平行四邊形單元 易錯(cuò)題測(cè)試綜合卷學(xué)能測(cè)試試卷

平行四邊形單元易錯(cuò)題測(cè)試綜合卷學(xué)能測(cè)試試卷

一、選擇題

1.在邊長(zhǎng)為2的正方形A5CO中，P為A8上的一動(dòng)點(diǎn)，E為4）中點(diǎn)，PE交CD延

長(zhǎng)線于Q,過E作所，為2交的延長(zhǎng)線于尸，則下列結(jié)論：①M(fèi)PE三ADQE；

②PQ=EF；③當(dāng)P為A8中點(diǎn)時(shí)，CF=e；④若“為QC的中點(diǎn)，當(dāng)P從A移動(dòng)

到B時(shí);線段上”掃過的面積為!，其中正確的是（）

2

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③

2.如圖所示，等邊三角形ABC沿射線8C向右平移到ADCE的位置，連接A。、BD，

則下列結(jié)論：（1）AD=BC（2）BD與AC互相平分（3）四邊形ACE。是菱形（4）

BD工DE，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，在aABC中，BF平分NABC,過A點(diǎn)作AFLBF,垂足為F并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,

D為AB中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E。若AB=12,BC=20,則線段EF的長(zhǎng)為（）

4.如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)。，AB=4,60=473）E為AB的中點(diǎn),

點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+BP的最小值為（）

A.4B.275C.2幣D.8

5.如圖，NMON=90°邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)AB分別在邊OM,ON上

當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊00上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過程

中，點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離為（）

A.2.4B.VsC.V3+1D.|

6.如圖，矩形中，。為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，

F,連結(jié)BF，交AC于點(diǎn)M，連結(jié)￡>E，BO.若NBOC=60°,FO=FC，則下列

結(jié)論：①AE=C尸；②6E垂直平分線段。C；③AEOBMACMB；④四邊形是6/7）石

菱形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

7.如圖，在平行四邊形A5CD中,NC=120。，AO=2AB=8,點(diǎn)H、G分別是邊

AD，5c上的動(dòng)點(diǎn).連接A4、HG,點(diǎn)￡為44的中點(diǎn)，點(diǎn)/為G”的中點(diǎn)，連接

EF.則所的最大值與最小值的差為（）

C.73D.4-73

8.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，連接ED,EF,ED平分

A8

ZAEF,過點(diǎn)D作DGLEF于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,連接GE,GF,若FG〃DE,則一的值

AD

是（

c.V2D.73

9.如圖，點(diǎn)0(0,0),A(0,1)是正方形。AAB的兩個(gè)頂點(diǎn)，以。4對(duì)角線為邊作正

方形。444,再以正方形的對(duì)角線。4作正方形OA44,…，依此規(guī)律，則點(diǎn)4的坐

C.(0,872)D.(0,16)

10.如圖，已知一個(gè)矩形紙片。ACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,

0),點(diǎn)8(0,6),點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿。P折疊得至必。P。，連接CD、

AD.則下列結(jié)論中：①當(dāng)NBOP=45。時(shí)，四邊形OBPO為正方形；②當(dāng)N80P=30。時(shí)，

△OA。的面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，8的最小值為2后-6；④當(dāng)。D_LAD時(shí),

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=OB,點(diǎn)E,F分別是

OA,OD的中點(diǎn)，連接EF,EMJ_BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,若NCEF=45°,FN=5,

則線段BC的長(zhǎng)為.

,D

E

12.如圖，在矩形ABCD中，AD=OAB,NBA。的平分線交BC于點(diǎn)E,CWJ_4E于點(diǎn)

H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接。E交8F于點(diǎn)。，下列結(jié)論：①NAED=NCED；

②。E=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF,其中正確的有.

13.如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE并將

△AEB沿AE折疊，得到△AEB-以C,E,B'為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為

cm.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中點(diǎn)，作CE_LAB,垂足E在線段

AB±,連接EF、CF,則下列結(jié)論：（l）NDCF+4/D=90.；⑵NAEF+/ECF=90°；

（3）SBEC=2SCEF；⑷若/B=80。，則/AEF=50。.其中一定成立的是（把所有正確結(jié)

論的字號(hào)都填在橫線上）.

15.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中線；④NEAM=NABC.其中正確的是.

16.在ABC1中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC邊上的高.將ABC按如圖所示的方

式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則。所的周長(zhǎng)為.

17.如圖，在矩形ABCD中，ZACB=30°,BC=2有，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a,則點(diǎn)G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

18.如圖，直線分別經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（4,0）且平行于V軸.[0ABe的頂點(diǎn)A，C

分別在直線4和4上，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為

19.已知：如圖，在ABC中，ADVBC,垂足為點(diǎn)。，BEIAC^垂足為點(diǎn)E，

M為AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED，設(shè)A3=4,ND4C=30。則

EM=；EDM的面積為

A

20.如圖，長(zhǎng)方形ABCO中，A￡>=26,A6=12，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)V8PQ是以QP為腰的等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為,

三、解答題

21.如圖，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊BC的中點(diǎn)，E,F分別是

ABAC邊上的點(diǎn)，且。E1OF，若BE=12,CF=5,求線段EF的長(zhǎng).

22.在ABCO中，以A。為邊在ABC。內(nèi)作等邊AAOE，連接3E.

(1)如圖1,若點(diǎn)E在對(duì)角線89上，過點(diǎn)A作A"_LB￡>于點(diǎn)”，且NZMB=75。,

AB=&，求AH的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若點(diǎn)F是BE的中點(diǎn),且CVLBE,過點(diǎn)E作MNCF,分別交AB，

CD于點(diǎn)、M,N,在OC上取DG=CN,連接CE,EG.求證：

①ACEN冬M)EG；

②AENG是等邊三角形.

DG

H

23.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，AM、AN分別交BD于點(diǎn)

P、Q,連接CQ、MQ.且CQ=MQ.

(1)求證：ZQAB^ZQMC

(2)求證：AAQM=90°

(3)如圖2,連接MN,當(dāng)BM=2,CN=3,求AAW的面積

圖1圖2

24.如圖，在矩形ABCD中，/BAD的平分線交8c于點(diǎn)E,AE=AD,作DFJ_AE于點(diǎn)F.

(1)求證：AB=AF-,

(2)連BF并延長(zhǎng)交DE于G.

①EG=DG；

②若EG=1,求矩形A8CD的面積.

25.已知在ABC和4。石中，ZACB+ZAED=ISO°,CA^CB,EA=ED，

AB=3.

(1)如圖1,若NACB=90°，B、A、。三點(diǎn)共線，連接CE：

①若?！?生旦，求80長(zhǎng)度；

2

②如圖2,若點(diǎn)E是8。中點(diǎn)，連接CT，EF,求證：CE=JiEF;

(2)如圖3,若點(diǎn)。在線段8C上，且NC45=2ZE4￡>,試直接寫出AED面積的最

小值.

26.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,NA的角平分線交邊CD于點(diǎn)E.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)

沿射線AE以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，Q為AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QHJ_AB于點(diǎn)H,

在射線AE的下方作平行四邊形PQHM（點(diǎn)M在點(diǎn)H的右側(cè)），設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

（1）直接寫出AQH的面積（用含f的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求，的值.

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，整個(gè)圖形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，請(qǐng)寫出所有

全等三角形，并求出對(duì)應(yīng)的『的值；若不存在請(qǐng)說明理由（不能添加輔助線）.

27.已知如圖1,四邊形A8CO是正方形，ZEAF=45°.

（1）如圖1,若點(diǎn)E,尸分別在邊BC、8上，延長(zhǎng)線段。至G,使得3G=￡＞尸，若

BE=3,BG=2,求的長(zhǎng)；

ffil

（2）如圖2,若點(diǎn)分別在邊C8、OC延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：EF=DF—BE.

E

（3）如圖3,如果四邊形4BCD不是正方形，但滿足

46=4。,/54。=/88=90°,/胡尸=45°,且8。=7,OC=13,CF=5,請(qǐng)你直接

寫出3E的長(zhǎng).

28.（解決問題）如圖1,在A4BC中，A3=AC=10,CGJ_AB于點(diǎn)G.點(diǎn)P是

BC邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作莊，AB，PFYAC,垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)戶.

（1）若PE=3,PF=5,則△/鋁尸的面積是,CG=.

（2）猜想線段PE,PF，CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）（變式探究）如圖2,在△鉆C中，若A3=AC=3C=10,點(diǎn)P是△鉆C內(nèi)任意

一點(diǎn)，且PFVAC,PG1AB,垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)/，點(diǎn)G,求

PE+尸產(chǎn)+PG的值.

G

BEC

圖2

(4)(拓展延伸)如圖3,將長(zhǎng)方形ABC。沿所折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)3上，點(diǎn)。落在

點(diǎn)。'處，點(diǎn)P為折痕EF上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)、P作PG上BE,PH1BC,垂足分別為

點(diǎn)G,點(diǎn)”.若AD=8,CF=3,直接寫出PG+P”的值.

29.已知：如下圖，ABC和3co中，ZBAC=ZBDC=90°>E為的中點(diǎn)，連

接OE、AE.若。CAE,在。。上取一點(diǎn)尸，使得叱=?！?連接EE交A￡>于。.

(1)求證：EF±DA.

(2)若8c=4,4。=2百，求EF的長(zhǎng).

30.定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫

做這個(gè)損矩形的直徑。

(1)如圖1,損矩形ABCD,NABC=NADC=90°,則該損矩形的直徑是線段AC,同時(shí)我

們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)，在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的。

如圖1中：^ABC和4ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有NADB和/ACB,此時(shí)NADB=

ZACB；再比如aABC和aBCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有/BAC和/BDC,此時(shí)NBAC=

ZBDC,請(qǐng)?jiān)僬乙粚?duì)這樣的角來一=

(2)如圖2,Z^ABC中，ZABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF

的中心，連結(jié)BD,當(dāng)BD平分NABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說明

理由。

(3)在第(2)題的條件下，若此時(shí)AB=3,BD=4夜，求BC的長(zhǎng)。

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)依次判斷即可;

【詳解】

解：①；四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD,ZA=ZB=90°,

VZA=ZEDQ,ZAEP=ZQED,AE=ED,

.?.△AEP絲△DEQ,故①正確，

②作PG_LCD于G,EM_LBC于M,

NPGQ=NEMF=90°,

VEFXPQ,

.\ZPEF=90°,

AZPEN+ZNEF=90°,

VZNPE+ZNEP=90°,

；.NNPE=NNEF,

：PG=EM,

.?.△EFM絲△PQG,

；.EF=PQ,故②正確，

③連接QF.則QF=PF,PB2+BF2=QC2+CF2,設(shè)CF=X,

則（2+X）2+12=32+X2,

??.x=l,故③錯(cuò)誤，

④當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，Q與D重合，QC的中點(diǎn)H在DC的中點(diǎn)S處，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，QC的

中點(diǎn)H與D重合，

故EH掃過的面積為4ESD的面積=},故④正確，

則正確的是①②④，故選B.

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，難度較大.

2.D

解析：D

【分析】

先求出/ACD=60。，繼而可判斷4ACD是等邊三角形，從而可判斷①是正確的；根據(jù)①

的結(jié)論，可判斷四邊形ABCD是平行四邊形，從而可判斷②是正確的；再結(jié)合①的結(jié)論，

可判斷③正確；根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得ACJ_BD,再根據(jù)平移后對(duì)應(yīng)線段互相平

行可得NBDE=/COD=90°,進(jìn)而判斷④正確.

【詳解】

解：如圖：;△ABC,ZXDCE是等邊三角形

AZACB=ZDCE=60o,AC=CD

.?.NACD=180°-ZACB-ZDCE=60°

AACD是等邊三角形

，AD=AC=BC,故①正確；

由①可得AD=BC

；AB=CD

四邊形ABCD是平行四邊形，

；.BD、AC互相平分，故②正確；

由①可得AD=AC=CE=DE故四邊形ACED是菱形，即③正確

???四邊形ABCD是平行四邊形，BA=BC

四邊形ABCD是菱形

AACIBD,AC//DE

.\ZBDE=ZCOD=90°

ABDIDE,故④正確

綜上可得①②③④正確，共4個(gè).

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等，對(duì)角線

互相垂直.

3.C

解析：c

【解析】

【分析】

由直角三角形的性質(zhì)可求得DF=BD=LAB,由角平分線的定義可證得DE〃BC,利用三

2

角形中位線定理可求得DE的長(zhǎng)，則可求得EF的長(zhǎng).

【詳解】

解:???AFLBF,D為AB的中點(diǎn)，

.?.DF=DB」AB=6,

2

/DBF=/DFB,

：BF平分/ABC,

；.NDBF=/CBF,

.,.ZDFB=ZCBF,

，DE〃BC,

；.DE為△ABC的中位線，

1

.,.DE=-BC=10,

2

AEF=DE-DF=10-6=4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

三角形中位線定理.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊是斜邊的一半可得△DBF為等腰三

角形，通過角平分線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可得DF//BC,即DE為AABC的中位線，從而計(jì)

算出DE,繼而求出EF.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P,連結(jié)BP,根據(jù)菱形的性質(zhì)推出A。是BD的垂直平分線，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可.

【詳解】

如圖，設(shè)AC,BD相交于。，

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.AC1BD,AO^—AC,BO=LBD=2百，

22

VAB=4,

，AO=2,

連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P,連結(jié)BP,作EM_LBD于點(diǎn)M,

?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AC_LBD,且DO=BO,即AO是BD的垂直平分線，

；.PD=PB,

，PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

是AB的中點(diǎn)，EM±BD,

11七

.*.EM=—AO=1,BM=yBO=y/2，

.\DM=DO+OM=60=373,

???DE=VIAF+DM7=Jr+(3回=2s，

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定和三角函數(shù)解答.

5.C

解析：C

【解析】

【分析】

如圖，取AB的中點(diǎn)D.連接CD.根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到0C小于等于OD+DC,只

有當(dāng)0、D及C共線時(shí)，0C取得最大值，最大值為OD+CD,由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,

根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1,根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD

中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，0D為斜邊AB上的中線，根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長(zhǎng)求出0D的

長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+OD,即為OC的最大值.

【詳解】

「△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2,；.BC=AB=2,

???點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，

;.BD=LAB=I,

2

???CD=7BC2-BD2=百―F=6,即CD=百；

連接OD,OC,有OCWOD+DC,

當(dāng)0、D、C共線時(shí)，0C有最大值，最大值是OD+CD,

由(1)得，CD=6,

又?.?△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，

0D=—AB=1,

2

...OD+CD=1+6，即0C的最大值為1+石.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定

理，其中找出0C最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+OD是解本題的關(guān)鍵.

6.C

解析：c

【分析】

通過證AAEC^CF?？膳袛啖?；利用矩形的性質(zhì)證aOCB是正三角形，可得②；因

OBWMB,得到③錯(cuò)誤；通過證AEOBg△FCB得到EB=FB,從而證④.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是矩形

...AB〃DC,AO=OC

ZAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO

AAAEOSCFO(AAS)

AE=FC,①正確

???四邊形ABCD是矩形

.,.OC=OB

：/BOC=60°

.?.△OCB是正三角形，.".OB=OC

VFO=FC

???FB是線段OC的垂直平分線，②正確

VBMXOC,.?.△OMB是直角三角形，.\OB>BM

2ACMB是錯(cuò)誤的，即③錯(cuò)誤

:四邊形ABCD是矩形

.,.EBIIDF,AB=DC

VAE=FC

；.EB=DF

二四邊形EBFD是平行四邊形

VAAEO^△CFO,OF=FC,.\AE=EO=OF=FC

「△OBC是正三角形，.,.NBOC=60°=NBCO,BC=BO

ZFCO=30°,ZFOC=30°

NFOB=30°+60°=90°

ZEOB=90°=ZFCB

.?.△EOB玲△FCB(SAS)

EB=FB

二平行四邊形EBFD是菱形，④正確

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的性質(zhì)和證明，解題關(guān)鍵是證明AAOE絲△COF和證明ABOC是正三角形.

7.C

解析：c

【分析】

如圖，取AD的中點(diǎn)M,連接CM、AG、AC,作AN_L.BC于N.首先證明NACD=90。，求出

AC,AN,利用三角形中位線定理，可知EF='AG,求出AG的最大值以及最小值即可解

2

決問題.

【詳解】

解：如圖，取AD的中點(diǎn)M,連接CM、AG、AC,作AN_LBC于N.

:四邊形ABCD是平行四邊形，ZBCD=120°,AD=2AB=8

：.ZD=1800-ZBCD=60",AB=CD=4,

VAM=DM=DC=4,

.".△CDM是等邊三角形，

NDMC=/MCD=60°,AM=MC,

AZMAC=ZMCA=30°,

/ACD=90°,

，AC=4G

-,.AN=-AC=2^

2

VAE=EH,GF=FH,

1

；.EF=-AG,

2

?.?點(diǎn)G在BC上，；.AG的最大值為AC的長(zhǎng)，最小值為AN的長(zhǎng)，

，AG的最大值為46，最小值為26，

；.EF的最大值為2百，最小值為百，

???EF的最大值與最小值的差為：也

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角

形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是

證明NACD=90。，屬于中考選擇題中的壓軸題.

8.C

解析：C

【分析】

由題意得4AED會(huì)△MED、Z\BEG也△MEG、AMGF^ACGF,設(shè)CG=X,用含X的式子表示

AD=2x,AB=2瓜,即可得出坦=2叵=0

AD2x

【詳解】

VED平分NAEF

AZAED=ZDEM

在矩形ABCD中，ZA=ZB=ZBCD=90°

?.?DG1EF

/.ZDME=ZEMG=ZGMF=90°

/.ZA=ZDME=90°

VDE=DE

/.△AED^AMED

AME=AE

???點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)

AAE=BE

AME=BE

VZEMC=ZB=90°,EG=EG

RtABEG^RtAMEG

VAD/7BC

AZADG=ZCGD

VED/7GF

AZEDM=ZFGM

AZADE=ZCGF

.\ZCGF=ZFGM

/.△MGF^ACGF

/.MG=CG=BG

設(shè)CG=x

/.BC=2x

AAD=DM=2x

ADG=3x

根據(jù)勾股定理可得

CD-2\f2x

???AB=20x

.AB_20x_o

,AD-2x-

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握和全等三角形的判定

和性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.D

解析：D

【分析】

根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，邊長(zhǎng)都乘以0,可求出從A

到A3變化后的坐標(biāo)，再求出Al、A2、A3、Aq、As,繼而得出A8坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，邊長(zhǎng)都乘0,

?.?從A到A?經(jīng)過了3次變化，

；45°x3=135°,lx(&『=2后,

...點(diǎn)A3所在的正方形的邊長(zhǎng)為20，點(diǎn)A3位置在第四象限，

.??點(diǎn)A?的坐標(biāo)是(2,-2),

可得出：4點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

4點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),A,點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),

A4點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-4),

4(-8,0),A7(-8,8)，4(0,16),

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律題，點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察出每一次的變化特征是解答本題的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

①由矩形的性質(zhì)得到NQBC=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB=OD,

IPDO?OBP90?,/BOP=/DOP,推出四邊形OBP。是矩形，根據(jù)正方形的判定

定理即可得到四邊形Q"少為正方形；故①正確；

②過。作于〃，得到。4=10，OB=6,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

DH=goD=3,根據(jù)三角形的面積公式得到△OAD的面積為;。AgD”=；倉更10=15,

故②正確；

③連接OC,于是得到OD+CD.OC,即當(dāng)OD+CD=OC時(shí)，CO取最小值，根據(jù)勾

股定理得到8的最小值為2取-6；故③正確；

④根據(jù)已知條件推出P,。，A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到？。尸31POA,等量

代換得到？O/%?POA,求得AP=G(4=10,根據(jù)勾股定理得到

BP=BC-CP=10-8=2,故④正確.

【詳解】

解：①四邊形OACB是矩形，

ZOBC=90°,

將\OBP沿OP折疊得到kOPD,

：.OB=OD,?PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,

Q?BOP45?,

\?DOP?BOP45?,

Z5OD=90°,

\?BOD?OBP?ODP90?,

.?.四邊形O8/Z)是矩形，

OB=OD,

二四邊形08叨為正方形；故①正確；

②過。作于“，

點(diǎn)A(10,0),點(diǎn)8(0,6),

.,.04=1(),08=6,

\8=08=6,?BOP1DOP30?,

\?DOA30?,

\DH=-OD=3，

2

的面積為:。AgM=；創(chuàng)310=15,故②正確;

③連接OC,

則O￡>+CD..OC,

即當(dāng)00+8=0。時(shí)，CO取最小值，

Q4C=OB=6,。4=10,

\OC=-JOA2+AC2=V102+62=2A/34，

\CD=OC-OD=2734-6,

即CO的最小值為2后-6;故③正確；

④OD1AD,

ZAD0=90°,

Q?ODP?OBP90?,

\1ADP180?,

:.P,D，A三點(diǎn)共線，

QOA//CB,

\?OPB?POA,

Q?OPB?0PD,

\?OPA?POA,

\AP=OA=10,

AC=6,

\CP=\/102-62=8>

\BP=BC-CP=10-8=2,故④正確；

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形的

面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.475

【分析】

設(shè)EF=x,根據(jù)三角形的中位線定理表示AD=2x,AD/7EF,可得/CAD=/CEF=45°,證

明△EMC是等腰直角三角形，則NCEM=45°,證明aENF絲zXlVINB,則EN=MN=4X,

2

BN=FN=5,最后利用勾股定理計(jì)算X的值，可得BC的長(zhǎng).

【詳解】

解：設(shè)EF=x,

:點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、0D的中點(diǎn),

...EF是△OAD的中位線，

，AD=2x,AD〃EF,

NCAD=/CEF=45°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC=2x,

/ACB=/CAD=45°,

VEM±BC,

.,.ZEMC=90°,

/.△EMC是等腰直角三角形，

；./CEM=45°,

連接BE,

；AB=OB,AE=OE

ABEXAO

AZBEM=45°,

；.BM=EM=MC=x,

；.BM=FE,

易得4ENF也△MNB,

1

，EN=MN=-X,BN=FN=5,

2

RtABNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

即5?=f+(gx)2

解得，x=2V5.

BC=2x=45/5■

故答案為：4遍.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理；解決問題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問題.

12.①②③④

【分析】

①根據(jù)角平分線的定義可得/BAE=NDAE=45°,可得出AABE是等腰直角三角形，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可得從而得到AE=AD,然后利用“角角邊”證明aABE

和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得8E=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出NADE=NAED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出NCED=67.5°,從而判斷出①正確；

②求出N4H8=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5Q,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得。E=OD=OH,判斷

出②正確；

③求出NEBH=/OHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用“角邊角”證明△BEH和

△HDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判斷出④正確；

⑤判斷出△A8H不是等邊三角形，從而得到A8W8H,即ABWHF,得到⑤錯(cuò)誤.

【詳解】

,在矩形A8CD中，AE平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE=45°,...△ABE是等腰直角三角形，

，AE=

?：AD=6AB,：.AE=AD.

NBAE=ZDAE

在△ABE和△AHD中，V?ZABE=ZAHD=90°,A/\ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=—(180°-45°)=67.5°,

2

/.ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,:.NAED=NCED,故①正確；

VZAHB^-(180°-45°)=67.5°,NOHE=NAHB(對(duì)頂角相等)，

2

：.ZOHE=ZAED,：.OE=OH.

'：ZDOH=90Q-67.50=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,：.ZDOH=ZODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正確；

'：ZEBH=90°-67.5°=22.5°,：.NEBH=NOHD.

ZEBH=NOHD

在△8EH和△”￡)下中，"?<BE=DH,：.^BEH^/\HDF(ASA),/.BH=HF,

NAEB=ZHDF

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=8E、DF=EH=CE,CF=CD-DF,:.BC-CF=(CD+HE)-(CD-

HE)=2HE,所以④正確；

'：AB=AH,ZB4E=45°，六△AB”不是等邊三角形，.,.即ABWHF,故⑤錯(cuò)

誤；

綜上所述：結(jié)論正確的是①②③④.

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角

形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

13.3或6

【詳解】

???△ABE是等腰直角三角形，

BE=AB=6cm；

②NEB'C=90°時(shí)，如圖2,

由翻折的性質(zhì)NAB，E=NB=90",

二A、B;C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=7AB2+BC2=A/62+82=l0cm,

B，C=10-6=4cm,

設(shè)BE=B'E=x,則EC=8-x,

在RtABZEC中,B，E2+B'C2=EC2,

EPx2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，BE的長(zhǎng)為3或6cm.

故答案為3或6.

14.⑴⑵⑷

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出⑴正確；

由ASA證明4AEF絲△DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

出CF=；EM=EF,由等腰三角形的性質(zhì)得出NFEC=NECF,得出⑵正確；

證出S&EFC=SACFM,由MOBE,得出SABEC<2SAEFC,得出⑶錯(cuò)誤；

由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關(guān)系得出⑷正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】

⑴是AD的中點(diǎn)，

，AF=FD,

:在OABCD中，AD=2AB,

；.AF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,

，NDFC=NFCB,ZBCD+ZD=180°,

...NDCF=/BCF,

1

AZDCF=—ZBCD,

2

...NDCF+LND=90°,故⑴正確；

2

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AB〃CD,

AZA=ZMDF,

:F為AD中點(diǎn)，

；.AF=FD,

在4AEF和△DMF中，

-ZA=AFDM

<AF=DF,

ZAFE=NDFM

.?.△AEF絲△DMF(ASA),

；.EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE1AB,

.,.ZAEC=90",

AZAEC=ZECD=90",

：FM=EF,

1

.".CF=—EM=EF,

2

.\ZFEC=ZECF,

ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故⑵正確;

(3)VEF=FM,

SAEFC=SACFM，

VMC>BE,

*'.SABEC<2SAEFC,故⑶錯(cuò)誤；

(4)VZB=80",

/.ZBCE=90o-80°=10°,

VAB/7CD,

AZBCD=180°-80°=100°,

1

ZBCF=-ZBCD=50",

2

ZFEC=ZECF=50°-10°=40°,

AZAEF=90o-40°=50°,故⑷正確.

故答案為：⑴⑵⑷.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性

質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明

△AEF絲△DMF是解題關(guān)鍵.

15.①②③④

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABGgZSAEC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)MAC、8G相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得

ZACE=ZAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NCNG=NCAG=90。，于是可判斷②；

過點(diǎn)E作EP±HA的延長(zhǎng)線于P,過點(diǎn)G作GQLAM于Q,如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判

斷④；利用AAS即可證明△ABH絲ZiEAP,可得EP=AH,同理可證GQ=AH,從而得到EP

=GQ,再利用AAS可證明名△GQM,可得EM=GM,從而可判斷③，于是可得答

案.

【詳解】

解：SABDEACFG41，AB=AE,AC=AG,ZBAE^ZCAG=90°,

：.NBAE+NBAC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=/BAG,

:.△ABGmAAEC(SAS),

：.BG=CE,故①正確；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)N,AC、8G相交于點(diǎn)K,如圖1,

圖1

/^ABG^/XAEC,

：.NACE=ZAGB,

'：NAKG=NNKC,

：.ZCNG=ZCAG=90°,

：.BG±CE,故②正確；

過點(diǎn)￡作EPLHA的延長(zhǎng)線于P,過點(diǎn)G作GQJ_AM于Q,如圖2,

圖2

"：AH±BC,

：.NABU+N8AH=90°,

'：ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=9O,>,

；.NABH=NEAP,即/E4/W=NA8C,故④正確;

VZAHB=ZP=9OQ,AB=AE,

公AEAPCAAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

;在AEPM和△GQM中，

2P=NMQG=90。

<NEMP=ZGMQ,

EP=GQ

：./\EPM^/\GQM(A4S),

：.EM=GM,

...AM是的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

16.15.5

【分析】

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得=再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性

質(zhì)可得NB=NBDE，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得8E=OE，從而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出￡>/=Ab=CF=5,然后根據(jù)三角形中位線定理可得

EE=LBC=4.5,最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得.

2

【詳解】

由折疊的性質(zhì)得：AE=DE,NEAD=NEDA

AD是BC邊上的高，即

ZB+ZEAD=90°,ZBDE+ZEDA=90°

:.NB=NBDE

；.BE=DE

:.DE=AE=BE^-AB=-xn-6

22

同理可得：DF=AF=CF=-AC=-xi0=5

22

又AE=BE,AF=CF

，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)

EF是ABC的中位線

：.EF=-BC=-x9=4.5

22

則的周長(zhǎng)為。石+。尸+郎=6+5+4.5=15.5

故答案為：15.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.

174-a2百

23

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長(zhǎng)，作輔助

線，構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn)：當(dāng)GE_LBC時(shí)，AG最小，即4

最小，可計(jì)算。的值，從而得結(jié)論.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形，

.\ZB=90°,

VZACB=30°,BO25

.\AB=2,AC=4,

VAG=?,

CG—4—4,

如圖1,過G作MHJLBC于H,交AD于M,

圖1

RtACGH中，NACB=30°,

則點(diǎn)G到BC邊的距離為二0，

2

VHM1BC,AD〃BC,

AHM1AD,

ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

四邊形ABHM是矩形，

；.HM=AB=2,

-4-aa

，GM=2-GH=2-----------=一,

22

：.S^DG=-AD-MG=-x2j3x-=^-

2222

當(dāng)。最小時(shí)，^ADG的面積最小，

如圖2,當(dāng)GE_LBC時(shí),AG最小，即a最小,

圖2

?；FG是AE的垂直平分線,

；.AG=EG,

4-a

2

.4

??Cl-9

3

??.△ADG的面積的最小值為走x4=2叵

233

故答案為：與

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時(shí)點(diǎn)G的位置是解答此題的關(guān)鍵.

18.5

【分析】

過點(diǎn)B作BDJJ2,交直線匕于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE_Lx軸，交X軸于點(diǎn)E.則

OB=VOE2+BE2.由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A=BC，又由平行四邊形的性

質(zhì)可推得NOAF=NBCD,則可證明△OA碎△BCD,所以O(shè)E的長(zhǎng)固定不變，當(dāng)BE最小時(shí),

OB取得最小值，從而可求.

【詳解】

解：過點(diǎn)B作BDJJ2,交直線x=4于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BELX軸，交X軸于點(diǎn)E,直線/i與

OC交于點(diǎn)M,與X軸交于點(diǎn)F,直線/2與AB交于點(diǎn)N.

???四邊形OABC是平行四邊形，

ZOAB=ZBCO,OCIIAB,OA=BC,

???直線/1與直線/2均垂直于X軸，

/.AMIICN,

四邊形ANCM是平行四邊形，

ZMAN=NNCM,

/.ZOAF=ZBCD,

???ZOFA=ZBDC=90°,

ZFOA=ZDBC,

在^OAF和4BCD中，

VFOA=NDBC

<OA=BC,

ZOAF=NBCD

△OAF^△BCD(ASA),

BD=OF=1,

OE=4+1=5,

■-0^yloE2+BE2■

由于OE的長(zhǎng)不變，所以當(dāng)BE最小時(shí)(即B點(diǎn)在x軸上)，OB取得最小值，最小值為

0B=0E=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定

理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

19.2￡

【分析】

根據(jù)是RAA5E斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出的長(zhǎng)；根據(jù)已知條件推導(dǎo)出DME是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,進(jìn)一步計(jì)算即

可得解.

【詳解】

解：VAD1BC,M為A8邊的中點(diǎn)，AB=4

...在Rt