不定積分公式大全

Ch4、不定積分§1、不定積分的概念與性質(zhì)

1、原函數(shù)與不定積分定義1：若F(x)f(x)，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù)。①連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；②若F(x)為f(x)的原函數(shù)，則F(x)C也為f(x)的原函數(shù)；事實(shí)上，F(xiàn)(x)C’F’(x)f(x)③f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)僅相差一個(gè)常數(shù)。事實(shí)上，由F1(x)F1(x)’F1’(x)F2’(x)f(x)f(x)0，得F1(x)F2(x)C故F(x)C表示了f(x)的所有原函數(shù)，其中F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)。

定義2：f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記為f(x)dx，積分號(hào)，f(x)被積函數(shù)，x積分變量。

顯然f(x)dxF(x)C

例1、求下列函數(shù)的不定積分①kdxkxC11xC②xdx1

lnxC11

2、基本積分表（共24個(gè)基本積分公式）

3、不定積分的性質(zhì)①f(x)g(x)dx

②kf(x)dxf(x)dxg(x)dx(k0)kf(x)dx

例2、求下列不定積分①dx

x2x2dx1(2)1x(2)1C1

xC

②

dxx

x

12

dx

1(2)1

x

(12)1

C2xC

53③221xx1

④xexdx

2x

dx5arcsinx3arctanxC

e

x

dx

12

dxx

ex

lne

12

lnxC

⑤cscxcscxcotxdxcsc2xdxcscxcotxdxcotxcscxC⑥

dxsin

2

xcos

2

x

sin

2

xcos

2

2

x

sin

2

xcos

2

x

dx

cscxdx

2

sec

2

xdxcotxtanxC

⑦cot2xdx⑧

x

4

csc

4

x1dxcotxxC

1x

2

x111x

2

dx

12

x12

1x13

dxxxarctanxC

3

§2、不定積分的換元法

一、第一類換元法（湊微分法）1、fax

bdx

1a

faxbdaxb,即dx

1a

daxb

例1、求不定積分

①sin5xdx

7

15

sin5xd5x5xu

12

15

sinudu

11

15

cos(5x)C

116

②12xdx③④

dxax

2

2

7

12xd(12x)

271

12x71

C

12x8

C

1

a1xa

dxa

2

1

x

arctanCaa

(20)

dxax

2

2

1

dxaxa

2

xarcsinC

a

(23)

2、fxx

n

n1

dx

dxn

fx

n

n

,即x

n1

dxdx

n

例2、求不定積分

①xxdx

2

1

1x2

2

1d1x

2

12

1

1

2

1

1x

2

112

C

13

1x

2

32

C

2

②x2exdx③

1x

2

3

13

e

x

3

dx

3

1e

3

x

3

C

11dxd2xx

cos

1x

dxcos

1

11

dsinCxxx

④

cos

x

x

2cos

xdx2sinxC

1

dx2dxx

3、

1x

dxdlnx,edxde,sinxdxdcosx,cosxdxdsinx,sec

xx2

xdxdtanx,

secxtanxdxdsecx,

11x

22

dxdarctanx,

1x

2

dxdarcsinx,

2

xax

2

dxdax,

2

例3、求不定積分

①tanxdx②cotxdx③secxdx④cscxdx⑤⑥

1xlnx

cosxsin

cosx

x

sinx

dxdx

dcosxcosxsinx

lncosxClnsecxC

(16)(17)

dsinx

lnsinxClncosxCdxdx

secxsecxtanxsecxtanxcscxcscxcotxcscxcotxdlnxlnx

dsecxtanxsecxtanxdcscxcotxcscxcotx

lnsecxtanxClncscxcotxC

(18)(19)

dx

lnlnxC

lntanx1C

dx

cos

2

x1tan

x

d1e1e

x

x

dtanx1tanx1

x

⑦⑧⑨⑩

e

xx

1edx1e

dx

ln1eC

x

x

x

1ee

1e

x

xln1e

x

C

e

x2x

1e

x

dx

de1e

2

xx2

arctaneC

x

e

2

1x

x

dxe

1x

2

d

x

2

e

1x

2

C

3

例4、求不定積分

①

dxxa

2

2

11d(xa)1dx2axaxa2axa12a

lnxaxa

2

1

d(xa)

xa

(21)(22)

C

②

xx21x

2

2

x1x3

1x

2

dx

x31dx1x2

x

1

2

2

dx1x1

2

2

3

1x

1

dx

2

x

12

ln1x

2

3arctan

dx

2

xC

③

x4x2x5

2

dx

1

2x

2x262x5

2

2

dx2x5x2x5x12

C

2

2

3

x1

4

④sin2xdx

2

1cos2x

212

1

lnx2x5

2

111dxx

222

3

arctan

1214x

14

sin2xC

cos2xd2x

116

cos8x

⑤sin5xcos3xdx⑥

cotxlnsinx

dx

dx

sin

8xsin2xdx

cos2xC

lnsinx1sinx⑦2

1sinxcosx

sin

cosxdx

sin

2

sec

lnsinxlnlnsinxC

xlnsinx

dcosx1

xdxtanxC2

cosxcosx

dsinxdlnsinx

⑧

dxcosxsinx

1

dx2sinx4

1

cscx

42dx

4

lncscxcotxC

442

二、第二類換元法1、三角代換

例1、a2x2dx

解：令xasint(或acost)，則

ax

2

2

acost,dxacostdt

2

原式=acostacostdta

1cos2t

2

a1

dtdt

22

2

cos2td2t

4

a

2

2

12

t

2

a

2

4

sin2tC

xa

12

a

2

2

2

arcsin

2

xa

a

2

4

2

xa

axa

22

C

aarcsinxaxC

例2、

dxax

2

2

dxaxa

2

arcsin

xa

C

解：令xasint

原式=例3、

dxax

2

2

acostdtacost

dttCarcsin

xa

C

解：令xatant(或acott)，則a2x2asect,dxasec2tdt

原式=

asectdtasect

2

sectdtlnsecttantCln

2

xaa

22

xCa

(24)

lnx例4、

dxxx4

2

xa

2

C

解：令xatant(或acott)，則x242sect,dx2sec2tdt原式=例5、

asectdtasect

2

sectdtlnsecttantCln

xaa

22

xCa

dxxa

2

2

解：令xasect(或acsct)，則

xa

2

2

atant,dxasecttantdt

x

sectdtlnsecttantCln

a

xaa

2

2

原式=

asecttantdt

atant

c

(25)

lnxx2a2C

5

例6、x9

x2dx

解：令xasect，則x293tant,dx3secttantdt原式=3tant

3sect

23secttantdt3tan2tdt3sect13tanttC23x933arccosCxx93arccos23xC

a2x2xasint小結(jié)：f(x)中含有x2a2可考慮用代換xatant

xasect22xa

2、無理代換

例7、dx

13x1

解：令x1t,則xt31,dx3t2dt

原式=

3tdt1t323t111t2t21Cdt3t1dt3tln1t1t23

2x123x13ln1x1C

例8、dx

x13x解：令xt,則xt6,dx6t5dt原式=6tdt

t1t3526

6t221t1dt61dt6tarctantC21t66xarctanxC

例9、

解：令1x1xxdx1x

xt,則x1

t12,dx2tdtt212

6

原式=

2tdt

t1t

2

t1

2

2

2t11t12dt21dt2tlnC2t212t1t1

2

xx

ln

xx

xx

C

例10、

dxe

x

2tdtt1

2

解：令ext,則xlnt21,dx

原式

Cln

e1e

xx

t

1

2tt1

2

dt2

dtt1

2

2

12

ln

t1t1

11

C

4、倒代換

例11、

dxxx41t

6

1

t

7

6

解：令x,則

xx1

6

6

14t

,dx

dtt

2

124

x

66

原式

14

tdt14t

6

124

6

d4t14t1

6

6

124

ln4t1C

6

ln

x4

C

lnx

124

lnx4C

§3、分部積分法

分部積分公式：UVUVUV,UVUVUV

UVdx

例1、xcosxdx

UVdx

UVdx

，故UdVUV

VdU

（前后相乘）（前后交換）

xdsin

xxsinx

sin

xdxxsinxcosxC

例2、xexdx

xde

x

xe

x

e

x

dxxe

x

eC

x

7

例3、lnxdxxlnxxdlnxxlnxx或解：令lnxt,xet

1x

dxxlnxxC

原式tdettetetdttetetCxlnxxC例4、arcsinxdx

xarcsinx

1

xdarcsinxxarcsinxd1xx

xxx

22

dx

xarcsinx

2

22

xarcsin

C

x

或解：令arcsinxt,xsint

原式tdsinttsintsintdttsintcostCxarcsinxx2C例5、exsinxdx

sinxde

x

x

esinx

x

x

ecosxdxesinx

x

xx

cosxde

e

x

x

esinxecosx

e

dcosxe

x

sin

xcosx

sinxdx

故exsinxdx例6、

xcos

2

12

e

x

sinxcosxC

x

dx

xd

tanxxtanx

tan

xdxxtanxlnsecxC

例7、lnxx2dx

xlnxxlnx

xx

2

x

1xx

2

xx

2

2

dxxlnx

x

2

xx

2

dx

2

xC

§4、兩種典型積分

一、有理函數(shù)的積分

有理函數(shù)R(x)式，然后積分。

8

P(x)Q(x)

anxan1xbmx

m

nn1m1

a1xa0b1xb0

bm1x

可用待定系數(shù)法化為部分分

例1、將解：

x3x5x6

2

化為部分分式，并計(jì)算

x3

Ax2

Bx3

x3x5x6

2

dx

x3x5x6

2

x2x3

A5

B6dx5

ABx3A2B

x2x3

AB1

3A2B3

故

x3x5x6

2

dxx2

6

dxx3

5ln(x2)6ln(x3)C

或解：I

1

2x

1212

2x511

2

5x6

2

dx

1

2

dx5x6x5x6

2

2

11

2

x

dx

2

5x6

例2、

lnx5x6

11

11

dx2x3x2lnx3x2

C

lnx5x6

2

112

dx

dxx(x1)

2

11dx2x(x1)(x1)2

x(x1)x1x

x1

dxlnCx1x1

1

dx

x

1

x2

x

2

111

x1x(x1)2

1

dx

x

2

1x

2

例3、

x1x1

4

2

1x

2

dx

12

x

arctan

1xC

2

例4、

dxx1

4

12

11222x1x11x

dxdx4

12x12

x2

x

2

x

dx12

x2

x1

1

1dx

1x2

21x2

x

1

11xx

111xxarctanln2

1222221xx2xx1

dx

x

2x

C2x

2

C2

22

x11x1arctanln

22222xx1

二、三角函數(shù)有理式的積分

9

對(duì)三角函數(shù)有理式積分IRsinx,cosxdx，令utan,則x2arctaun，

2

2

2u1u

故IRsinx,cosx,dxdu，2221u2,1u2

1u1u1u

x

2u1u

2

2

2

三角函1u2du，

數(shù)有理式積分即變成了有理函數(shù)積分。例5、

dx35cosx

x2

，cosx

1u1u

22

解：令utan

,則x2arctanu,dx

21u

2

du

原式例6、

35

11u1u

22

21u

2

du

4u

du

2

122

ln

2u2u

C

14

2tanln2tan

x2Cx2

dx

2sinxcosx5

x2

，sinx

2

22

解：令u