當。=6時?，求曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若/(x)>1,求o的取值范圍.

2

答案：(1)——(2)[1,+co)

e-1

解答：(1)Qf(x)=ex-\nx+l,/.fr(x)=ex--,k=fr(l)=e-l.

x

Q/⑴=e+l,?,?切點坐標為(1,1+e),

???函數(shù)f(x)在點(1/⑴處的切線方程為'-0-1=(6-1)。-1),即丁二(6—1)1+2,

???切線與坐標軸交點坐標分別為(0,2),(三,0),

e-1

1-92

???所求三角形面積為-x2x|--|=--；

2e-1e-1

(2)解法-：Q/(x)=agi-Inx+lna,

「?/'(x)=ciex~x--,且〃>0.

x

設g(x)=7'(x),則g'(x)=ae'T+」>0,

X

??.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即fM在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當a=1時，八1)=0,/(力“必=/⑴=1,.：/(x)21成立.

1111-1

當時，-<1，?康一-I，.../'(一)/?)=〃(〃-l)(a-l)<0,

a??匕、1a

???存在唯一%>0,使得/'(%)=。a一,一’=0,且當工￡(。入)時八幻<0,當X￡(%,+8)時

%0

G-l1

/'(無)>(),cie"=—,/.In<7+x0-1=-Inx(),

%

x

因此/(x)min=/(/)=ae°~'-Inxn+\na

—FInQ+Xg-1+lriQ221na-1+2/—?=2Ina+1>1,

/Vo

,：/(x)>l,.：/(x)21恒成立；

當0<a<1時、/(I)=a+Ina<a<1,二/(I)<1,/(%)>1不是恒成立.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［1,+8).

解法二：/(x)=aex~'-lnx+Ina=/+~一/nr+/”后1等價于

el"a+x~'+hta+jr—1>Inx+x=e/,u+Inx，

令g(x)=e*+x,上述不等式等價于g(/M+x-l)2g(//ir),

顯然g(x)為單調(diào)增函數(shù)，，又等價于妨a+x-12/nx,^lna>lnx-x+\,

令〃(x)=/nx—x+1,則=_-

XX

在(0,1)上力例〉0向x)單調(diào)遞增；在(1,+8)上“仞<0力仞單調(diào)遞減，

二=，⑴=0,

Ina>0,即。之1,二。的取值范圍是［1,+8).

8.(2020?全國高考真題(理))設函數(shù)/(幻=9+法+。，曲線y=/(x)在點(g,7(g))處的切線與y軸垂

直.

(1)求b.

(2)若/(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：八幻所有零點的絕對值都不大于1.

3

答案：(1)b=——；(2)證明見解析

4

解答：(1)因為f'(x)=3x2+b,

由題意，/(-)=0,即+b=Q

3

!i!ij/?=--；

4

a3

(2)由(1)可得f(x)=x3——x+c,

4

31I

/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),

令f(元)>。,得工>5或x<—2；令于(x)<0,得—

所以/(x)在(一g,g)上單調(diào)遞減，在(F,-g),(；,+8)上單調(diào)遞增，

且/(_I)=C_!"(M)=C+；/(3=C_；N)=C+?，

424244

若/(x)所有零點中存在一個絕對值大于1的零點/,則/(-I)>0或/⑴<0,

11

即c>一或c<——.

44

當c>!時，/(-l)=c-i>0,/(-^)=c+^->0,/(l)=c-^>0,/(l)=c+i>0.

4424244

又/(-4c)-—64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零點存在性定理知/(x)在(-4c,-1)上存在唯一一個零點看,

即/(x)在(7,-1)上存在唯一-個零點,在(-1,+=。)上不存在零點，

此時/(X)不存在絕對?值不大于1的零點，與題設矛盾；

當c<_J時，/(—I)=￡?_[<=c+J=<?一〈<0,/(D=c+]<0,

4424244

又/(—4c)=64c③+3c+c=4C(1-16C2)>0.

由零點存在性定理知fM在(l,-4c)上存在唯一一個零點七',

即/(X)在(1,-KO)上存在唯一一個零點，在(70,1)上不存在零點,

此時/(X)不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；

綜上，f(X)所有零點的絕對值都不大于1.

9.(2020?全國高考真題(理))己知函數(shù)/(x)=siMxsin2x.

(1)討論/(x)在區(qū)間(0,兀)的單調(diào)性；

(2)證明：|/(幻]4半；

、3〃

(3)設"WN*,證明：sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.

4〃

答案：(1)當0(時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當時，尸(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當尤e[曰-,;rj時，/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.(2)證明見解析；(3)證明見解析.

解答：⑴由函數(shù)的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,則：

/'(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos?x-sin2x)

=2sin2X^4COS2X-1)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

/'(x)=0在xw(0,%)上的根為：%=?,工2=日，

當時，/(x)>O,〃x)單調(diào)遞增，

當xe序引時，尸(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，

當乃)時，/'(x)>o,/(x)單一調(diào)遞增.

(2)注意到/(x+zr)=sin2(x+%)sin[2(x+zr)]=sin2xsin2x=/(%).

故函數(shù)是周期為萬的函數(shù)，

結(jié)合⑴的結(jié)論，計算可得：/(0)=/(")=0,

(2吟fV3Y(百1

⑴[2)[2)8

據(jù)此可得：[〃<「詈，"⑼而尸蔓，

即|/(小

O

⑶結(jié)合(2)的結(jié)論有：

sin2xsin22xsin24xsin22nx

2

=[sin'xsin，2xsin34xsin32"x了

2

=[sinx(sin2A:sin2x)(sin22xsin4x)(sin22"Tjcsin2〃x)sin2

2

3

<sin.x^x^lxx速xsin22a

8

10.(2020?天津高考真題)已知函數(shù)/(x)=x3+&inx伙GR),/'(X)為f(x)的導函數(shù).

(I)當R=6時，

(i)求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

9

(ii)求函數(shù)gQ)=f(x)—/"。)+一的單調(diào)區(qū)間和極值；

X

(II)當火…-3時，求證：對任意的％,x2e[l,+oo),且%＞々，有/(/)+，(%)〉/(?￥)―/(4)

2百-x2

答案：(I)(i)y=9x-8：(ii)g(x)的極小值為g(l)=l,無極大值；(H)證明見解析.

解答：(I)(i)當答6時,/(x)=x3+61nx,解(力=3/+1.可得"1)=1,尸⑴=9,

X

所以曲線y=/(x)在點(1，/⑴)處的切線方程為〉-1=9(%-1),即y=9%-8.

3

(ii)依題意，^(x)=x3-3x24-61nx+—,XG(0,+oo).

從而可得g'(x)=3x2-6x+9—3，

XX

g⑴=g—l)：(x+l)

整理可得:

X

令g'(x)=0,解得x=L

當X變化時,g'(X),g(X)的變化情況如下表:

X(。,1)X=1(L+?)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)；

g(x)的極小值為g⑴二1,無極大值.

(II)證明：由/(x)=丁+Zlni,得/(工)=3%2+±

X

對任意的不，%2￡口，+8)，且%>工2，令立=，?>1),則

X?

(%-々)(/'(百)+/'(%))-2(/(%)-/(9))

(k(X

=(玉一4)3x；H---F3X；H——2d—x；+kln--

I%%2JIX2

/、

=x：-x；-3xfx2++k----―2kIn—

32

=^(?-3/+3z-l)+Z:|Z---21n/①

令"(x)=x-：-21nx,xe[l,+oo).

x

i?(1Y

當x>l時，/i(x)=l+———=1——>(),

xxyxJ

由此可得〃(x)在[1,+8)單調(diào)遞增，所以當t>l時，〃(。>〃⑴，即-21n/>0.

因為々21，/_3r+3/—1=?！?gt;o,k>-3,

所以只(一一3/+3f—l)+?-，21nf)..(f3—3f2+3…l)-3’一；—21n,

=/3-3/2+61nr+--l.②

t

3

由(I)(ii)可知，當f>l時，g(f)>g(l),即「一3『+61nf+[>l,

,,3

故「一3『+6hn+三一1>0③

由①@③可得（百一%2）（/'（不）+/'（工2））—2（/（3）一/（工2））>0.

所以，當我2—3時，任意的看,工2€[1，+°°），且玉>/，有

f(%)+/(*/(%)-/(%)

2xl-x2

11.(2020?北京高考真題)已知函數(shù)/(x)=12—f.

(I)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(n)設曲線y=/(x)在點&/?))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(f),求5(0的最小值.

答案：(I)2x+y—13=(),(U)32.

解答：(I)因為/(x)=12-V,所以r(n)=一2%，

設切點為(天,12—%),則—2玉)=-2,即%=1,所以切點為(1,11),

由點斜式可得切線方程為：y-ll=-2(x-l),即2x+y—13=0.

(II)顯然fa0,

因為y=/(x)在點2T2)處的切線方程為：>一(12-r)=-2r(x-r),

令x=0,得y=*+]2,令y=。，得元二」L￡,

2t

所以s(/)=：x(尸+12)?索,

不妨設/>0。<0時，結(jié)果一樣)，

…/+24產(chǎn)+1441,3?144、

則S(f)=------------------=—(「+24/+—),

V74/4t

所以5,⑺=；⑶-24一詈J入;,48)

_3(——4)(y+12)_3(f—2)?+2)(*+12)

—4?—4?

由S'(f)>0,得f>2,由S'(f)<0,得0<f<2,

所以S⑺在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

所以，=2時，S。)取得極小值，

也是最小值為S(2)=笆普=32.

O

12.(2020?浙江高考真題)已知l<aK2,函數(shù)/(x)=e*-x-a,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上有唯一零點；

(H)記X0為函數(shù)y=/(x)在(0，+8)上的零點，證明：

(i)yja—i<XQ<J2(a-1)；

(ii)x0/(e^)>(e-l)(a-l)a.

答案：(I)證明見解析，(II)(i)證明見解析，(ii)證明見解析.

解答:(I)Qf'(x)=e*-1,Qx>0,e*>1,/.f'(x)>0,f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

Ql<a<2,.\/(2)=e2-2-a>e2-4>0,/(0)=l-a<0.

所以由零點存在定理得/(X)在((),+8)上有唯一零點；

o

(ID(i)Q/(xo)=0,.-./-x0-<z=0-

ci—14WJ2(a-1)c°__1<與一W2(e0——1)>

2

令g(x)=ex-x-\-x1(fi<x<2),/z(x)=-x-1-(0<x<2),

x

一方面：h\x)=e-\-x=/t](x\4'(x)=e'-1>0，

〃'(0)=0,「.h(x)在(0,2)單調(diào)遞增，Jh(x)>/?(0)=0,

v,

*,cx—x—\——>0,2(e"—x—1)>%2,

另一方面：Ql<tz<2.\tz-l<l,

所以當與21時，J工工4不成立，

因此只需證明當0vx<l時g(x)=ex-x-1-x2<0,

因為g'(x)=e*-1-2x=g|(x),g；(x)=e*-2=0=>x=In2

當xe(0,ln2)時，g；(x)<0，當xe(ln2,l)時，g；(x)>0，

所以g'(x)<max{g'(0),g'⑴},Qg'(0)=0,g'(l)=e-3<(),/.g'(x)<0,

.?.8。)在((),1)單調(diào)遞減，；.8(%)<8(0)=。，二6“一》一1</，

0

縹」二>e"—XQ—1<%0~W2(e-%—1),1a—1W尤。W12(a—1)■

Ha

(ii)?%)=Xof(e°)=x()f(xn+a)=x0[(e-l)x0+a(e-2)]，

Qf'(x0)=2(e"—l)x()+a(e"-2)>0,yJa—l4/4J2(a-1),

.,/(x())>f(Ja-1)=Ja-l)e"-1)Vci—\+a(e"—2)]=(ea—l)(iz—1)+a1a-1(e"—2),因為]<a?2,

所以e">e,a>2(a-1),

r(x())2(e-l)(a1)+2(a—1)Ja-l(e"-2),

只需證明2(a一1)/T萬(e"—2)2(e—l)(a—，

即只需證明4(ea-2)2>(e-l)2(a-l),

令s(a)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),

則sr(a)=8ea(ea-2)-(e-l)2>8e(e-2)-(e-l)2>0,

s(a)>.v(l)=4(e—2>>0,即4(e"-2)2>(e-l)2(a-l)成立，

x

因此x0/(e°)>(e-l)(?-l)a.

13.(2020?江蘇高考真題)已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與〃(x)=以+b(k,。eR)在區(qū)間D上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若〃X)=￡+2X,g(x)=-x2+2x,Z)=(-oo,4-oo),求h(x)的表達式；

(2)若/(彳)=%2-x+i,g(x)=AJnx,h(x)-kx-k,D-(0,+oo),求k的取值范圍；

(3)若

/()=42，()，M)-(,)4||小，

。=[,]=卜^-],求證：n-m<V?.

答案：(1)〃(x)=2x；(2)Ze[0,3]：(3)證明詳見解析

解答：(1)由題設有一乙+8〈/+2彳對任意的xeR恒成立.

令％=0,則0WAW0,所以匕=0.

因此依</+2兀即必+(2-攵)x20對任意的xeR恒成立，

所以八=(2—女)2?0,因此火=2.

故〃(x)=2x.

(2)令/(x,uMxbgGbMx-l-lnxXx〉。)，F(xiàn)(1)=O.

又尸(x)=h?.

若k<0,則尸(x)在(0,1)上遞增，在(L+?)上遞減,則尸(x)K尸⑴=0,即〃(x)—g(x)V0,不符

合題意.

當左=0時,E(x)=〃(x)-g(x)=0M(x)=g(x),符合題意.

當4>0時，E(x)在(0,1)上遞減，在(1,+?)上遞增，則/(力2/1)=0,

即力(x)-g(x)N0,符合題意.

綜上所述，k>Q.

2

由/(X)-/Z(X)=X2_*+]_(依-左)-x_(攵+1)1+(攵+1),0

當x=?<0,即4<—1時，y=f-(z+l)x+左+1在(0,+?)為增函數(shù)，

因為/(0)—〃(0)=左+1<0，

故存在%?0,+8),使“x)—〃(x)<0,不符合題意.

當》=等=0,即&=一1時，/(x)-〃(x)=f20,符合題意.

上+17

當x=W->0,即女>一1時，則需△=(攵+1)—4(2+1)<0,解得一1<左43.

綜上所述，％的取值范圍是建[0,3].

(3)因為X，-2%2>4(/一.卜-3〃+2廣>4x2-8對任意xG[九九]u[―恒成立,

423

x-2x>4(r-Z)x-3?+2產(chǎn)對任意尤e[m,n]u[-在近]恒成立，

等價于(x—f)2卜2+2tx+3產(chǎn)-2)2。對任意工e[外〃]u[-&,>/2]恒成立.

故X2+2a+3/一2之()對任意xG[m,川u[—夜,應]恒成立.

令M(x)—x?+2tx+3廣—2,

當0<〃<1,A=-8r+8>0,-1<-^<1,

此時〃—mw+，|v+1<jyt

當14/<2，A=-St2+8<0,

但4工2—8>4（/—，卜―3r+2/對任意的工￡［加,川u［-夜,夜］恒成立.

等價于4x2-4（/一.）龍+（3尸+4）（J-2）4。對任意的xG［m,n］cz|-V2,\/2］恒成立.

4x2—4（/—f）工+（3廣+4）（產(chǎn)-2）二。的兩根為，

...I33J—2廣—8

則X]+々=t-Z,Xj-x2=-----------，

所以n-m-|石一工21=J(玉+々)2-4中2=,廣一5上+35+8-

令/=Z丸w[1,2].則|〃一向=〃3_5%+3幾+8.

構(gòu)造函數(shù)尸(丸)=才一5萬+34+8(46[1,2]),戶(4)=3萬-104+3=(4—3)(327),

所以4?1,2］時，P⑷<0,P（4）遞減,尸（43=尸（1）=7.

所以（〃一加）,而=近，BPn-m<>/7.

14.（2020?江蘇高考真題）某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平

線MN上,橋AB與MN平行，OO'為鉛垂線（?！贏B上）.經(jīng)測量，左側(cè)曲線A。上任一點。到MN的距離

%（米）與D到00'的距離a（米）之間滿足關(guān)系式九二八右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離?。祝┡c

40

F到00'的距離b（米）之間滿足關(guān)系式也=-工/+6乩已知點B到00,的距離為40米.

（1）求橋AB的長度；

（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,且CE為80米，其中C,E在AB上（不包括端點）.

3

橋墩EF每米造價A（萬元）、橋墩CD每米造價一人（萬元也>0）.問O'E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最

2

低？

答案：（1）120米（2）O'E=20米

解答：（1）由題意得」-|O'A『=--Lx4（）3+6x40.1O'A|=80

40800

O'A\+\O'B|=80+40=120米

(2)設總造價為/(x)萬元，|O'O|=」-X8()2=160,設|O'E|=X,

40

/(x)=)(160+就/-6x)+11口60—京(80—X。］,(0<x<40)

f(x)=)1(160+—x3-—x2),f\x)=k(—f-9?=o...x=20(0舍去)

8008080080

當0<x<20時,Ax)<0；當20cx<40時,//(x)>0,因此當％=20時,f(。取最小值,

答：當O'E=20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.

15.(2020,全國高考真題(文))已知函數(shù)/(x)=d-依+42.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有三個零點，求上的取值范圍.

4

答案：(1)詳見解析；⑵(0,—).

27

解答：(1)由題，f\x)=3x2-k,

當A40時，f(x)?0恒成立，所以在(3,+8)上單調(diào)遞增：

當4>0時，令f(x)=0,得x=±島令f(x)<0,得-舟*哈

令f(x)>0,得x<—J|或x〉J1,所以f(x)在(-JI,J1)上單調(diào)遞減，在

(一8,-go,(4,+8)上單調(diào)遞增.

卜-(-)>0

(2)由(1)知，“X)有三個零點，則左〉0,且《12

)<0

k2+-k.^>0

3V34

即《'二，解得0V人<——，

,22,\k..27

k—kA一<0

3\3

4r-Ikr-

當。<Z<—時，yjk>J—?且f(y/k)=k2>0?

27V3

所以fM在G&)上有唯一一個零點，

同理一I<_告,f(-k―1)=_二_伏+1)2<0,

所以/(X)在(一左一1,一，1)上有唯一一個零點，

又73在(一"百上有唯一一個零點，所以f(x)有三個零點，

4

綜上可知A的取值范圍為(0,—).

27

16.(2020,全國高考真題(文))已知函數(shù)/(x)="-a(x+2).

(1)當1=1時,討論了W的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

答案：(1)Ax)的減區(qū)間為(一8,0),增區(qū)間為(0,+QO)；(2)(L飲).

e

解答：(1)當a=l時，/(x)=e'-(x+2),/'(x)=eA-l,

令f(x)<0,解得x<0,令f(x)>0,解得x>0,

所以/(x)的減區(qū)間為(一8,0),增區(qū)間為(0,+8);

(2)若有兩個零點，即e'—a(x+2)=0有兩個解，

從方程可知，x=-2不成立，即a=，一有兩個解，

x+2

.,ex..-、ex(x+2)-exe"(x+l)

令h(x)=--(x*-2),n則l有〃z(幻=--~—s-=~~—r?

x+2(x+2y(x+2)-

令"(x)>0,解得了>一1,令〃'(x)<0,解得x<-2或一2<x<-l,

所以函數(shù)力(x)在(-℃,-2)和(一2,-1)上單調(diào)遞減，在(一1,一)上單調(diào)遞增,

且當無<一2時，A(x)<0.

而Xf-2+時，力(X)—>+8,當X——8時，〃(X)->+8,

x1

所以當a=—e—有兩個解時，有a>〃(—1)=-,

x+2e

所以滿足條件的a的取值范圍是：(L+oo).

e

17.(2020?全國高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=e'+a?—x.

(1)當a=l時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當xNO時，f(x)>-^-x3+l,求o的取值范圍.

答案：(1)當工￡(一8,0)時，尸(九)<0,〃％)單調(diào)遞減，當工?0,48)時，/(X)>OJ(X)單調(diào)遞增.

7-e2]

(2)--------,+oo

4J

解答：⑴當”=1時，/(x)=e'+x2-x,/'(x)=e*+2x—1,

由于/(尤)="+2>0,故于'(x)單調(diào)遞增,注意到了'(0)=0,故: