新教材2024版高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第一冊

2．3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2．3.2兩點(diǎn)間的距離公式A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)為頂點(diǎn)的三角形是 ()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因?yàn)閨AB|＝eq\r(17)，|AC|＝eq\r(17)，|BC|＝3eq\r(2)，所以此三角形為等腰三角形．2．已知直線l1：Ax＋3y＋C＝0與l2：2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交點(diǎn)在y軸上，則C的值為 ()A．4 B．－4C．4或－4 D．與A的取值有關(guān)【答案】B【解析】因?yàn)閮蓷l直線的交點(diǎn)在y軸上，且直線2x－3y＋4＝0與y軸的交點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，所以點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))在直線Ax＋3y＋C＝0上，則A×0＋3×eq\f(4,3)＋C＝0，解得C＝－4.3．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，－1)，則|AB|＝ ()A．eq\r(5) B．2eq\r(5) C．3 D．eq\f(\r(5),5)【答案】B【解析】設(shè)A(x，0)，B(0，y)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)是P(2，－1)，所以eq\f(x,2)＝2，eq\f(y,2)＝－1.所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2).所以|AB|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).4．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，則△ABC的周長是 ()A．2eq\r(3) B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)【答案】C【解析】|AB|＝eq\r((2＋1)2＋32)＝3eq\r(2)，|BC|＝eq\r((2＋1)2＋0)＝3，|AC|＝eq\r((2－2)2＋32)＝3，則△ABC的周長為6＋3eq\r(2).5．過兩條直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是 ()A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0【答案】B【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－1＝0，,x＋2y－7＝0，))得交點(diǎn)(－1，4).因?yàn)樗笾本€與3x＋y－1＝0垂直，所以所求直線的斜率k＝eq\f(1,3)，所以y－4＝eq\f(1,3)(x＋1)，即x－3y＋13＝0.6．過點(diǎn)A(4，a)和B(5，b)的直線和直線y＝x＋m平行，則|AB|＝ ()A．1 B．eq\r(2) C．eq\r(3) D．2【答案】B【解析】kAB＝eq\f(b－a,5－4)＝b－a＝1，所以|AB|＝eq\r((5－4)2＋(b－a)2)＝eq\r(2).7．(多選)兩條直線(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0與x軸相交且能構(gòu)成三角形，則m不能取到的值有 ()A．－3 B．－2 C．－1 D．0【答案】ABD【解析】由題知，三條直線相交于同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)m＝0，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；直線(m＋2)x－y＋m＝0，整理得m(x＋1)＋(2x－y)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,2x－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))即直線(m＋2)x－y＋m＝0經(jīng)過定點(diǎn)(－1，－2)，當(dāng)直線(m＋2)x－y＋m＝0的斜率k＝m＋2＝0，即m＝－2時(shí)，此時(shí)直線y＝－2，x＋y＝0與x軸不能構(gòu)成三角形；當(dāng)直線(m＋2)x－y＋m＝0與直線x＋y＝0平行時(shí)，即m＝－3時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形．綜上，兩直線(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0與x軸相交不能構(gòu)成三角形的m的取值為0，－2或－3.8．(2022年三湘名校期中)過兩條直線l1：x＋y－2＝0與l2：3x－y－4＝0的交點(diǎn)，且斜率為－2的直線l的方程為________．【答案】4x＋2y－7＝0【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，))所以直線l的方程為y－eq\f(1,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即4x＋2y－7＝0.9．若直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點(diǎn)位于第四象限，則a的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，))即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)，\f(a－2,7))).又因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0，))解得－eq\f(3,2)<a<2.10．分別求經(jīng)過兩條直線2x＋y－3＝0和x－y＝0的交點(diǎn)，且符合下列條件的直線方程．(1)平行于直線l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直線l2：3x－2y＋4＝0.解：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，,x－y＝0，))得交點(diǎn)P(1，1).(1)若直線與l1平行，因?yàn)閗1＝2，所以斜率k＝2，所以所求直線為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)若直線與l2垂直，因?yàn)閗2＝eq\f(3,2)，所以斜率k＝－eq\f(1,k2)＝－eq\f(2,3)，所以y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.B級(jí)——能力提升練11．已知直線2x＋my－1＝0與直線3x－2y＋n＝0垂直，垂足為(2，p)，則p－m－n的值為 ()A．－6 B．6 C．4 D．10【答案】C【解析】因?yàn)橹本€2x＋my－1＝0與直線3x－2y＋n＝0垂直，所以2×3＋(－2)m＝0，解得m＝3.由垂足在兩條直線上可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋3p－1＝0，,6－2p＋n＝0，))解得p＝－1，n＝－8，所以p－m－n＝4.12．(多選)(2022年唐縣開學(xué))已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3，1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，則直線l的方程為 ()A．x＝2 B．x＝3C．y＝1 D．y＝2【答案】BC【解析】若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別為A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段AB的長|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意；若直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k(x－3)＋1，,x＋y＋1＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，－\f(4k－1,k＋1)))，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k(x－3)＋1，,x＋y＋6＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，－\f(9k－1,k＋1)))，由|AB|＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k－1,k＋1)＋\f(9k－1,k＋1)))2＝52，解得k＝0，即所求的直線方程為y＝1.綜上可知，所求直線l的方程為x＝3或y＝1.故選BC.13．已知直線l：y＝－2x＋6和點(diǎn)A(1，－1)，過點(diǎn)A作直線l1與直線l相交于點(diǎn)B，且|AB|＝5，則直線l1的方程為__________．【答案】x＝1或3x＋4y＋1＝0【解析】由于點(diǎn)B在l上，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，－2x0＋6).由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，化簡得x02－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.當(dāng)x0＝1時(shí)，AB的方程為x＝1；當(dāng)x0＝5時(shí)，AB的方程為3x＋4y＋1＝0.綜上，直線l1的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.14．已知直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0，則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________；過直線l1與l2的交點(diǎn)且與直線x－y－1＝0平行的直線方程為____________．【答案】(2，3)x－y＋1＝0【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3).∵所求直線與直線x－y－1＝0平行，則所求直線的斜率為1，由點(diǎn)斜式方程可得y－3＝1×(x－2)，整理得x－y＋1＝0，∴直線方程為x－y＋1＝0.15．已知正三角形ABC的邊長為a，在平面上求一點(diǎn)P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．解：以BC所在直線為x軸，以線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)檎切蜛BC的邊長為a，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a)).設(shè)P(x，y)，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a