高中專題復習及考試要求 第十一章 數(shù)學建模與數(shù)學探究（自主閱讀） 第2節(jié) 過程評價與案例賞析

第2節(jié)過程評價與案例賞析一測量學校內(nèi)、外建筑物的高度項目的過程性評價[目的]給出過程性評價，體現(xiàn)如何讓學生在交流過程中展現(xiàn)個性、學會交流、歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題、積累經(jīng)驗、提升素養(yǎng).[評價過程]在每一個學生都完成“測量報告”后，安排交流講評活動.安排講評的報告應當有所側(cè)重.例如，測量結(jié)果準確，測量過程清晰，測量方法有創(chuàng)意，誤差處理得當，報告書寫認真等；或誤差明顯而學生自己沒有察覺，測量過程中構(gòu)建的模型有待商榷等.事實表明，這種形式的交流講評，往往是數(shù)學建模過程中學生收獲最大的環(huán)節(jié).附件：某個小組的研究報告的展示片段摘錄.兩次測角法示意圖鏡面反射法示意圖實際測量數(shù)據(jù)和計算結(jié)果，測量誤差簡要分析.(1)兩次測角法實際測量數(shù)據(jù)：

第一次第二次仰角67°52°后退距離為25m，人的“眼高”為1.5m，計算可得理想大廈的高度約為71.5m，結(jié)果與期望值(70m～80m)相差不大.誤差的原因是鉛筆在紙板上畫出度數(shù)時不夠精確.減小誤差的方法是幾個人分別測量高度及仰角，再求平均值，誤差就能更小.(2)鏡面反射法實際測量數(shù)據(jù)：

第一次第二次人與鏡子的距離3.84m3.91m鏡子的相對距離10m，人的“眼高”為1.52m.計算可得理想大廈的高度約為217m，結(jié)果與期望值相差較大.產(chǎn)生誤差有以下幾點原因：鏡面放置不能保持水平；兩次放鏡子的相對距離太短，容易造成誤差；人眼看鏡內(nèi)物像時，兩次不一定都看準鏡面上的同一個點；人體不一定在兩次測量時保證高度不變.綜上所述，要做到?jīng)]有誤差很難，但可以通過某些方法使誤差更小，我們準備用更多的測量方法找出理想的結(jié)果.對上面的測量報告，教師和同學給出評價.例如，對測量方法，教師和同學評價均為“優(yōu)”，因為對不可及的測量對象選取了兩種可行的測量方法；對測量結(jié)果，教師評價為“良”，同學評價為“中”，因為兩種方法得到的結(jié)果相差較大.對測量結(jié)果的評價，教師和同學產(chǎn)生差異的原因是，教師對測量過程的部分項目實施加分，包括對自制測量仰角的工具等因素作了誤差分析；同學則進一步分析產(chǎn)生誤差的主要原因，包括：(1)測量工具問題.兩次測角法的同學，自制量角工具比較粗糙，角度的刻度誤差較大；鏡面反射法的同學，選用的鏡子尺寸太大，造成鏡間距測量有較大誤差.(2)間距差的問題.這是一個普遍的問題.間距差a值是測量者自己選定的，因為沒有較長的卷尺測量距離，有的同學甚至選間距差a是1m.由于間距太小，兩次測量的角度差或者人與鏡的距離差太小，最終導致計算結(jié)果產(chǎn)生巨大誤差.當學生意識到了這個問題后，他們利用運動場100m跑道的自然長度作為間距差a，使得測量精度得到較大提高.(3)不少學生用自己的身高代替“眼高”，反映了學生沒有很好地理解測量過程中的“眼高”應當是測量的高度，如照片所示.在結(jié)題交流過程中，教師通過測量的現(xiàn)場照片，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，讓學生分析測量誤差產(chǎn)生的原因.學生們在活動中意識到，書本知識和實踐能力的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化是有效的學習方式.測量現(xiàn)場的照片和觀察說明：照片說明左圖：測量角的工具(量角器)太小，造成仰角的測量誤差很大.右上圖：用腕尺法測量時，腕尺應與地面垂直，手臂水平，否則就沒有相似的直角三角形.右下圖：用鏡子反射法時，要保持鏡面水平，否則入射三角形和反射三角形就不相似.測量仰角的工具好：把一個量角器放在復印機上放大4倍復印.在中心處綁上一個鉛垂，這樣測量視線和鉛垂線之間的夾角可以在圖上直接讀出，這個角是待測仰角的余角.測量工具好：用自行車來測距離，解決了皮尺長度不夠的問題.[分析]建?；顒拥脑u價要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程.對測量方法和結(jié)果的數(shù)學評價可以占總評價的60%，主要由教師作評價.評價依據(jù)是現(xiàn)場觀察和學生上交的測量報告，關(guān)注的主要評價點有：(1)測量模型是否有效；(2)計算過程是否清晰準確，測量結(jié)果是否可以接受；(3)測量工具是否合理、有效；(4)有創(chuàng)意的測量方法(可獲加分)；(5)能減少測量誤差的思考和做法(可獲加分)；(6)有數(shù)據(jù)處理的意識和做法(可獲加分)；……非數(shù)學的評價可以占總評價的40%，主要評價點有：(1)每一名成員在小組測量和計算過程中的工作狀態(tài)；(2)測量過程中解決困難的機智和辦法；(3)討論發(fā)言、成果匯報中的表現(xiàn)等.非數(shù)學的評價主要是在同學之間進行，可以要求學生給出本小組以外其他匯報小組的成績，并寫出評價的簡單理由.二黃金數(shù)的應用班級：高三(

)班指導老師：組長：組員：研究背景：黃金數(shù)不僅僅是那簡簡單單的一串數(shù)字，它在美術(shù)、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設(shè)計的作品中常常會用到黃金數(shù)的知識.我們在數(shù)學、物理、化學、生物及美學中都存在很多的最好、最優(yōu)化的問題，如何實現(xiàn)最優(yōu)化從而達到我們的要求，使得我們在各方面都能取得很好的成績.研究目的和意義：1.培養(yǎng)學生對數(shù)學的學習興趣；2.提高學習的查找、分析、集中能力；3.拓寬學生的知識面，感受古代數(shù)學家高超的證題思想和刻苦鉆研的精神；4.通過集體配合較好完成對本課題的研究，增加同學間團結(jié)合作的精神.研究分工：搜集整理資料；撰寫研究方案；寫開題報告；撰寫結(jié)題報告.研究步驟：查閱資料、實際調(diào)查、計算、總結(jié).預期成果：在這次研究性學習中，我們組成員互相合作，共同完成了這一課題研究.從中我們了解到黃金數(shù)不僅僅是那簡簡單單的一串數(shù)字，它在美術(shù)、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設(shè)計的作品中常常會用到黃金數(shù)的知識.研究結(jié)果：一、黃金數(shù)的發(fā)展“歷史”黃金數(shù)是公元前六世紀古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的.一天，畢達哥拉斯從一家鐵匠鋪路過，被鋪子中那有節(jié)奏的叮叮當當?shù)拇蜩F聲所吸引，便停下來仔細聆聽，似乎這聲音中隱匿著什么秘密.他走進作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種十分和諧的關(guān)系.回到家里，畢達哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段.怎樣分才最好呢？經(jīng)過反復比較，他最后確定1∶0.618的比例截斷最優(yōu)美.0.618在數(shù)學中叫黃金比值，又稱黃金數(shù).這是意大利著名畫家達·芬奇給它的美稱.其實數(shù)學上有許多幾何圖形蘊涵了黃金比，如五角星等.代數(shù)上也有許多黃金數(shù)的知識，其中最有名的裴波那契數(shù)列，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…，或許大家要問這里面沒有黃金數(shù)啊，其實如果用前一項比后一項，它的比值將會在0.618上下波動，如果你有興趣還可以算下去，最后你還會得到一個數(shù)，一個無限接近于黃金數(shù)的比值，不信你可以試一試.二、黃金數(shù)的廣泛應用1.藝術(shù)中的黃金數(shù)“0.618”，這個比值因具有美學價值而被古希臘美學家運用到造型藝術(shù)中，因為凡符合黃金分割律的形體總是最美的形體.在美術(shù)史上曾經(jīng)把它作為經(jīng)典法則來應用.有許多美術(shù)家運用它創(chuàng)造了不少不朽的名著.例如達·芬奇的《蒙娜麗莎》、拉斐爾筆下溫和俊秀的圣母像，都有意無意地用上了這個比值.黃金分割對攝影畫面構(gòu)圖可以說有著自然聯(lián)系.例如照相機的片窗比例：135相機就是24×36即2∶3的比例，這是很典型的.只要我們翻開影集看一看，就會發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的畫幅形式，都是近似這個比例.2.飲食、生活作息中的黃金數(shù)“黃金分割”的比值為0.618，它不僅是美學造型方面常用的一個比值，也是一個飲食參數(shù).日本人的平均壽命多年來穩(wěn)居世界首位，合理的膳食是一個主要因素.在他們的膳食中，谷物、素菜、優(yōu)質(zhì)蛋白、堿性食物所占的比例基本上達到了黃金分割的比值.醫(yī)學專家分析后還發(fā)現(xiàn)，飯吃六七成飽的人幾乎不生胃病.還有喝5杯水.人體內(nèi)的水分占體重的61.8%，不計出汗，每天失去和需要補充的水達2500毫升.其中半固體食物供給的水和人體內(nèi)部合成的水約1500毫升，大約占61.8%.其余1000毫升需要補充，才能保持水平衡.因此，每人一天要喝5杯水.一天合理的生活作息也應該符合黃金分割，24小時中，2/3時間是工作與生活，1/3時間是休息與睡眠；在動與靜的關(guān)系上，究竟是“生命在于運動”，還是“生命在于靜養(yǎng)”？從辯證觀和大量的生活實踐證明，動與靜的關(guān)系同一天休息與工作的比例一樣，動四分，靜六分，才是最佳的保健之道.掌握與運用好黃金分割，可使人體節(jié)約能耗，延緩衰老，提高生命質(zhì)量.3.植物中的黃金數(shù)植物葉子，千姿百態(tài)，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界.盡管葉子形狀隨種而異，但它在莖上的排列順序(稱為葉序)，卻是極有規(guī)律的.你從植物莖的頂端向下看，經(jīng)細心觀察，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約為137.5°.如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度數(shù).植物學家經(jīng)過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的.葉子的排布，多么精巧葉子間的137.5°中，藏有什么“密碼”呢？我們知道，一周是360°，360°－137.5°＝222.5°，137.5°∶222.5°≈0.618.瞧，這就是“密碼”！葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618.有些植物的花瓣及主干上枝條的生長，也是符合這個規(guī)律的.4.建筑中的黃金數(shù)世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割比”.遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風格各異，但在構(gòu)圖布局設(shè)計方面，都有意無意地運用了黃金分割的法則，給人以整體上的和諧與悅目之美.舉世聞名的巴特農(nóng)神廟也是這樣一個例子，神廟外部呈長方形，長228英尺，寬101英尺，有46根多立克式環(huán)列圓柱構(gòu)成柱廊.文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異.但這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618，能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；在現(xiàn)代建筑中，一些摩天建筑中使用“黃金分割點”進行處理，在這類高層建筑物的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個樓群顯得雄偉雅致.如舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔、當今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔(553.33米)，都是根據(jù)黃金分割的原則來建造的.上海的東方明珠廣播電視塔，塔身高達468米.為了美化塔身，設(shè)計師巧妙地在上面裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使筆直的塔身有了曲線變化.更妙的是，上球體所選的位置在塔身總高度5∶8的地方，即從上球體到塔頂?shù)木嚯x，同上球體到地面的距離大約是5∶8這一符合黃金分割之比的安排，使塔體挺拔秀美，具有審美效果.三、開展生活中實際調(diào)查的研究及成果經(jīng)過我們的討論，我們覺得應該自己去尋找生活中的黃金數(shù).1.下面就是我們實地測量結(jié)果的統(tǒng)計表格，從中我們發(fā)現(xiàn)其實黃金數(shù)就在我們的身邊.只要稍微留心一下便可發(fā)現(xiàn)它離我們的生活有多近！在生活中，只要我們善于觀察，善于思考，將所學的知識與生活結(jié)合起來將會感到數(shù)學的樂趣，生活中處處都應用著數(shù)學的知識.物品寬(cm)長(cm)比值教室墻體磚塊18290.621一片葉子0.91040.6428學生921500.613安中學生證6.1100.61安中校園雕像51830.614安中課桌40650.6152.在實地調(diào)查、相關(guān)問題的訪問、同學們之間互相交流討論后，我們從中獲得了不少的生活小知識.

如(1)報幕員應站在舞臺的什么地方報幕最佳？

答：根據(jù)黃金分割，應站在舞臺寬度的0.618處以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播得最好. (2)假如您打算買臺25寸的國產(chǎn)彩色電視機，要想物美價廉，最佳價位是多少？

答：如上所述，要想確定最佳價格，我們得知道同一品牌的最高價與最低價，然后根據(jù)公式：(最高價位－最低價位)×0.618＋最低價位＝最佳價位.以下是我們的調(diào)查結(jié)果名牌高檔的價格(元)低檔的價格(元)最佳的價格(元)長虹彩電135012801320創(chuàng)維彩電129511001221(3)請問在夏季，人們?yōu)槭裁锤裢饬魬俅禾斓母杏X？答：人在春季感到舒暢，那是因為這時的環(huán)境溫度正好在22至24攝氏度之間，而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現(xiàn)微妙之處：人的正常體溫37攝氏度與0.618的乘積為22.8攝氏度，人在這一環(huán)境溫度中，機體的新陳代謝、生理活動均處于最佳狀態(tài).四、問題與建設(shè)在這次研究性學習中，我