山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略-幾何分冊第21章共邊比例定理共角比例定理

第21章 共邊比例定理 共角比例定理共邊比例定理假設(shè)兩個共邊的三角形，的對應(yīng)頂點(diǎn)，所在直線與交于，那么．①張景中．幾何新方法和新體系．北京：科學(xué)出版社，2023：5．①張景中．幾何新方法和新體系．北京：科學(xué)出版社，2023：5．證法1由同底三角形的面積關(guān)系式，有，．由上述兩式相加即證得圖21-1中〔1〕、〔2〕，上述兩式相減即證得圖21-1中〔3〕、〔4〕情形．證法2不妨設(shè)與不同，那么．證法3在直線上取一點(diǎn)，使，那么，．所以，．共角比例定理假設(shè)與相等或互補(bǔ)，那么有〔或〕證明把兩個三角形拼在一起，讓的兩邊所在直線與的兩邊所在直線重合，如圖21-2所示，其中圖〔1〕是兩角相等的情形，圖〔2〕是兩角互補(bǔ)的情形，兩情形下都有共角比例定理的推廣與相等或互補(bǔ)，點(diǎn)在直線上且不同于，點(diǎn)在直線上且不同于，那么證明不妨設(shè)，，，共線如圖21-3，那么共角比例不等式如果，而且兩角之和小于，那么〔或〕．證明記，．如圖21-4，作一個頂角為的等腰，延長至，使，那么．由共角比例定理，有共角比例逆定理在和中，假設(shè)，那么與相等或互補(bǔ)．證明用反證法．假設(shè)，不相等也不互補(bǔ)，不妨設(shè)．這時有兩種情形：．假設(shè)，由共角比例不等式，得這與題給條件矛盾．假設(shè)，如圖21-5，延長至，使，延長至使．這時，，而且由共角比例不等式，得但由共邊比例定理，知，且，故上述不等式，即為這也與題給條件矛盾．從而假設(shè)，不相等也不互補(bǔ)不成立．故與相等或互補(bǔ)．下面給出應(yīng)用上述定理證明問題的例子．例1〔1999年全國高中聯(lián)賽題〕在四邊形中，對角線平分．在上取一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，延長交于．求證：．證法1如圖21-6，在中，對割線應(yīng)用梅涅勞斯定理，并注意到共邊比例定理，有．于是，證法2如圖21-6，對及點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理〔令交于點(diǎn)〕，并注意到共邊比例定理，有〔以下同證法，略〕例2〔2003年全國高中聯(lián)賽題〕過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，所作割線交圓于、兩點(diǎn)，在、之間，在弦上取一點(diǎn)，使么．求證：．證明如圖21-7，設(shè)，．在中，由正弦定理，有．過、分別作于，作于，注意到共邊比例定理，有．又，那么．于是，．故．例3〔2023年國家集訓(xùn)隊(duì)測試題〕如圖21-8，在凸五邊形中，與相交于，與相交于，與相交于，與相交于，與相交于．設(shè)、、、、分別為與、與、與、與、與的交點(diǎn)．求證：．證明由共邊比例定理，有．其他的線段比例用同樣的方法〔共邊比例定理〕轉(zhuǎn)化，即只需證明①由于．用同樣方法轉(zhuǎn)化面積比，并消去上下相同的線段．因而只需證明有或． ②利用正弦定理，②式等價于：． ③而③式顯然成立，故結(jié)論獲證．例4〔2023年北方數(shù)學(xué)邀請賽題〕是的內(nèi)切圓，、、分別為、、上的切點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)．求證：是的中點(diǎn)．證明如圖21-9，聯(lián)結(jié)，，由、、、及、、、分別四點(diǎn)共圓有，．由共邊比例定理，有，及．于是，．故是的中點(diǎn)．例5〔2023年國家隊(duì)選拔賽題〕在銳角中，，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，使得．設(shè)、、的外心分別是、、．證明：直線平分線段．證明如圖21-10，聯(lián)結(jié)、、、、，設(shè)直線與線段交于點(diǎn)．由共邊比例定理，有．又，，即．于是．故直線平分線段．例6在完全四邊形中，假設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，直線分別交，于，．那么，，．證明如圖21-11，由共邊比例定理，有．．．注：〔1〕對于等的證明，也可由．〔2〕上述〔1〕的證明是對凸四邊形而言的，對下述的凹四邊形，折四邊形，按上述表達(dá)那么證得了上圖中的，．〔3〕上述證明是由出發(fā)，也可從下述等式出發(fā)：，，．例7〔梅涅勞斯定理〕設(shè)，，分別為的三邊、、所在直線上的點(diǎn)，假設(shè)、、三點(diǎn)共線，那么．證法1如圖21-13，聯(lián)結(jié)，．由共邊比例定理，有，，．上述三式相乘即證得結(jié)論．證法2如圖21-13．在直線上任取不重合兩點(diǎn)、，由共邊比例定理，有，即證．例8〔塞瓦定理〕在的三邊、、所在直線上取點(diǎn)，和，那么，，三直線共點(diǎn)的充要條件．證明必要性．如圖21-14．由共邊比例定理，有．充分性．假設(shè)有，如圖21-15，設(shè)和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，要證明的是和重合，也就是有．由共邊比例定理，有，即證．例9〔牛頓線定理〕完全四邊形的三條對角線的中點(diǎn)共線．證法1如圖21-16，在完全四邊形中，、、分別為對角線，，的中點(diǎn)．設(shè)直線交于，下證與重合即可，即證為的中點(diǎn)即可．由共邊比例定理有即證注：〔*〕．〔**〕．證法2如圖21-17，同證法1，證為的中點(diǎn)即可．過，，，分別作直線的平行線交于點(diǎn)，，，．由共角比例定理及平行線的性質(zhì)，有，，，．注意到為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，知，．以上四式相乘并化簡得，即．亦即，亦即．于是，．從而．又，故為的中點(diǎn)，由此即證得結(jié)論．證法3〔張景中證法〕．即知，故直線過的中點(diǎn)．例10圓弦的中點(diǎn)是，延長的兩端使，過，分別向圓作割線，，聯(lián)結(jié)，分別交于，，那么，如圖21-18所示．證明注意到共角比例定理，由，有． ①設(shè)，，，，那么，，，，，，，．于是①改寫為．化簡，整理得．②在②式中，〔因〕．故．例11圓弦中點(diǎn)為，延長的兩端，使得，過，分別向圓作割線，切線，聯(lián)結(jié)，分別交于，，那么，如圖21-19所示．證明注意到共角比例定理，由，，有．eq\o\ac(○,*)設(shè)，，．那么，，，．于是eq\o\ac(○,*)改寫成．化簡，整理得．故．練習(xí)題二十一1．〔帕斯卡定理〕設(shè)內(nèi)接于圓〔與頂點(diǎn)次序無關(guān)，即無需為凸六邊形〕，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．那么、、三點(diǎn)共線．2．〔帕普斯定理〕，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線．直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，那么，，三點(diǎn)在一直線上．3．〔笛薩格定理〕直線，，交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，那么，，三點(diǎn)共線．4．〔《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題1836號〕是外一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交、于、，交的延長線于點(diǎn)．求證：．5．〔《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題1816號〕設(shè)是內(nèi)任一點(diǎn)，、、分別交、、于、、．、、分別交、、于、