四川省棠湖中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

四川省棠湖中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知函數(shù)，則（）A.-1 B.2C.1 D.52．將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，已知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小正值為（）A.2 B.3C.4 D.63．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是A. B.C. D.4．?dāng)?shù)向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后與的圖象重合，則A.為奇函數(shù) B.的最大值為1C.的一個(gè)對(duì)稱中心為 D.的一條對(duì)稱軸為5．設(shè)，則A. B.0C.1 D.6．若，則（）A. B.aC.2a D.4a7．對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)是曲線“優(yōu)美點(diǎn)”.已知，則曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為A.1 B.2C.4 D.68．若，且，則的值是A. B.C. D.9．下列函數(shù)，其中既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)對(duì)任意的，都有，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)則A.1 B.4C.5 D.912．已知，，，是球的球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面，，，則該球的半徑為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．新冠疫情防控常態(tài)化，核酸檢測(cè)應(yīng)檢盡檢!核酸檢測(cè)分析是用熒光定量PCR法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)檢測(cè)，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，DNA的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)n滿足：，其中p為擴(kuò)增效率，為DNA的初始數(shù)量.已知某被測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增8次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的100倍，那么該標(biāo)本的擴(kuò)增效率p約為_(kāi)__________；該被測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增13次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的___________倍.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）14．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.15．函數(shù)定義域?yàn)開(kāi)_______.（用區(qū)間表示）16．若，則的終邊所在的象限為_(kāi)_____三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)，（1）設(shè)，若是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．設(shè)函數(shù)且是奇函數(shù)求常數(shù)k值；若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；若已知，且函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值19．如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（，是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道總長(zhǎng)度(即的周長(zhǎng))表示為的函數(shù)，并求出定義域；（2）問(wèn)當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長(zhǎng)度.（提示：.）20．函數(shù)（1）解不等式；（2）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值.22．定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的都有，且，當(dāng)時(shí).（1）求的值，并證明是R上的增函數(shù)；（2）設(shè)，（i）判斷的單調(diào)性（不需要證明）（ii）解關(guān)于x的不等式.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】求分段函數(shù)的函數(shù)值，將自變量代入相應(yīng)的函數(shù)解析式可得結(jié)果.【詳解】∵在這個(gè)范圍之內(nèi)，∴故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值的問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，是簡(jiǎn)單題.2、B【解析】根據(jù)圖象平移求出g(x)解析式，g(x)為奇函數(shù)，則g(0)＝0，據(jù)此即可計(jì)算ω的取值.【詳解】根據(jù)已知，可得，∵的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，從而，Z，所以，其最小正值為3，此時(shí)故選：B3、A【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C(m，n),由重心坐標(biāo)公式得重心為,代入歐拉線方程得：①AB的中點(diǎn)為，，所以AB的中垂線方程為聯(lián)立，解得所以三角形ABC的外心為，則，化簡(jiǎn)得：②聯(lián)立①②得：或，當(dāng)時(shí)，BC重合，舍去，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的各種形式，重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題.4、D【解析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律得到的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象，得出結(jié)論【詳解】向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，可得的圖象，在根據(jù)所得圖象和的圖象重合，故，顯然，是非奇非偶函數(shù)，且它的最大值為2，故排除A、B；當(dāng)時(shí)，，故不是對(duì)稱點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為最大值，故一條對(duì)稱軸為，故D正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．利用y=sinx的對(duì)稱中心為求解，令，求得x.5、B【解析】詳解】故選6、A【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可求解.【詳解】，故選：A7、C【解析】曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)，就是的函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象，與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出的函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式，與聯(lián)立，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)，就是的函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象，與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由可得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，，聯(lián)立和，解得或，則存在點(diǎn)和為“優(yōu)美點(diǎn)”，曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4，故選C【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬于難題．遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.8、B【解析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，即可得解【詳解】由題意，知，且，所以，則，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準(zhǔn)確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】分別考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性即可求得最終結(jié)果.【詳解】逐一考查所給的函數(shù)的性質(zhì)：A.，函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；B.，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；C.，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；D.，函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；據(jù)此可得滿足題意的函數(shù)只有A選項(xiàng).本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、A【解析】由和可得函數(shù)的周期，再利用周期可得答案.【詳解】由得，所以，即，所以的周期為4，，由得，所以故選：A.11、C【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出與的值，相加即可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，又由，則，則；故選C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，及函數(shù)求值問(wèn)題，其中解答中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及合理利用分段函數(shù)的解析式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】由題意，補(bǔ)全圖形，得到一個(gè)長(zhǎng)方體，則PD即為球O的直徑，根據(jù)條件，求出PD，即可得答案.【詳解】依題意，補(bǔ)全圖形，得到一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示：所以PD即為球O的直徑，因?yàn)槠矫?，，，所以AD=BC=3,所以，所以半徑，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球問(wèn)題，對(duì)于有兩兩垂直的三條棱的三棱錐，可將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，可簡(jiǎn)化計(jì)算，方便理解，屬基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①.0.778②.1788【解析】①對(duì)數(shù)運(yùn)算，由某被測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增8次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的100倍，可以求出p；②由n=13，可以求數(shù)量是原來(lái)的多少倍.【詳解】故答案為：①0.778；②1778.14、【解析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，作出的圖像，結(jié)合圖像分析即可.【詳解】令得，作出的函數(shù)圖像，如圖，因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以直線與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，所以.故答案為：15、【解析】由對(duì)數(shù)真數(shù)大于0，偶次根式被開(kāi)方式大于等于0，列出不等式組求解即可得答案.【詳解】解：由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?16、第一或第三象限【解析】將表達(dá)式化簡(jiǎn)，，二者相等，只需滿足與同號(hào)即可，從而判斷角所在的象限.【詳解】由，，若，只需滿足，即與同號(hào)，因此的終邊在第一或第三象限.故答案為：第一或第三象限.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、(1)(2)(3)【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義得，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，再求分式函數(shù)值域，即得在區(qū)間上的值域（3）設(shè)，將不等式化為，再分離變量得且，最后根據(jù)基本不等式可得最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則恒成立，所以.（2），因?yàn)椋?，所以，則，則，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?（3）由，得，設(shè)，則，設(shè)若則，由不等式對(duì)恒成立，①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)恒成立；②當(dāng)，即時(shí)，由解得；所以；若則，則由不等式對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，只需，解得；故?shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.18、（1）；（2）在上為單調(diào)增函數(shù)；（3）【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，恒成立，可得值，也可用奇函數(shù)的必要條件求出值，然后用奇函數(shù)定義檢驗(yàn)；（2）判斷單調(diào)性，一般由單調(diào)性定義，設(shè)，判斷的正負(fù)（因式分解后判別），可得結(jié)論；（3）首先由，得，這樣就有，這種函數(shù)的最值求法是用換元法，即設(shè)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，注意在換元過(guò)程中“新元”的取值范圍試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)（且）是奇函數(shù)，，經(jīng)檢驗(yàn)可知，函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意（2）設(shè)、為上兩任意實(shí)數(shù)，且，，，，即函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù).（3），，解得或且，（）令（），則當(dāng)時(shí)，，解得，舍去當(dāng)時(shí)，，解得考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，函數(shù)的最值19、（1），定義域?yàn)?（2）當(dāng)或時(shí)所鋪設(shè)的管道最短，為米.【解析】（1）如圖，因?yàn)槎际侵苯侨切?，故可以得到，也就是，其?（2）可變形為，令后，則有，其中，故取的最大值米.【詳解】（1）.由于，，所以，故.管道的總長(zhǎng)度，定義域?yàn)?(2).設(shè)，則，由于，所以.因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)，取的最大值米.（此時(shí)或）.答：當(dāng)或時(shí)所鋪設(shè)的管道最短，為米.【點(diǎn)睛】在三角變換中，注意之間有關(guān)系，如，，三者中知道其中一個(gè)，必定可以求出另外兩個(gè).20、（1）（2）【解析】（1）由，根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性可得，然后解指數(shù)不等式即可.（2）由實(shí)數(shù)根，化為有實(shí)根，令，有正根即可，對(duì)稱軸，開(kāi)口向上，只需即可求解.【詳解】（1）由，即，所以，，解得所以不等式的解集為.（2）由實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)根，所以有實(shí)根，兩邊平方整理可得令，且，由題意知有大于根即可，即，令，，故故.故實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)對(duì)數(shù)型方程的根求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，..【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp-DQC=VQ-PCD，即可得出結(jié)論試題解析：（1）證明：在中為中點(diǎn)，所以.又側(cè)面底面，平面平面平面，所以平面.（2）解：連接，在直角梯形中，，有且，所以四邊形是平行四邊形，所以.由（1）知為銳角，所以是異面直線與所成的角，因?yàn)?，在中，，所以，在中，因?yàn)?，所以，在中，，所以，所以異面直線與所成的角的余弦值為.（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為.設(shè)，則，由（2）得，在中，，所以，由得，所以