4.2.4+隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件-【基礎(chǔ)夯實與拓展提升】高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第二冊

課時11隨機(jī)變量的數(shù)字特征新授課1.通過具體實例，理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念，掌握二項分布的方差.2.能夠用離散型隨機(jī)變量的方差解決一些實際問題.目標(biāo)一：通過具體實例，理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念，能掌握其性質(zhì).任務(wù)1：類比樣本方差，理解離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

情境：某省要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動員中選出一人參加全國運(yùn)動會(簡稱“全運(yùn)會”)，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，這兩名運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)的分布列分別如下甲的環(huán)數(shù)X18910P0.20.60.2乙的環(huán)數(shù)X28910P0.40.20.41.試根據(jù)分布列求出X1、X2的均值，由此可以決定選誰參加全運(yùn)會嗎？E(X1)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，E(X2)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，所以E(X1)=E(X2)，即從平均水平的角度，是不能決定選誰參加的.2.由(1)可知，僅從平均水平的角度考慮，是不能決定選誰參加，怎樣來衡量它們的穩(wěn)定性呢？提示：設(shè)甲、乙兩人每人都重復(fù)設(shè)計足夠多次(設(shè)為n次)，求兩組數(shù)的方差.設(shè)甲、乙兩人每人都重復(fù)設(shè)計足夠多次(設(shè)為n次)，甲所得環(huán)數(shù)可估計為乙所得環(huán)數(shù)可估計為兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為9，則甲這組數(shù)據(jù)的方差為類似地，乙這組數(shù)的方差為由于0.4<0.8，因此可以認(rèn)為甲的發(fā)揮更穩(wěn)定，從這一角度來說，應(yīng)該排甲參加全運(yùn)會.新知講解如果設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn因為X的均值為E(X)，所以能夠刻畫X相對于均值的離散程度(或波動大小)，這稱為離散型隨機(jī)變量X的方差.一般地，

稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

例1在一個不透明的紙袋里裝有5個大小質(zhì)地相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差.解：X可能取值為1，2，3，4，5.所以X的分布列為X12345P0.20.20.20.20.2由定義知，E(X)=0.2×(1+2+3+4+5)=3.D(X)=0.2×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2.求離散型隨機(jī)變量X的方差的一般步驟：(1)確定隨機(jī)變量的所有可能的取值；(2)求出隨機(jī)變量各個取值對應(yīng)的概率；(3)利用公式

求出方差.歸納總結(jié)練一練

袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n=1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標(biāo)號，求ξ的分布列、均值和方差.解：ξ可能取值為0，1，2，3，4.ξ的分布列為ξ01234P則

任務(wù)2：類比樣本方差，理解離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn設(shè)a，b都是實數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機(jī)變量，而且E(Y)=aE(X)+b.(1)D(X)，D(Y)如何表示？(2)D(Y)與D(X)之間有什么聯(lián)系？思考：(1)若Y=aX，D(Y)與D(X)有什么關(guān)系？(2)若Y=X+b，D(Y)與D(X)有什么關(guān)系？離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)：特別的(1)當(dāng)a=1，D(X+b)=D(X);(2)當(dāng)b=0，D(aX)=a2D(X);(3)當(dāng)a，b均為非零常數(shù)時，隨機(jī)變量Y=aX+b，則D(aX+b)=a2D(X).歸納總結(jié)已知隨機(jī)變量X滿足E(1-X)=5，D(1-X)=5，則下列說法正確的是()A.E(X)=-5，D(X)=5B.E(X)=-4，D(X)=-4C.E(X)=-5，D(X)=-5D.E(X)=-4，D(X)=5練一練解析：已知E(1-X)=5，D(1-X)=5，根據(jù)均值和方差的性質(zhì)可得1-E(X)=5，D(X)=5，解得E(X)=-4，D(X)=5.故選D.D

任務(wù)3：掌握兩點(diǎn)分布和二項分布的方差.例2

已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求D(X).解：因為X只能取1,0這兩個值，而且P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，其分布列如下X10Pp1-p所以E(X)=p，D(X)=(1-p)2×p+(0-p)2×(1-p)=p(1-p).歸納總結(jié)兩點(diǎn)分布與二項分布的方差XX服從兩點(diǎn)分布X～B(n，p)D(X)p(1－p)

np(1－p)例2

已知一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品數(shù).(1)求D(X)；(2)假設(shè)抽出的產(chǎn)品需要送往專門的檢測部門檢測，檢測費(fèi)用Y元與次品數(shù)X有關(guān)，且Y=10X+300，求D(Y).解：(1)因為X服從的是參數(shù)為50，0.02的二項分布，即X~B(50，0.02)，所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2)D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.歸納總結(jié)兩點(diǎn)分布與二項分布方差的計算步驟(1)判斷：判斷隨機(jī)變量服從什么分布.(2)計算：直接代入相應(yīng)的公式求解方差.練一練某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差．解：(1)用ξ表示抽得的正品數(shù)，則ξ＝0,1.ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，標(biāo)準(zhǔn)差為目標(biāo)一：通過具體實例，理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念，能掌握其性質(zhì).

任務(wù)：利用離散型隨機(jī)變量的方差解決一些實際問題有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下：其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時要求抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好).E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如