湖北省2022年高考數(shù)學(xué)考前押題（理）試卷（含解析）

掰能南方考檄學(xué)考嘴惑枇（理）被題

一、單選題

1.已知”,〃,cwR.滿足==-----<0.則。，b,c的大小關(guān)系為().

\nb\naInc

A.c>a>hB.a>c>hC.c>h>aD.h>a>c

用為AO上的一點且AM=；AD.N為AC中點,

2.在棱長為1的正四面體ABC。中,

則點A到平面8WN的距離為（）.

VioR逐「Vio

A?-----D.---■---D

5510-f

3.已知直線/過圓f+y2一6x—2y+6=0的圓心且與直線x+y+l=0垂直，則/的方程

是（）.

A.x+y-2=0B,x+y-3=0C.x-y-2=0D.x-y-3=0

4.我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣群

（gui）長損益相同（號是按照日影測定時刻的儀器屠長即為所測量影子的長度）.夏至、小

暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣,

其日影子長依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺,

這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為（)

A.().5尺B.1尺C.1.5尺D.2尺

空2nlzt1在

的圖像大致為（).

5.函數(shù)4）2,~2

1+cosX

6.如圖的程序框圖中，若輸人。，”的值分別為2,3,且輸出T的值為5,則空白框中應(yīng)

填入（）.

A.k<nB.k<nC.k—\<nD.k+\<n

7.[JABC中，點。為BC的中點，A5=3AZ，A/為AO與CE的交點，若

—>—>—y

CM=xAB-\-yAC^x.y/?），則%一）'=（）.

1-3

A.—1B.—C.-D.1

24

8.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A、3、。三個工廠工作，每個工廠至少一人,

則甲、乙兩人不在同一工廠工作的概率為（）.

12131819

A.—B.C.D.

25252525

2+i

9.復(fù)數(shù)——=()

1-Z

13.13.13.13.

A.——+—2B.——1C.—1D.—+—1

22~222~222

10.已知集合4=｛乂/-21-3<0｝,非空集合5=｛x|2—a<x<l+a｝,B^A,則實

數(shù)”的取值范圍為().

A.(9,2]B.(g,2C.(—,2)D.

11.已知〃力=。("一"')—sin/x(a>0)存在唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍().

A.M+ooB.71A(\\\1A

—,+ooC.—,+ooD.—,+00

12J2)U)12

12.已知函數(shù)/(x)=sin(0x-?)?>O)在[0,司有且僅有4個零點，有下述三個結(jié)論:

①。的取值范圍為—

②“X)在(啜

單調(diào)遞增;

An

③若2/(%,)=2/(七)=1，x尸%，則居+引的最小值為正

以上說法正確的個數(shù)為().

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

13.-展開式中的常數(shù)項為______.

I2x)

14.已知數(shù)列｛4｝的前項和為S“，〃€^滿足25“+5,川=1,S,=1,則數(shù)列｛4｝的通

項公式為.

15.某校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類”的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的得

分都在[50,100]內(nèi)，按得分分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

得到如圖所示的頻率分布直方圖，則估計這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為.

0.040

16.已知雙曲線。：q?-2T=1（。〉0力〉0）的左焦點耳（-C.O）關(guān)于直線gx+y=0的對

ab"

稱點P在雙曲線上.則雙曲線C的離心率為.

三、解答題

7T

17.在口48。的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,b,c,A=—,b2+c2=4.口相。的外接

3

圓半徑為R=1.

（1）求□ABC面積；

（2）角A的平分線A。交BC于0點，求長.

18.已知如圖1直角三角形ACB中，AC1BC,AC=6,8c=66，點。為AB的中

點，BC=3BF,將口48沿CD折起，使面ACD_L面BCD,如圖2.

（1）求證：AC1DF；

（2）求二面角C—AB—。的余弦值.

22

19.如圖，已知橢圓（;：1+方=1（。>01>0）的左、右焦點分別為石、鳥，忻瑪|=2石,

。是y軸的正半軸上一點，。工交橢圓于「，且尸耳，「巴，△尸。耳的內(nèi)切圓口/半徑

為1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線A8：y=2x+相和圓/相切，且與橢圓C交于A、B兩點,求|人理的值.

20.甲、乙兩廠均生產(chǎn)某種零件.根據(jù)長期檢測結(jié)果：甲、乙兩廠生產(chǎn)的零件質(zhì)量（單位：g）

均服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,在出廠檢測處，直接將質(zhì)量在（4—3cr,〃+3cr）之外的零件作

為廢品處理，不予出廠；其它的準(zhǔn)予出廠，并稱為正品.

（1）出廠前，從甲廠生產(chǎn)的該種零件中抽取10件進(jìn)行檢查，求至少有1片是廢品的概率;

（2）若規(guī)定該零件的“質(zhì)量誤差”計算方式為：該零件的質(zhì)量為xg,貝『'質(zhì)量誤差”|x-Xo|g.

按標(biāo)準(zhǔn)，其中“優(yōu)等”、“一級”、“合格”零件的“質(zhì)量誤差”范圍分別是[0,0.3）,[030.6）、

[0.6,1.0]（正品零件中沒有“質(zhì)量誤差”大于1.0g的零件），每件價格分別為75元、65元、

50元.現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的正品零件中隨機(jī)抽取100件，相應(yīng)的“質(zhì)量誤差''組成的樣

本數(shù)據(jù)如下表（用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率）：

質(zhì)量誤差[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,03)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7]

甲廠頻數(shù)103030510510

乙廠頻數(shù)25302551050

（i）記甲廠該種規(guī)格的2件正品零件售出的金額為X（元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

E（X）；

（ii）由上表可知，乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品零件只有“優(yōu)等”、“一級”兩種，求5件該規(guī)格

零件售出的金額不少于360元的概率.

附：若隨機(jī)變量Z?NJ,"）.則P（〃-3b<Z<〃+3b）=0.9974；0.9974'°?0.9743.

0.84=0.4096,().85=0.32768.

21.己知/'(力=2121+85以一1,“GR.

(1)若〃x)NO恒成立.求。的最大值4。;

2

(2)若g(x)=in(2%2x+l—/)+彳，取(1)中的當(dāng)a=/時，證明：

g(x)-/(x)W2-

x=Vising-cosa

22.在直角坐標(biāo)系中xOy,曲線后的參數(shù)方程為｛,為參數(shù)),

若以直角坐標(biāo)系中的原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線廠的極坐標(biāo)

方程為0cos(，為參數(shù)).

(1)求曲線E的普通方程和曲線尸的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線E與曲線尸有公共點，求。的取值范圍.

23.已知函數(shù)/(力=今尤|一,一1|,/(x)+l>0的解集為M.

(1)求M；

⑵若aeM,人e(—2,0),且心一2|<同，證明：洞+府聞〉=5+萬花.

答案

1.A

【解析】

,.,3">0，2">0，2'>0，:Anh<0,Intz<0,Inc>0,

.\0</?<L()<QV1,ol；

r\a農(nóng)r\b

3">2'>0，InZ7<0,=<,

In。In/?\nb

人/、2"/、2Vln21nx--2A[ln2-lnx--|

令〃到=力(°<尤<1)，則[(力=---------1---------丁工，

(inx)~(lnx)~

當(dāng)0<x<l時，lnx<0,—：<0,.../'(x)<0,.../(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

r\a>

*/----<-----，即/(a)</(/?),:.b<a,：.c>a>h.

InaIn。

故選：A-

2.C

【解析】

取BC中點E，連接AE交BN于點。，連接。O,

???四面體ABCD為正四面體，N,E分別為AC,BC中點，

二。為等邊三角形ABC的中心，且平面ABC,

則以N為坐標(biāo)原點可作如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中DO〃z軸，

則/ifo,--,0j,

DB,0,0,N（0,0,0）,

憐。書/

設(shè)平面BMN的法向量〃=(x,y,z)，

為.而=也尤=o

2

則《令z=3,則x=0,y=&，.?.〃=（0,指,3），

n-NM=^-x-—y+-^-z=0

183-9

又啟=(o,；,o

AN.n\f_亞

???點A到平面BMN的距離d=

"6+910

故選：C.

3.C

4.C

【解析】

將十二個節(jié)氣對應(yīng)的日影子長看作等差數(shù)列｛4｝的前十二項，按順序夏至日影子長對應(yīng)生,

處暑日影子長對應(yīng)用，霜降日影子長對應(yīng)為，

則q+g+%=3%=16.5,解得：a5=5.5；

,、[a+4J=5.5Ia=1.5

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為。，則二—”，解得：L,

1)[124+661=84[d=l

即夏至的日影子長為1.5尺.

故選：C.

5.A

【解析】

萬+2x

7171sin(-2x)lnsin2xIn—~~

當(dāng)萬時,”—x)=兀一2x_________?+2x=/(x)'

5'l+cos(-x)1+COSX

，/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，可排除5,。；

TC

sin-]

7i23/r11

當(dāng)*=一時，(、—In-,可排除C,則A正確.

4f￡=-----------2_=—^<0

(411+COS—1+—

41+2

故選：A.

6.B

7.D

【解析】

作DF//BE交CE于點、F,

Q。為3C中點，DF//BE,:.F為CE中點、，：.DF//BE且DF=；BE,

一2I

AB-3AE，,?BE—~AB，.二DF——AB-AE,又DFUBE,FM-FM,

T3T

即M為所中點，；皿=嚴(yán)

f]73f13

又。后=/1￡-4。=一回一4。，，。加=一/18--AC,即％=—，y=一一，

34444

.'.X—y=—+—=1.

-44

故選：D.

8.D

【解析】

其中甲乙在同一工廠工作的分配方案共有：/+GG。；=36種;

二甲、乙兩人不在同一工廠工作的概率p=i-六=1一郎=郎

故選：D.

【解析】

???“X)定義域為R且/(一力=a(e-x-靖)+sin7TX=-f^X),

A/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，???/(元)的唯一零點為X=0,

則只需工〉0時，/(X)無零點即可得到結(jié)論；

當(dāng)x>0時，令g(x)=sin〃x—；rx,則g'(x)=〃cos；Tx-;r=；T(cos;rx-l)WO,

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，,g(力vg(0)=0,即sin冗x〈nx,

/.-0-')—sin7rx>—e~x^—7ix,

令〃(x)=a(e"—"")一,則〃'(％)=a[ex—萬,/z"(x)=a(e*~e~X)，

?.?a〉0,則〃"(x)>。，//(0)=2a,

當(dāng)時，”(%)>〃'⑼NO,⑼=0,「.々(er-eTAsinGAW〉。,

滿足當(dāng)九>0時，〃尤)無零點；

當(dāng)0<Q時，/(%)=〃(/+6-")—^COS7TX,

(L_i>jrri

???/'(。)=2々一》<0,ff—=ae2+e2-7rcos—=ae2+e2>0,

在1°，；］上存在最小零點X。，使得了'(%)=0,

又/'(x)為連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)xe(O,x0)時，/'(力<0；

"0)=0,又%f+00時，/(x)->+00,

???/(X)在(0,+8)上必存在零點，不合題意；

7T

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為萬,+8

故選：B.

12.C.

【解析】

兀,兀,TC

當(dāng)xe[0,?]時,----<(DX-----<CD兀-----

333

v/(x)在［0,7r］上有且僅有4個零點,/.37rWCD7V—<4zr,解得：—工cov—，

3333

1013

對于①，,①正確;

33

5兀7t71SCDTT71

對于②，當(dāng)XG|0,時,----<a)x-----<

2633263

10135a)7in12兀n7V71

?：coe---------e--乃，一----<cox----<一,

33263392332

“⑺在晦

上單調(diào)遞增，②正確;

對于③，由2/(xJ=2/(w)=l知：“內(nèi))=/(々)=3,

1jr兀cj__p,兀5TC~,

令/(X)=2，則3X—1=——F2攵4或69X----=------\-2k7TykG

636

7T2k7T4712k7T7,公

/.x=—+-----或1=—+------(keZ)

2coco6ct)co

人7i2匕"7乃2km7.)

令x.=-----1-------Xj=------1-------,k\,k?wZ,

2a)cof6a)co

、

兀2k、7i7乃2k27i\5〃2(匕+e)71

.4+引一+----1----1--=-=---1---------a2(K+k2)71

2Gco6coCD3coCDco13/

\

3■|+2(占+七)

>—x71

13

\

+2③錯誤.

當(dāng)K+&2=T時,|(^l+371--,/.|x)+x2|>—,

7min313

故選：c.

21

13.——

2

【解析】

9-r119-3r

因為&尸C；”(-5)"-，=(-5丫@亍,

令上之=0,解得r=3，

2

?21

所以展開式中常數(shù)項為刀=(-2)3。；=-5.

,。,,=(-2廣

【解析】

a,

當(dāng)”22時,2S?_t+S?=1,2S?+S?+1=2S?_,+Sn,2an=-an+i,即3=-2,

又q=l,2S|+S2=3。］+%=3+%=1,。2=-2,滿足一^=一2,

六當(dāng)〃eN*時，腎=-2,.?.數(shù)列｛4｝是以1為首項，-2為公比的等比數(shù)列,

故答案為：a“=(—2)”.

15.72.5

【解析】

設(shè)所求中位數(shù)為x,貝iJ0.01xl()+0.03xl0+0.04x(x—70)=0.5,解得：x=72.5.

故答案為：72.5.

16.73+1

【解析】

1

\-0_V3X-—C

X+C32

設(shè)尸（X,〉），則《,解得：*

行”一。22

c23c之

???P在雙曲線上，1,即；?丁一7^--71,

彳一赤=4a4fc--a'

2

解得：e2=^-r=4—2>/3(舍)或￡2=4+26，e—\[3+1-

a

故答案為：V3+1.

17.(1)2(2)AD=—

42

【解析】

(1)?.?□ABC的外接圓半徑R=l,.,.a=2RsinA=J5

由余弦定理得：a2=b2+c2—2Z?ccosA=4—/?c=3?解得：be=1,

.回

A8c的面積S=—besinA=—

124

（2）角A的平分線A￡>交5c于。點，且加+。24，bc=l,

y/C—V2

不妨設(shè)人之c>0,有b+c=Eb—c=近,解得：b=G6C=------------

22

prDCn「1aJ3+1>/3—1

又Q=>/3,由—-=且DC+DB=>/3得：DC=-----，DB

ABDB22

………,…/ID2+BD2-AB2

在/\ARD中，cosNADB-----------------

2ADBD

y.八八「/人A.D~+CD~—AC~

在[r.ADC中，cosZ.ADC------------------

2ADCD

?.?ZADB+ZADC=兀,cosZADB=-cosZADC，

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2

,解得：AD2=-,-,AD=—

2ADBD2ADCD22

V65

18.(1)證明見解析；(2)

【解析】

(l)在圖2中，取CO的中點E，連AE.

在直角口/18。中，AC1BC,AC=6,BC=*，

.?.ZACZ?=90°，ZCAB=60°.

又點。為A3的中點，BC=3BF,有CD=6,BF=26，CF=46，

由DF2=CD2+CF2-2CDxCFxcos30°=12得：￡>F=273.

:.CF2=CD2+DF2，：.CDA.DF.

將口ACO沿CD折起，使面ACDJ?面BCD,

由點E為C￡>的中點，在等邊口ACD中，AE1CD,面AC。。面BCD=8,

..A￡_L面5CO,又b'u面BCD,.?.力

又DFLCD,CDQAE^E,CO,AEu平面ACO,，止，面AC。，

又ACu面ACD,.?.AC_LO/<

(2)以。為原點，分別以。C,DF,過點。且垂直于平面OBC的直線為％,>,z軸

建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則0(0,0,0),A(3,O,36),C(6,0,0),B(-3,3^,0),

在面ABC中,設(shè)其一個法向量—=（王，弘,zj，

又a=(—3,0,3石)，&=(—9,36,01

CAm=Q-3XI+3gzl=0

則《=><令4=1,則X|=G，y=3,.?.[=(6,3,1)，

CBm=0-9%+30y=0

在面A5。中，設(shè)其一個法向量:=（々,）2"2），

又&=卜,0,3@，法=(-3,36,0卜

[DAn—03X2+3-^z,-01—

貝叫—--，令％=1,貝|」/=6，zz=-l二=（6』,-1），

[DBn^O[-3x2+3yl3y2=0'-

—>f

—>—>m-nV3xV3+3x1+1x(-1)V65

cos<m,n

Fxj(6)+，+(一])-IT，

r+32+

?.?二面角。一AB-。為銳二面角，二二面角C—AB—D的余弦值為遐

13

22

19.(1)^-+2_=1(2)\AB\=3y/2^\AB\=3

【解析】

(1)設(shè)△PQ耳的內(nèi)切圓口〃切「月、。"、PQ于點E、F、G,EFi=FF1=x,

QF=QG=y(x>0,y>0),

由PF]上PF2,且PE=PG=1,有G8=/石=%，則P鳥=不一1,尸6=x+l,

由尸邛+尸馬2=百鳥2得：（》一1）2+（》+]）2=（2君『（》〉0）,解得：苫=3,

22

故2。=P耳+PF2=2X=6,即a=3,b=\Ja-c-2，

x22

故所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+-v^-=1.

94

（2）由（1）知：tan/P￡鳥=:，.?.直線夕耳方程為y=g（x+逐），

設(shè)點"（0"）,其到直線PK的距離為1，有卜2/+同=],

V5

解得：r=后或1=0（舍），即知倒,、6），故圓M的方程為/+（>—6y=],

設(shè)A（X，X），5的為），

fy=2x+m

由,?2+9,236-0得：40x~+36mx+9m~-36=0>

9;w9m2-36

則nilX,+x=----,x,x=--------

1■21019240

一司二烹〉J（36w『-4X40X（9TT?-36）=±乂，40一病

____3R______

12

\AB\=Vl+T^xl%!-x2\=-^x\j4()-m

而y=2x+/n與％2+（,一逐『=1相切，有^^2^1=],解得:

加=0或加=,

V5

故|A6|=3后或|AB|=3.

20.(1)0.0257(2)(i)詳見解析(ii)0.73728

【解析】

(1)由正態(tài)分布可知，抽取的一件零件的質(zhì)量在("—3b,4+3cr)之內(nèi)的概率為0.9974,

則這10件質(zhì)量全都在(〃一3b,4+3cr)之內(nèi)(即沒有廢品)的概率為0.9974°=0.9743;

則這10件零件中至少有1件是廢品的概率為1-0.9743=0.0257.

(2)(i)由已知數(shù)據(jù)，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，得該廠

生產(chǎn)的一件正品零件為“優(yōu)等”、"一級”、“合格”的概率分別為0.7,0.2,0.1；

則J的可能取值為150,140,130,125,115,110元，有：

P(X=150)=0.7x0.7=0.49；P(X=140)=0.7x0.2x2=0.28；

P(X=130)=0.2x0.2=0.04；P(X=125)=0.7x0.1x2=0.14；

p(X=115)=0.2x0.1x2=0.04；P(X=100)=0.1x0.1=0.01,

得到X的分布列如下：

X150140130125115100

P0.490.280.040.140.040.01

則數(shù)學(xué)期望為：

￡(%)=150x0.49+140x0.28+130x0.()4+125x0.14+115x0.04+1()0x0.01

=141(元).

(ii)設(shè)乙廠生產(chǎn)的5件該零件規(guī)格的正品零件中有〃件“優(yōu)等”品，則有5-〃件“一級”品,

由已知有75〃+65(5-〃)2360,解得：“23.5,則〃取4或5.

故所求的概率為：P=C；x0.84x0.2+0.85=0.4096+0.32768=0.73728.

21.(1)%=2兀(2)證明見解析；

【解析】

(1)V=27T2X2+COSOT-1=/(x),為偶函數(shù),

當(dāng)a=0時，恒成立,

故題意可為：。>(),xe[O,+a)),若/("NO恒成立，求。的最大值旬.

222

于'(%)=4乃2%-4zsinar,/"(x)=4^-acosax--a\cosax-,

\a7

①若0<a?2〃，則/"(x)NO恒成立,/'(x)在[0,+8)單調(diào)遞增,

又/'(0)=0,有/'(x)20,xe[0,+a>),故〃x)在[0,+8)單調(diào)遞增，

又/(0)=0,有20恒成立，此時。的最大值％=2萬.

②若a>2"，則存在最小的正數(shù)%,使1r(玉))=0成立，此時cosato=4,

a"

當(dāng)》目0,/)時，/(x)KO,尸(尤)在[0,t)單調(diào)遞減,

又/(0)=0,有r(尤)40,xe[0,^),故〃x)在[0，M)單調(diào)遞減,

又"0)=0,有/1(元)40,xw[0,』)，故〃x)20,xe[(),+oo)不恒成立，

即“無最大值.

綜合①②可知，滿足題意a的最大值4=2乃.

(2)由(1)知，/(x)=2^-2%2+cos27vx-1,證明：g(x)-/(x)<2,

21]

即證：ln(2^2x+l-^2)+-^--(2^2x2+cos2^x-l)<2,x>—,

42]]

<=>In(2^2x+1--T2)<2TI2X2+cos2/rx----+1，x>------大,

、7222/

由hu?，一l,f>0恒成立，有l(wèi)n(2〃2x+i—42)42"2工一萬2,

"2I1

即證：2萬—"2W2"2工2+cos2/rx---+1,x>------亍，

222/

2/2\/11

0