線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫出其向量形式的通解?齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本章以向量為工具討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容:非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)如果當齊次線性方程組有無窮多解時,問題:1.2.如果當非齊次線性方程組有無窮多解時,其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫出其向量形式的通解?2§4.1線性方程組解的存在性定理對于非齊次方程組非齊次方程組解的判別定理

齊次方程組解的判別定理對于齊次方程組3

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)4記Ax=0的解集為:(1)1.解向量:的一個解向量.2.解向量的性質(zhì):(2)不妨設(shè)是N(A)的最大無關(guān)組(稱為根底解系)那么:由(1),(2)可知(取任意實數(shù))§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)5通過下面的例子,來解決以上問題例1問題:對于給定的方程組如何求其根底解系?解:6是解嗎?線性無關(guān)嗎?任一解都可由

表示嗎?根底解系所含向量的個數(shù)=?是基礎(chǔ)解系嗎?令自由變量為任意實數(shù)

說明:1.根底解系不惟一2.但所含向量的個數(shù)唯一且等于n-R(A)7齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為設(shè)一個根底解系為:那么通解為:例２．設(shè)ｎ階矩陣Ａ的秩為ｎ－１，Ａ的每行元素之和為零，寫出ＡＸ＝０的通解．解：的根底解系所含向量個數(shù)為那么通解為：8例2設(shè),是的兩個不同的解向量,k取任意實數(shù),那么Ax=0的通解是例3設(shè),證明重要結(jié)論證記則由說明都是的解因此移項9例4.的列向量組是齊次線性方程組的根底解系,B是m階可逆矩陣,試證:AB的列向量組也是齊次線性方程組的根底解系.證明:那么AB的列向量組是齊次線性方程組的解向量由條件可知A的列向量組線性無關(guān)且含m個向量所以AB的列向量組線性無關(guān),即是方程組的根底解系.10

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)11(1)設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個解(固定),則對(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得由此得:1.解向量:2.性質(zhì):§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)12非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理的一特解解,那么當非齊次線性方程組有無窮多解時其通解為:例5.的三個解向量解:的根底解系含一個向量13例6解14例7設(shè)是非齊次Ax=b的兩個不同的解其對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系,那么Ax=b的通解是(多項選擇)15例8.方程組問:a為何值時,方程組有唯一解?無解?無窮多解?有無窮多解時求出通解.解:所以有無窮多解,16因為系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以方程組無解.例9.的三個解向量,17例10設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A,存在解:那么B的列向量組為AX=0的解向量例11齊次線性方程組,那么以下結(jié)論正確的選項是18例１2方程組問ａ為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多個解？在方程組有無窮多個解時求出通解．〔考試題〕解：方程組有唯一解即當ａ＝０