第5章 克里格法課件

第五章克里金法第5章克里格法提綱克里金法概述線性克里金法簡(jiǎn)單克里金普通克里金泛克里金法非線性克里金法

對(duì)數(shù)正態(tài)克里金法指示克里金法析取克里金法協(xié)同克里金法第5章克里格法一、克里金法概述1、克里金法概念及種類概念：又稱為空間局部估計(jì)或空間局部插值法,克里金法是建立在變異函數(shù)理論及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量的取值進(jìn)行線性無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法。主要類型：簡(jiǎn)單克里金法

普通克里金法OrdinaryKriging

泛克里金法UniversalKriging

對(duì)數(shù)正態(tài)克里金法LogisticNormalKriging指示克里金法IndicatorKriging概率克里金ProbabilityKriging析取克里金法DisjuctiveKriging協(xié)同克里金法Co-Kriging第5章克里格法2、克里金估計(jì)量設(shè)x為研究區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)待估點(diǎn)的估計(jì)值克里金估計(jì)量權(quán)重系數(shù)待估點(diǎn)影響范圍內(nèi)的有效樣本值（1）無(wú)偏估計(jì)（2）最優(yōu)估計(jì)顯然，估計(jì)的好壞取決于權(quán)重系數(shù)λi第5章克里格法3、克里金法估值過(guò)程（1）數(shù)據(jù)檢查（2）模型擬合（3）模型診斷（4）模型比較第5章克里格法當(dāng)區(qū)域化變量Z(x)的E[Z(x)]=m已知，則稱為簡(jiǎn)單克里金法若Z(x)的E[Z(x)]未知，則稱為普通克里金法二、線性克里金法第5章克里格法1、簡(jiǎn)單克里金法設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為常數(shù)m，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)γ(h)存在且平穩(wěn)?，F(xiàn)要估計(jì)中心點(diǎn)在x0的待估塊段V的均值ZV(x)，ZV(x)表達(dá)式為由于E[Z(x)]=m已知令Y(x)=Z(x)-m則E[Y(x)]=E[Z(x)-m]=E[Z(x)]-m=0待估塊段新待估值第5章克里格法1、簡(jiǎn)單克里金法設(shè)在待估塊段V附近有n個(gè)樣點(diǎn)xi(i=1,2,…n),其觀測(cè)值為Z(xi)(i=1,2,…n)，則觀測(cè)值新變量為：Y(xi)=Z(xi)-mY(V)的估計(jì)值Yv*是Y(xi)(i=1,2,…n)的線性組合，則目標(biāo)：找出一組權(quán)重系數(shù)，使得Yv*成為Y(V)

的線性、無(wú)偏、最優(yōu)估計(jì)量則估計(jì)Z(V)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為估計(jì)Y(V)的問(wèn)題第5章克里格法1、簡(jiǎn)單克里金法在滿足以下兩個(gè)條件時(shí)，Yv*是Y(V)的線性、無(wú)偏、最優(yōu)估計(jì)量。（1）無(wú)偏性

由于所以

則Yv*不需要任何條件即是Y(V)的無(wú)偏估計(jì)量。（2）最優(yōu)性

在滿足無(wú)偏條件下，可推導(dǎo)估計(jì)方差公式為：第5章克里格法1、簡(jiǎn)單克里金法為使估計(jì)方差最小，需對(duì)上式求λi的偏導(dǎo)數(shù)并令其為0整理得簡(jiǎn)單克里金方程組：用矩陣表示為：將簡(jiǎn)單克里金方程組表達(dá)式帶入估計(jì)方差表達(dá)式得簡(jiǎn)單克里金估計(jì)方差表達(dá)式：第5章克里格法1、簡(jiǎn)單克里金法從簡(jiǎn)單克里金方程組的n個(gè)方程中便可求得n個(gè)權(quán)重系數(shù)λi，則YV(x)的簡(jiǎn)單克里金估計(jì)量為：簡(jiǎn)單克里金法的估計(jì)精度在很大程度上依賴于m值的準(zhǔn)確度，但是通常情況下很難正確估計(jì)m值，從而導(dǎo)致簡(jiǎn)單克里金估計(jì)精度降低。第5章克里格法簡(jiǎn)單克里金法計(jì)算示例：設(shè)某一區(qū)域氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，所有采樣數(shù)據(jù)的均值為16.08度，并將均值作為此區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望值，將所有采樣數(shù)據(jù)剔除數(shù)學(xué)期望值后擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用簡(jiǎn)單克里金方法根據(jù)五個(gè)已知點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)來(lái)估算0點(diǎn)處的氣溫值1、簡(jiǎn)單克里金法第5章克里格法2、普通克里金法設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，為未知常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)γ(h)存在且平穩(wěn)?，F(xiàn)要估計(jì)中心點(diǎn)在x0的待估塊段V的均值，即設(shè)待估塊段V附近有n個(gè)樣點(diǎn)xi(i=1,2,…,n),其觀測(cè)值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，待估塊段V的真值是估計(jì)鄰域內(nèi)n個(gè)信息值的線性組合，即現(xiàn)要求出權(quán)重系數(shù)λi(i=1,2,…,n)，使Z*V(x)為ZV(x)的無(wú)偏估計(jì)量，且估計(jì)方差最小。第5章克里格法2、普通克里金法（1）無(wú)偏性條件

由于

若要滿足無(wú)偏性條件，需

，則無(wú)偏性條件為：

即在權(quán)系數(shù)之和為1的條件下估計(jì)量是無(wú)偏的。（2）最優(yōu)性條件

即估計(jì)方差最小條件，在滿足無(wú)偏性條件下，有如下估計(jì)方差公式

要求出在滿足無(wú)偏性條件

下使得估計(jì)方差最小的權(quán)系數(shù)λi(i=1,2,…,n)，

這是個(gè)求條件極值問(wèn)題。第5章克里格法2、普通克里金法根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。求出函數(shù)F對(duì)n個(gè)權(quán)系數(shù)λi的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，和無(wú)偏性條件聯(lián)立建立方程組。整理得普通克里金方程組第5章克里格法2、普通克里金法將解出的λi(i=1,2,…,n)帶入估計(jì)量公式得到普通克里金估計(jì)量：從普通克里金方程組可得：將此式帶入估計(jì)方差公式得普通克里金估計(jì)方差，記為

：普通克里金方程組和普通克里金估計(jì)方差也可用變異函數(shù)γ(h)表示。在Z(x)滿足二階平穩(wěn)條件時(shí)，可采用協(xié)方差或變異函數(shù)表達(dá)的普通克里金方程組及克里金估計(jì)方差計(jì)算式進(jìn)行求解計(jì)算；但在本證假設(shè)條件下，則只可采用變異函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解計(jì)算。第5章克里格法2、普通克里金法為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便和便于計(jì)算，普通克里金方程組和普通克里金估計(jì)方差均可用矩陣形式表示。協(xié)方差函數(shù)表達(dá)的普通克里金方程組展開(kāi)得引入矩陣或普通克里金方程組用矩陣形式表達(dá)為：

或權(quán)重系數(shù)

或普通克里金估計(jì)方差用矩陣表達(dá)為：

或第5章克里格法2、普通克里金法普通克里金計(jì)算示例：設(shè)某一區(qū)域氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。數(shù)據(jù)如下，點(diǎn)的空間分布如圖所示?，F(xiàn)用普通克里金方法根據(jù)已知五個(gè)點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)估算0點(diǎn)處的氣溫值。第5章克里格法3、泛克里金法普通克里金法要求區(qū)域化變量Z(x)是二階平穩(wěn)或本征的，至少是準(zhǔn)二階平穩(wěn)或準(zhǔn)本征的。在此條件下，至少在估計(jì)鄰域內(nèi)有E[Z(x)]=m（常數(shù)）。然而實(shí)際中，許多區(qū)域化變量Z(x)在估計(jì)鄰域內(nèi)是非平穩(wěn)的，即E[Z(x)]=m(x)，m(x)稱為漂移，這時(shí)就不能用普通克里金方法進(jìn)行估計(jì)了，而是要采用泛克里金法進(jìn)行估計(jì)。所謂泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(h)或變異函數(shù)γ(h)為已知的條件下，一種考慮到有漂移的無(wú)偏線性估計(jì)量的地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，這種方法屬于線性非平穩(wěn)地統(tǒng)計(jì)學(xué)范疇。第5章克里格法（1）漂移和漲落漂移：非平穩(wěn)區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)期望，在任一點(diǎn)x上的漂移就是該點(diǎn)上區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)期望。漂移經(jīng)常用鄰域模型來(lái)研究?？杀磉_(dá)為：在給定的以點(diǎn)x為中心的鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，其漂移m(x)可用如下函數(shù)表示。式中，fl(x)為一已知函數(shù)；al為未知系數(shù)m(x)通常采用多項(xiàng)式形式，在二維條件下，漂移可看成坐標(biāo)x,y的函數(shù)。漲落：對(duì)于有漂移的區(qū)域化變量Z(x)，假設(shè)可分解為漂移和漲落兩部分，式中，m(x)=E[Z(x)]為點(diǎn)x處的漂移，R(x)稱為漲落。第5章克里格法（2）非平穩(wěn)區(qū)域化變量的協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)1）基本假設(shè)假設(shè)Z(x)的增量[Z(x)－Z(y)]具有非平穩(wěn)的數(shù)學(xué)期望[m(x)－m(y)]和非平穩(wěn)的方差函數(shù)，即假設(shè)下式存在：2）協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)當(dāng)Z(x)=m(x)+R(x)時(shí)，Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(x,y)為：Z(x)的變異函數(shù)γ(x,y)為：第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計(jì)設(shè)Z(x)為一非平穩(wěn)區(qū)域化變量，其數(shù)學(xué)期望為m(x)，協(xié)方差函數(shù)為C(x,y)且已知，則設(shè)Z(x)的漂移m(x)可表示為如下k+1個(gè)單項(xiàng)式fl(x)(l=0,1,2,…,k)的線性組合。已知n個(gè)樣品點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)，其觀測(cè)值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，現(xiàn)要用這些樣品點(diǎn)估計(jì)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估計(jì)量為：為使Z*(x)為Z(x)的無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)量，需在以下兩個(gè)條件下求解權(quán)重系數(shù)λi(i=1,2,…,n)。第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計(jì)1）無(wú)偏性條件若要滿足無(wú)偏性條件，需則即對(duì)任一組系數(shù)a0，a1,…,ak等式均成立，需成立。這k+1個(gè)子式稱為無(wú)偏性條件。第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計(jì)2）最優(yōu)性條件在滿足無(wú)偏性條件下，用Z*(x)估計(jì)Z(x)的泛克里金估計(jì)方差為：將無(wú)偏性條件帶入得要求出在滿足無(wú)偏性的條件下使得估計(jì)方差最小的權(quán)系數(shù)λi(i=1,2,…,n)，需根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計(jì)求出函數(shù)F對(duì)n個(gè)權(quán)系數(shù)λi的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，和無(wú)偏性條件聯(lián)立建立如下方程組。整理得估計(jì)Z(x)的泛克里金方程組：泛克里金方程組可用矩陣表示為：其中第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計(jì)從泛克里金方程組可得以下兩等式：將等式帶入估計(jì)方差公式可得泛克里金方差，記為：用變異函數(shù)γ(h)表示如下：

第5章克里格法（4）泛克里金法計(jì)算示例設(shè)某一區(qū)域氣溫是非平穩(wěn)的區(qū)域化變量，在南北方向（空間坐標(biāo)的y方向）上存在線性漂移，即

。若已知其漲落滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，并且擬合的協(xié)方差函數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用表5?1所示數(shù)據(jù)，利用泛克里金法根據(jù)已知五個(gè)點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)來(lái)估算0點(diǎn)處的氣溫值。第5章克里格法三、非線性克里金法1、對(duì)數(shù)正態(tài)克里金法如果區(qū)域化變量經(jīng)對(duì)數(shù)變換后是正態(tài)分布或近正態(tài)分布，則對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行精確估計(jì)的地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法稱為對(duì)數(shù)正態(tài)克立格法。設(shè)區(qū)域化變量Z(x)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在待估點(diǎn)周圍有n個(gè)樣點(diǎn)xi(i=1,2,…,n),其觀測(cè)值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，區(qū)域化變量經(jīng)對(duì)數(shù)變換后新變量為：Y(x)=lnZ(x)，Y(x)為正態(tài)分布。假定Y(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)γ(h)存在且平穩(wěn)?；趯?duì)數(shù)變換后的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)Y(xi)(i=1,2,…,n)，計(jì)算實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)并進(jìn)行變異函數(shù)模型的擬合和選擇，然后利用簡(jiǎn)單克立格或普通克立格估計(jì)待估點(diǎn)x處的值Y*(x)。由于估計(jì)值Y(x)是對(duì)數(shù)變換后的數(shù)值，因此對(duì)估計(jì)所得Y*(x)需進(jìn)行反變換。第5章克里格法2、指示克里金法實(shí)際研究中常常會(huì)需要獲取研究區(qū)內(nèi)研究對(duì)象大于某一給定閾值的概率分布，即要獲知研究區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)x處隨機(jī)變量Z(x)的概率分布。還會(huì)碰到采樣數(shù)據(jù)中存在特異值的問(wèn)題。（特異值是指那些比全部數(shù)值的均值或中位數(shù)高的多的數(shù)值，其既非分析誤差所致，也非采樣方法等人為誤差引起，而是實(shí)際存在于所研究的總體之中）。指示克立格法就是為解決上述問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的一種非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。指示克立格法不必去掉重要而實(shí)際存在的高值數(shù)據(jù)的條件下處理各種不同現(xiàn)象，并能夠給出某點(diǎn)x處隨機(jī)變量Z(x)的概率分布。第5章克里格法2、指示克里金法設(shè)一區(qū)域化變量Z(x)，對(duì)于任意給定的閾值z(mì)，引入指示函數(shù)I(x,z)，表達(dá)式如下：指示克立格法步驟如下：（1）確定一閾值，根據(jù)指示函數(shù)將原數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為0或1；（2）利用轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)計(jì)算指示變異函數(shù)，并進(jìn)行擬合；（3）建立指示克立格方程組，計(jì)算待估點(diǎn)值。若把指示函數(shù)看做一普通區(qū)域化變量，也可直接由簡(jiǎn)單或普通克立格方法來(lái)計(jì)算待估點(diǎn)的值。若選擇多個(gè)閾值則需重復(fù)以上步驟。第5章克里格法3、析取克里金法析取克立格法：假設(shè)已知任意區(qū)域化變量（Z

,Z

）及（Z0,Z

）二維概率分布條件下，對(duì)待估點(diǎn)的值或待估點(diǎn)值超過(guò)給定閾值的概率進(jìn)行估計(jì)的一種非線性地統(tǒng)計(jì)方法。估值步驟：

設(shè)區(qū)域化變量Z(x)在待估點(diǎn)x0周圍有n個(gè)樣點(diǎn)xi(i=1,2,…,n),其觀測(cè)

值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)每個(gè)新變量Y(xi)(i=1,2,…,n)計(jì)算埃爾米特多項(xiàng)式的值。計(jì)算埃爾米特多項(xiàng)式系數(shù)，用埃爾米特多項(xiàng)式來(lái)擬合正態(tài)變形函數(shù)。計(jì)算待估點(diǎn)析取克立格值第5章克里格法四、協(xié)同克里金法1、協(xié)同區(qū)域化變量理論協(xié)同克立格法：是多元地統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基本方法，建立在協(xié)同區(qū)域化變量理論基礎(chǔ)之上，利用多個(gè)區(qū)域化變量之間的互相關(guān)性，通過(guò)建立交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)模型，用易于觀測(cè)和控制的變量對(duì)不易觀測(cè)的變量進(jìn)行局部估計(jì)。協(xié)同區(qū)域化：在統(tǒng)計(jì)意義及空間位置上均具有某種程度相關(guān)性，并且定義于同一空間域中的區(qū)域化變量。協(xié)同區(qū)域化變量可用一組K個(gè)相關(guān)的區(qū)域化變量

表示。觀測(cè)前它是K維區(qū)域化變量的向量，即一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，觀測(cè)后，協(xié)同區(qū)域化變量是一個(gè)空間點(diǎn)函數(shù)，可以把

看成是上述K維向量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。第5章克里格法1、協(xié)同區(qū)域化變量理論滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足：（1）每一個(gè)協(xié)同區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望存在且平穩(wěn)：（2）交叉協(xié)方差函數(shù)存在，且平穩(wěn)：滿足內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足：（1）每一個(gè)協(xié)同區(qū)域化變量增量的數(shù)學(xué)期望為0：（2）對(duì)于協(xié)同區(qū)域化變量，交叉變異函數(shù)存在且平穩(wěn)。即第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)（1）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)性質(zhì)1)當(dāng)k=kˊ

時(shí)，交叉協(xié)方差函數(shù)轉(zhuǎn)化為協(xié)方差函數(shù)，交叉變異函數(shù)轉(zhuǎn)化為變異函數(shù)。即2)交叉變異函數(shù)性質(zhì)交叉變異函數(shù)關(guān)于k和kˊ對(duì)稱，即交叉變異函數(shù)關(guān)于h和-h對(duì)稱，即在普通克立格法中變異函數(shù)總是大于等于0，但交叉變異函數(shù)可以有負(fù)值。3)交叉協(xié)方差函數(shù)性質(zhì)交叉協(xié)方差函數(shù)關(guān)于h和-h不對(duì)稱，即

，但

當(dāng)h≠0

時(shí)，k和kˊ順序不能隨意顛倒，即當(dāng)h=0時(shí)，交叉協(xié)方差轉(zhuǎn)化為直接協(xié)方差。第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)4）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)具有以下關(guān)系：5）同一點(diǎn)兩個(gè)變量點(diǎn)對(duì)點(diǎn)協(xié)同區(qū)域化變量的相關(guān)系數(shù)為：第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)（2）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計(jì)算公式設(shè)在點(diǎn)x和x+h處，分別測(cè)得兩個(gè)區(qū)域化變量的觀測(cè)值

Zk(x)、Zkˊ(x)、Zk(x+h)、Zkˊ(x+h)，則交叉協(xié)方差函數(shù)計(jì)算公式為:交叉變異函數(shù)計(jì)算公式為：第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)（3）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計(jì)算示例采用表5?1、圖5?1所示的氣溫和海拔高度數(shù)據(jù)，以h=0,h1,4為例，交叉協(xié)方差和交叉變異計(jì)算過(guò)程如下：第5章克里格法3、協(xié)同克立金法估值（1）協(xié)同克立金估計(jì)量第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組1)無(wú)偏性條件2)最優(yōu)性條件

第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組對(duì)F求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得協(xié)同克立格線性方程組：第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組根據(jù)協(xié)同克立格方程組，協(xié)同克立格方差為：若有多個(gè)變量，則求解

的協(xié)同克立格方程組為：協(xié)同克立格方差為：第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組要使協(xié)同克立格方程