期中必刷真題03（解答易錯(cuò)60道提升練七年級(jí)下冊(cè)蘇科）-【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【蘇科版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】

期中必刷真題03(解答易錯(cuò)60道提升練，七下蘇科)

—.解答題(共60小題)

1.(2022春?泰興市期中)計(jì)算或化簡(jiǎn)：

⑴2022°+"2)2-g)T；

(2)—?JC5+X2-(-Zr3)2.

【分析】(1)先計(jì)算零次毒，乘方，負(fù)指數(shù)基運(yùn)算，再計(jì)算加減法；

(2)先計(jì)算同底數(shù)累乘除法和乘方，再合并同類(lèi)項(xiàng).

【詳解】解：(1)2022°+(-2)2-(y)-1

=1+4-2

=3；

(2)-(-Zr3)2

=x6-4x6

=-3x6.

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，零指數(shù)幕定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕定義，熟練掌握

各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.(2022春?淮安區(qū)期中)計(jì)算：

(1)?“4+(-J)3.

(2)0.252也義(-4)2022.

【分析】(1)利用同底數(shù)幕的乘法的法則，積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；

(2)利用積的乘方的法則進(jìn)行求解較簡(jiǎn)便.

【詳解】解：(1)及/+(-/)3

=<26-6(6

=0;

(2)0.252°22X(-4)2022

=(-4X0.25)2022

=(-1)2022

=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方，同底數(shù)募的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

3.(2022春?淮安區(qū)期中)若22*7=26*24，”,求〃？.

【分析】由同底數(shù)基的乘法的法則可得到2皿+7=6+4〃?，從而可求解.

【詳解】解：???22"'+7=26X24m,

?22W+7_26+4/??

2/n+7=6+4/?,

解得：加=

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)幕的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

4.(2022春?淮陰區(qū)校級(jí)期中)已知d"=2,/=4.

(1)填空：a=16,1；

—2-

(2)機(jī)+"與2〃相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘方和除法逆運(yùn)算計(jì)算即可.

mnmn

【詳解】解：⑴/"=⑺2=42=16,a-=a4-a=24-4=X

故答案為：16；A.

2

(2)???"2"=(a")2=I6>a"，+"“"x/=8,

.'.m+n^2n.

【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)幕的乘方和除法的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵熟悉運(yùn)算法則.

5.(2022春?邳州市期中)規(guī)定八*〃=3皿*3".求：

(1)0*2；

(2)如果2*(x-1)=81,求x的值.

【分析】(1)根據(jù)題意，計(jì)算有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可；

(2)根據(jù)題意利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算得出方程求解即可.

【詳解】解：(1)0*2=3°X32

=1X9

=9；

(2)V2*(x-1)=32X3'"1=3X+1,

...3*+1=81=34,

即x+l=4,

**x=3.

【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算及解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

6.(2022秋?如東縣期中)已知(2"')”=4,(*2“=°3

(1)求mn和2m-n的值；

(2)已知②2-〃2=[5,求加+〃的值.

【分析】(1)根據(jù)幕的乘方和同底數(shù)基的除法即可得出答案；

(2)根據(jù)平方差公式展開(kāi)得到2〃計(jì)〃=5,聯(lián)立方程組求出如〃的值，代入代數(shù)式即可得出答案.

【詳解】解：(洋:(2加)"=4,("")2+""=”3,

.?.2'""=4=22,

mn=2,2m-n=3；

(2)V4m2-n2=15,

(2m+n)(2m-n)=15,

2"z+〃=5,

聯(lián)立得(2mS=5,

I2m-n=3

解得M，

ln=l

m+n=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)基的除法，哥的乘方與積的乘方，掌握(a#0)是解題的關(guān)鍵.

7.(2022春?高新區(qū)期中)(1)已知0M=3,/=4,求的值：

(2)已知9"1-32”=72,求〃的值.

【分析】(1)利用暴的乘方與積的乘方，同底數(shù)第的乘法求解即可；

(2)利用基的乘方與積的乘方，同底數(shù)暴的乘法求解即可.

【詳解】解：(1)”2，"+3"

=a1",*a3n

=(〃")2,(an)3

=32X43

=576.

(2)V9n+1-32n=72,

；.9"X9-9”=72,

8X9"=72,

??n=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了幕的乘方與積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，做題關(guān)鍵是掌握累的乘方與積的乘方，同

底數(shù)幕的乘法法則.

8.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）（1）已知4+36=4,求3"X27〃的值；

（2）己知〃是正整數(shù)，且?"=2,求（3/）2+（-2?"）3的值.

【分析】（1）利用嘉的乘方與積的乘方和同底數(shù)辱的乘法法則，利用整體代入的方法解答即可；

（2）利用第的乘方與積的乘方法則與合并同類(lèi)項(xiàng)的法則，用整體代入的方法解答即可.

【詳解】解：（1）原式=3°X（33）b

=3aX3ib

—3a+3〃

=34

=81.

（2）原式=9戶(hù)-8戶(hù)

=會(huì)

=（一）2

=22

=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了事的乘方與積的乘方法則，同底數(shù)基的乘方法則，正確利用上述法則和利用整

體代入的方法解答是解題的關(guān)鍵.

9.（2022春?江寧區(qū)校級(jí)期中）若/'=/（a>0月.”#1,〃是正整數(shù)），則“=”.

你能利用上面的結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題嗎？

（1）若2X8'X16X=222,求x的值；

（2）若（27、）2=3%求x的值.

【分析】（1）利用同底數(shù)哥的乘法的法則及嘉的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，可求得x的值：

（2）利用事的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行整理，從而可求解.

【詳解】解：（1）V2X8VX16A=222,

.,.2X23-VX24V=222,

則21+3J+4X=222,

/.l+3x+4x=22,

解得：x=3；

(2),/(27")2=3%

A(33X)2=3%

貝ij36』3%

6x=12,

解得：x=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查基的乘方與積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算的掌握.

10.(2022春?秦淮區(qū)期中)規(guī)定兩數(shù)〃，人之間的一種運(yùn)算記作?！鶅喝绻?。。=兒那么?！?.例如：

因?yàn)??=9,所以3X9=2.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：2X16=4，±A派36=-2；

---------------6-

(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3"派4"=3派4,小明給出了如下的證明；

設(shè)3"※個(gè)=X,則(3n)x=4n,即(3X)"=4n,

所以3X=4,即3X4=x,

所以3琢4”=3派4.

請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問(wèn)題：

①證明：5X7+5X9=5X63；

②猜想：(x-2)”※(/1)"+(x-2)"X(y-3)"=(x-2)Xf(y+l)(y-3)](結(jié)果化成

最簡(jiǎn)形式).

【分析】(1)利用新定義，直接求得即可；

(2)①設(shè)間接未知數(shù)，利用新定義推導(dǎo)即可；

②利用前面的結(jié)論，直接運(yùn)算即可.

【詳解】解:(1)V2C=16=24,

A2JK16=4,

???蟀36=-2,

.??晨2=36,

?,.f2=(±6)2=(±/)-2,

.".a=+—.

6

(2)①：設(shè)5X7=x,5X9=y,

：.5X=1,5V=9,

5-'X5>=7X9=63,

.?.5巾=63,

；.5X63=x+?

即5^7+5^9=5^63；

②：3'W3X4,

(x-2)咚(尹1)”+(x-2)“※(y-3)"

=(x-2)X(y+1)+(x-2)X(y-3)

=(x-2)※1(y+1)(y-3)].

故答案為：(1)4,±1；(2)①證明見(jiàn)解析；②Cx-2),[(y+\)(y-3)].工；(2)①證明見(jiàn)解析;

66

②(X-2),[(y+1)(y-3)].

【點(diǎn)睛】本題考查的是暴的新定義，解題關(guān)鍵是了解新定義的運(yùn)算規(guī)則.

11.(2022春?金壇區(qū)期中)已知x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.

(1)求孫的值：

(2)求小下■2?9+孫3的值.

【分析】(1)將原式化為孫+2(x+y)+4=12,求出孫的值即可；

(2)將原式因式分解為d(x+y)2,再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)V(x+2)(y+2)=12,

.\xy+2(x+y)+4=12,

Vx+y=3,

.二盯+6+4=12,

即孫=2；

(2)原式=孫(/+2沖+/)

=孫(x+y)2

=2X32

=18.

【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提.

12.(2022春?儀征市期中)計(jì)算:

(1)-3a(2a-4/>+2)+6“；

(2)(x-2y)(2x+y).

【分析】(1)先利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)；

(2)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算.

【詳解】解：(1)-3a(2a-4Z?+2)+6a

=-6a~+1lab-6a+6a

=-6tr+12?fe；

(2)(x-2y)⑵+y)

=2J？-4xy+xy-2y2

—2X2-?>xy-2y2.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵.

13.(2022春?高新區(qū)期中)計(jì)算:

(1)—2)3—+(。+2)(2。-3).

(2)(3a+2b-5)(3a-2b+5)

【分析】(1)先算累的乘方，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再算除法，最后合并同類(lèi)項(xiàng)即可；

(2)可利用平方差公式及完全平方公式對(duì)所求的式子進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：(1)(-j)3+.4+Q+2)(2.-3)

=-a(>-i-a4+2a2-3a+4a-6

=-a+2a-3o+4〃-6

=/+a-6；

(2)(3a+2b-5)(3a-2b+5)

=[3a+(2b-5)][3a-(2b-5)J

=(3a)2-(26-5)2

=9a2-(4廿-206+25)

=9a2-4b2+20b-25.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

14.(2019秋?相城區(qū)校級(jí)期中)在計(jì)算(x+a)(x+b)時(shí)，甲把人錯(cuò)看成了6,得到結(jié)果是：?+8x+12；乙

錯(cuò)把?？闯闪?a,得到結(jié)果：/+x-6.

(1)求出〃，b的值；

(2)在(1)的條件下，計(jì)算(x+a)(x+。)的結(jié)果.

【分析】(1)根據(jù)題意得出(X+Q)(工+6)=/+(6+。)x+6a=/+8x+12,(x-a)Cx+b)=/+(-a+。)

x-ab=x2+x-6,得出6+〃=8,-a+b=1,求出a、〃即可；

(2)把小匕的值代入，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則求出即可.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得：(x+a)(x+6)=/+(6+。)X+6Q=/+8X+12,

(x-〃)(x+Z?)=JT+(-a+b)x-ah=x^+x-6,

所以6+〃=8,-a+b=1,

解得:a=2,6=3；

(2)當(dāng)a=2,b=3時(shí)，(x+a)(x+b)=(x+2)(x+3)=x2+5x+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則和解方程，能正確運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算是解

此題的關(guān)鍵.

15.(2022春?高新區(qū)期中)甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：(2x+〃)(3x+b).甲由于把第一個(gè)多項(xiàng)式

中的“+/'看成了"得到的結(jié)果為67+11冗-10；乙由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的

結(jié)果為2?-9x+10.

(1)求正確的〃、〃的值.

(2)計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果.

【分析】(1)按乙錯(cuò)誤的說(shuō)法得出的系數(shù)的數(shù)值求出〃，〃的值；

(2)把a(bǔ),〃的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果.

【詳解】解：(1)(2x-a)(3x+b)

=6x2+2bx-3ax-ab

=67+(2b-3a)x-ab

=6X2+11X-10.

(2x+a)(x+b)

=Tjr+lhx+ax+ah

=2JT+(2b+a)x+ab

=2?-9x+10.

.J2b-3a=11,

12b+a=-9.

.??尸;

1b=-2.

(2)(2x-5)(3x-2)

=67-4x-15x+10

=6J？-19x4-10.

【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，是

常考題型，解題時(shí)要細(xì)心.

16.(2019春?沐陽(yáng)縣期中)觀(guān)察下列各式

(X-1)(x+1)—X2-1

(X-1)(，+x+l)—X3-1

(X-1)(/+/+X+1)=jf4-1

(1)根據(jù)以上規(guī)律，則(X-1)(%6+^+/+?+?+%+1)-A-7-1：

(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律(X-1)(Z+Z'+……+X+1)=”1-1;

(3)根據(jù)以上規(guī)律求3238+32017+32016+…32+3+］的結(jié)果.

【分析】(1)仿照已知等式求出所求原式的值即可；

(2)歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；

(3)原式變形后，利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得：(%-1)(/+?+/+?+?+^+1)=x7-l；

(2)根據(jù)題意得：(x-1)(xn+Z'l+-+x+l)=*1-1；

120l91

(3)原式=工義(3-1)X(1+3+32+—+32017+32018)O....

22

故答案為：(1)1；(2)Z+l-1

【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握公式及法則

是解本題的關(guān)鍵.

17.(2022春?泰興市期中)先化簡(jiǎn)再求值：2a(a-b)-3(a+c)(a-c)+(a+b)2,其中a=2022,b=

-2,c=2.

【分析】根據(jù)整式的乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可.

【詳解】解:原式=2"-2"-3(a2-c2)+a1+2ah+h1

=2a2-lab-3a2+3c2+a2+2a/2+/>2

=3c2+h2,

當(dāng)a=2022,h=-2,c=2時(shí)，

原式=3X22+(-2)2=16.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解答本

題的關(guān)鍵.

18.(2022春?邳州市期中)如圖，是由兩個(gè)寬為長(zhǎng)為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、6的小正方形圍

成的圖形，若兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)的差是55b面積的差35"?.

(1)求圍成后的正方形”BK尸的面積；

【分析】(1)由題意可知，b-a=5,序-J=35,再結(jié)合平方差公式解答；

(2)由“/?=-("a)_二(bw)_,結(jié)合(])中匕-〃=5,b+a=l,代入計(jì)算即可.

4

【詳解】解：由題意得：h-a=5,/-J=35,

因?yàn)?-/=(b+a)(b-a),

所以b+a—1,

Cb+a)2=72=49,

所以正方形HBKF的面積為49CTM2.

⑵.：ab=(b+a)2-(b-a)2,

4

由(1)得：b-a=5,h+a=lf

72一R2

/.ab=------=6(c/n)2,

4

所以長(zhǎng)方形ADGH的面積為6cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式與幾何圖形的面積，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

19.(2022春?邳州市期中)因式分解：

(1)4m2-9n2；

(2)901b-6加+/.

【分析】（1）直接運(yùn)用平方差公式因式分解即可；

（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：（1）原式（2m）2一（3〃）2

=（2〃?+3〃）（2機(jī)-3〃）；

（2）原式=6（9a2-6仍+必）

=b（3a-6）2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵.

20.（2022春?淮陰區(qū)校級(jí)期中）【知識(shí)生成】通過(guò)第九章的學(xué)習(xí)：我們己經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同

的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出圖1中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b）2=^+2曲+群

（2）如圖2,是用4塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形，用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積，得到

的數(shù)學(xué)等式是（。+等2-4ab=（a-b）2.

（3）【知識(shí)應(yīng)用】若x+y=7,孫=」3,求x-y的值；

4

（4）【靈活應(yīng)用】圖3中有兩個(gè)正方形A、B,現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部得到圖甲，將A、B并列放置后構(gòu)造

新的正方形得到圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為2和11,則正方形4,8的面積之和13.

圖1圖2圖3

【分析】（1）根據(jù)大正方形面積=兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、h的小正方形面積+2個(gè)長(zhǎng)方形面積進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)空白部分的面積=大正方形面積-4個(gè)長(zhǎng)方形面積進(jìn)行求解即可；

（3）設(shè)正方形4的邊長(zhǎng)為小正方形8的邊長(zhǎng)為6,根據(jù)圖甲和圖乙的陰影部分面積求出（"-6）2=2,

2ab=11,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：（1）：S大正方形=（a+b）2，S大正方形=a2+2ab+b<

(a+Z>)2=a2+2ab+h2,

故答案為：(〃+/?)2=。2+2。6+廬；

(2)空白=S大正方形-4S長(zhǎng)方形=(a+b)2-4ab，S空白=(a-b)2，

故答案為：(。+〃)2-4ah=(a-b)2；

(3)??"+尸7,

(x+y)2=49,

(x-y)2=(x+y)2-4xy=49-4X^~=36’

-y—+6；

(4)設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為a,正方形8的邊長(zhǎng)為b,

由題意得：(a-6)2=2,(a+6)2-a2-b2'=2ab—\\,

/?ci^+b^—(a-b)~+2cz/?—2+11—13,

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解題意

熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

21.(2022春?海陵區(qū)校級(jí)期中)用四塊完全相同的小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形.

(1)用不同代數(shù)式表示圖中的陰影部分的面積，你能得到怎樣的等式,試用乘法公式說(shuō)明這個(gè)等式成立；

(2)利用(1)中的結(jié)論計(jì)算：a+b=3,ab=^-,求a-6的值(a>b).

4

b

【分析】(1)用代數(shù)式表示圖形中陰影部分的面積即可；

(2)利用(1)中的等式，整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即(a+b)2-(a-b)2,陰影部分的

面積就是4個(gè)長(zhǎng)為“，寬為6的長(zhǎng)方形面積和，即為4而，

所以有(。+6)2-(a-b)2=4ab,

(2)'：a+h=3,ab=^~,

4

(a-b)2

=(a+b)2-4ab

=9-5

=4,

而a>b,

".a-b=y/~4：=2.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征

是正確解答的前提.

22.（2022春?玄武區(qū)校級(jí)期中）如圖①，有邊長(zhǎng)為a與邊長(zhǎng)為b的兩種正方形紙片.

（1）將兩種正方形紙片各一張如圖②放置，其未疊合部分（陰影）面積為Si，若再在圖②中大正方形的

右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形（如圖③），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為

①用含“，?的代數(shù)式分別表示為=次-與，2b2-ab.

②若n+〃=10,ah=15,求S1+S2的值；

（2）將兩種正方形紙片各一張按圖④的方式放置在一個(gè)邊長(zhǎng)為，〃的正方形桌面上（“+〃>〃?），若兩個(gè)正

方形疊合部分（陰影）的面積為S3,桌面上未被這兩張正方形紙片覆蓋部分（點(diǎn)狀陰影）的面積為54.

求S3-54（結(jié)果用含“，的代數(shù)式表示）.

【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算；

（2）先利用矩形的面積公式分別求出S2,再代入計(jì)算.

【詳解】解:（1）①Si=J-y，S2—2b2-ab,

故答案為：J-/,2b2-ab-,

②S1+S2

=（a2-b2'）+（2層-ah）

—c^+b2-ab

—（a+b）2-3ab

=100-45

=55；

(2)S3—(a+b-/?)2—a1+b2+m1+2ab-2am-2bm,

S4—(m-a)Cm-b1—m2-am-bm+ab,

S3-$4=(a2+Z?2+/n2+2aZ>-2am-2bm)-(zn2-am-bm+ab')

—a1+b1+iTr+2ab-2am-2bm-n^+am+bm-ab

—cT+t^+ab-am-bm.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

23.(2022秋?通州區(qū)期中)關(guān)于x的整式，當(dāng)x取任意一組相反數(shù)〃?與一根時(shí)，若整式的值相等，則該整

式叫做“偶整式”；若整式的值互為相反數(shù)，則該整式叫做“奇整式”.例如：/是“偶整式”，/是“奇

整式”.

(1)若整式A是關(guān)于x的“奇整式”，當(dāng)x取1與-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的整式值分別為4,出，則4+A2=0；

(2)判斷式子(x-2)2-(x+2)2是“偶整式”還是“奇整式”，并說(shuō)明理由；

(3)對(duì)于整式金-/+)+X+1,可以看作一個(gè)“偶整式”與“奇整式”的和.

①這個(gè)“偶整式”是7+1,“奇整式”是；

②當(dāng)x分別取-3,-2,-1,0,1,2,3時(shí)，這七個(gè)整式的值之和是35.

十余一想，能否不計(jì)算每個(gè))

c整式的值，利用該整式的、)

(1特點(diǎn)簡(jiǎn)便計(jì)算？

【分析】(1)根據(jù)定義直接可得4+42=0;

(2)將整式化簡(jiǎn)為-為,即可判斷;

(3)①將所求的代數(shù)式變形為(/-J+x)+(?+1),再求解即可；

②根據(jù)“偶整式”和“奇整式”的特點(diǎn)，分別求出?-x3+x的七個(gè)數(shù)之和是0,f+1的7個(gè)數(shù)之和是35,

再求和即可.

【詳解】解：(1)???整式A是關(guān)于x的“奇整式”，

.?.4+42=0,

故答案為：0；

(2)(x-2)2-(x+2)2

—X2-4x+4-(X2+4X+4)

=/-4x+4-x2-4x-4

=-8x,

A(x-2)2-(x+2)2是“奇整式”；

(3)①?；金-/+/+_什1=(x5-j?+x)+(7+1),

???“偶整式”是7+1,“奇整式”是力-f+x,

故答案為：7+1,X5-X3+%;

②是“奇整式”，

...當(dāng)x=-3和x=3時(shí)的和為0,當(dāng)尤=-2和x=2時(shí)的和為0,當(dāng)x=-1和x=l時(shí)的和為0,

VA1是“偶整式”,

...當(dāng)x=-3和x=3時(shí)的值相等為10,當(dāng)x=-2和x=2時(shí)的值相等為5,當(dāng)x=-1和x=l時(shí)的值相

等為2,

,這七個(gè)整式的值之和是2義10+5X2+2X2+1=35,

故答案為：35.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，弄清定義，找到“奇整式”和“偶整式”的代數(shù)式的值的特點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

24.(2022秋?鎮(zhèn)江期中)現(xiàn)有3張卡片，它們可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形(如圖1).

a

圖1圖2

(1)你還能用三張卡片拼成其他的四邊形嗎？請(qǐng)畫(huà)出草圖；

(2)小明寫(xiě)出圖1中大的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2(a+6)+26,小紅寫(xiě)出大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2(a+26)+2(〃+”)

-2a-2b,兩位同學(xué)寫(xiě)的算式結(jié)果一樣嗎？為什么？

(3)如圖2,有四張邊長(zhǎng)分別為a,h,c的直角三角形紙片，將它們拼成一個(gè)大的空心的正方形，利用

這個(gè)大正方形解決問(wèn)題：①請(qǐng)根據(jù)(2)中蘊(yùn)含的思想方法寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于“，b,c的等式；②已知小直角

三角形紙片的面積為6,兩條直角邊之和為7,求中間小正方形的邊長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)3張卡片的不同拼圖即可；

(2)將小明、小紅的寫(xiě)法計(jì)算出結(jié)果即可；

(3)①根據(jù)(2)的方法進(jìn)行計(jì)算即可；

②由圖形可知而=12,a+b=l,求,2的值，再求出c的值即可.

【詳解】解：⑴能，圖形如下：

(2)一樣，理由：小明寫(xiě)出圖1中大的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2(tz+b)+2b=2a+4b；

小紅寫(xiě)出大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2(a+2b)+2(b+a)-la-2b=2a+4h,

所以小明、小紅的寫(xiě)法是一樣的；

(3)①大正方形的邊長(zhǎng)為“+〃，因此面積為(a+b)2=a2+h2+2ab,

大正方形的面積由4個(gè)兩條直角邊為b的直角三角形和1個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形部分組成的，因此有工

2

abXA+^^lab+c1,

所以有cr+b2+2ab=lab+c1,

即02+廬=涔

②由題意可得，—a+b=7,即。力=12,a+b=7,

2

.\c2=d2+/?2

=(a+b)2-lab

=49-24

=25,

c=y]25=5,

即中間正方形的邊長(zhǎng)為5.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及圖形中各個(gè)部分面積之

間的關(guān)系是正確解答的前提.

25.(2022秋?玄武區(qū)期中)一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)為〃，個(gè)位上的數(shù)為兒這個(gè)兩位數(shù)記作元；一個(gè)三

位數(shù)的百位上的數(shù)為羽十位上的數(shù)為》個(gè)位上的數(shù)為z,這個(gè)三位數(shù)記作荻.

小明的證明思路

因?yàn)閤yz=①100x+10y+z

二②9(llx+v)+(x+y+z),

又因?yàn)榇鷶?shù)式②，(x+尹z)都能被3整除，

所以病能被3整除.

(1)(Ib+U)能被11整除嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)小明發(fā)現(xiàn)：如果G+y+z)能被3整除，那么病就能被3整除.請(qǐng)補(bǔ)全小明的證明思路.

【分析】(1)根據(jù)給定的運(yùn)算可表示出嬴+嬴=11(。+切，即可得證；

(2)根據(jù)xyz=100x+10y+z=9(ll.r+y)+(x+)+z),因?yàn)?(llx+y),(x+y+z)都能被3整除，即可得

證.

【詳解】解：(1)至+藁能被11整除，理由如下：

根據(jù)題意，ab+ba=10a+Z?+10Zj+a=lla+HZ?=llCa+b),

ab+ba能被11整除；

(2)Vxyz=100x+10y+z

=99x+x+9y+y+z

=(99x+9y)+(x+y+z)

=9(llx+y)+(x+y+z),

V9(llx+y),(x+y+z)都能被3整除,

病就能被3整除，

故答案為：100x+10y+z,9(Ilx+y).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，新定義，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

26.(2022秋?崇川區(qū)期中)一個(gè)圖形通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖

1可以得到(a+b)2=a2+2ab+l^,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)通過(guò)計(jì)算圖2中陰影部分的面積可以得到的數(shù)學(xué)等式是(a-b)2=『-2ab+序；

(2)利用圖3解決下面問(wèn)題若a+Z?+c=10,ab+ac+bc—32,則/+62+C2=36.

(3)如圖4,四邊形ABC￡>,NGDH,是正方形，四邊形PQO"和EFG。是長(zhǎng)方形，其中EFGO

的面積是200,AE=10,CG=20,求圖中陰影部分的面積.

【分析】(1)根據(jù)陰影部分的面積可以直接用正方形的面積求，也可以用大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方

形的面積加上一個(gè)小正方形的面積求，再根據(jù)面積相等即可得到等式：

(2)仿照(1)可得(a+6+c)兒，再將已知代入即可求解；

(3)設(shè)陰影部分的面積為S,AB=x,則?！?x-10,EF=x-20,根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，得(%-10)

(%-20)=200,再由S=MfRV=(x-20+x-10)"=(%-20-x+10)2+4(%-20)(%-10),最后代

入求值即可.

【詳解】解：(1)陰影部分的面積=(。-力)2=/-2"+房，

故答案為：(a~b)2=/-2ab+b^；

(2)由圖可得(a+b+c)2=a2+/j2+c2+2"+2ac+2bc,

?.?〃+Z?+c=10,ab+ac+bc=32,

.?.aW+c2=100-2X32=36,

故答案為：36；

(3)設(shè)陰影部分的面積為S,AB=x,

則。E=x-10,EF=x-20,

根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，得(%-10)(x-20)=200,

：.S=MF?FN

=(x-20+x-10)(x-10+A--20)

=(x-20+x-10)2

=(x-20-x+10)2+4(%-20)(x-10)

=100+800

=900,

陰影部分的面積為900.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的幾何意義，熟練掌握正方形、長(zhǎng)方形面積的求法，

靈活應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

27.(2022秋?句容市期中)將7張相同的小長(zhǎng)方形紙片(如圖1所示)按圖2所示的方式不重疊的放在長(zhǎng)

方形A8CO內(nèi)，末被覆蓋的部分恰好被分割為兩個(gè)長(zhǎng)方形，面積分別為Si，S2,已知小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)

為“，寬為b,且“〉江

(1)當(dāng)a=7,b=2,A￡>=30時(shí)，求長(zhǎng)方形ABC。的面積；

(2)當(dāng)40=30時(shí)，請(qǐng)用含a,b的式子表示Si-S2的值.

(3)若AB長(zhǎng)度不變，AO變長(zhǎng)，將這7張小長(zhǎng)方形紙片還按照同樣的方式放在新的長(zhǎng)方形A8CQ內(nèi)，

而Si-S2的值總保持不變，則a,b滿(mǎn)足的關(guān)系是a=4b.

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，直接計(jì)算即可；

(2)用含“、6的式子表示出Si和S2的面積，即可求得結(jié)論；

(3)用含a、b、A。的式子表示出Si-S2,根據(jù)Si-S2的值與的值無(wú)關(guān)，整理后，讓AO的系數(shù)為

0即可.

【詳解】解：(1)長(zhǎng)方形ABC。的面積為30X(4X2+7)=450；

(2)Si-S2=46(30-a)-a(30-36)

=120Z?-4ab-30a+3ah

=120b-ab-30a；

(3)V5i-S2=4b(AD-a)-a(AD-3b),

整理，得：Si-S2=(4b-a)AD-ab,

VSi-S2的值與AD的值無(wú)關(guān)，

：.4b-a=0,

解得:a=4b.

即a,b滿(mǎn)足的關(guān)系是4=4/?.

故答案為：a=4b.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

28.(2022秋?大豐區(qū)期中)我們用xyz表示一個(gè)三位數(shù)，其中x表示百位上的數(shù)，y表示十位上的數(shù)，z表

示個(gè)位上的數(shù)，即xyz=100x+10y+z.

（1）說(shuō)明abc+bca+cab一定是111的倍數(shù)；

（2）①寫(xiě)出一1組〃、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，這組值可以是，=2,b=5,

c=4；②若abc+bca+cab能被11整除，則。、b、c三個(gè)數(shù)必須滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是a+b+c=11

或22.

【分析】（1）將近兀裝有用代數(shù)式表示出來(lái)，再分解因式即可求解；

（2）①根據(jù)能被II整除的定義即可求解；

②表示，再根據(jù)京+=+0能被11整除，找到。、b、c三個(gè)數(shù)必須滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：（1）abc+bca+cab

=100。+10〃+c+100/H-1Oc+tz+11Oc+1Oa+b

=llla+lll/?+lllc

=111（a+b+c）,

故abc+bca+cab一定是UI的倍數(shù)；

（2）①???一組a、b、。的取值，使/能被11整除，

abc+bca+cab=Hl（a+"c），0V〃W9,0WbW9,0WcW9,ci、b、c均為整數(shù)，

a+b+c—11,

...這組數(shù)可以是。=2,b=5,c=4,

故答案為：2,5,4（答案不唯一）；

②；abc+bca+cab=111（a+b+c）＞abc+bca+cab能被11整除，111不能被11整除,

：.a+b+c能被11整除，即a+b+c是11的倍數(shù),

,.?0Va+HcW9+9+9=27,

：.a,b,c必須滿(mǎn)足的關(guān)系是a+b+c=ll或22,

故答案為：a+〃+c=ll或22.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、列代數(shù)式的應(yīng)用，掌握“用代數(shù)式表示一個(gè)三位數(shù)”是解本題的關(guān)鍵.

29.（2022秋?如皋市期中）在學(xué)習(xí)“平方差公式”時(shí)，張老師出了一道題：計(jì)算9X11X101.嘉嘉發(fā)現(xiàn)把

9寫(xiě)成（10-1）,把11寫(xiě)成（10+1）后可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

請(qǐng)根據(jù)上述思路，計(jì)算：

(1)9X11X101；

1

【分析】（1）將原式化為（10-1）X（10+1）X（100+1）,連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可:

（2）將工改寫(xiě)成（1-工）后，連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

22

【詳解】解：(1)原式=(10-1)X(10+1)X(100+1)

=(102-1)X(100+1)

=(100-1)X(100+1)

=1002-1

=10000-1

=9999；

（2）原式=力X（i+A）x（i+A-）x(1+-A-)x(i+[)+-4

2222428216

(1-JL)x(1+-V)x(1+3)X(1+-1-)+J-

22222428216

(1-x(1+二)x：(1+a)+J-

242428216

(?_1)X(1+工)十?1

2828

J-+J-

216216

=1.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提.

30.（2022秋?蘇州期中）如圖①是一張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形,

然后將圖①剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖②的一個(gè)大長(zhǎng)方形（陰影部分）.

圖①圖②

（1）請(qǐng)分別用含6的代數(shù)式表示圖①和圖②中陰影部分的面積：圖①陰影部分面積為：J#；

圖②陰影部分面積為：（4+b）（a-b）；

(2)請(qǐng)?zhí)骄坎⒅苯訉?xiě)出“2-序、4+6、人這三個(gè)式子之間的等量關(guān)系；

(3)利用(2)中的結(jié)論，求542/-457.32的值.

【分析】(1)由正方形、長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法以及拼圖中面積之間的關(guān)系得出答案；

(2)由圖①、圖②陰影部分的面積相等可得答案；

(3)利用(2)中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)圖①的陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即。2-扇，圖②的長(zhǎng)為a+6寬為a

-%的長(zhǎng)方形，因此面積為(a+〃)(a-6),

故答案為：a2-b~,(a+h)(a-b)；

(2)由圖①、圖②陰影部分的面積相等可得

a2-b2=(a+6)(?-b),

故答案為：/_/=3b)(a-h)i

(3)由(2)得，

542.72-457.32=(542.7+457.3)X(542.7-457.3)

=1000X85.4

=85400.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示圖形中陰影部分的面積是正確解答的前提.

31.(2022春?徐州期中)通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式，圖

1可以得到(a+8)ZM/+Za匕+b?,基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題.

(1)根據(jù)圖2,寫(xiě)出一，個(gè)代數(shù)恒等式：—+依+法+葬=(x+a)(x+b)；

(2)利用(1)中的結(jié)論對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：,+5x+6=(x+2)(x+3);

(3)類(lèi)似地，用兩種不同的方法計(jì)算幾何體的體積同樣可以得到一些代數(shù)恒等式.圖3表示的是一個(gè)邊

長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體.請(qǐng)你根據(jù)圖3中兩個(gè)圖形的變

化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：F-4X=X(x-2)(K+2).

【分析】(1)①用兩種方法表示圖2的面積即可得到恒等式;

②根據(jù)①中的結(jié)論因式分解即可；

(2)用兩種不同的方法表示圖3的體積，即可得到恒等式.

【詳解】解：(1)①圖2的面積uf+or+fev+a/?,

圖2的面積=(x+a)(%+/?),

.x1+ax+bx+ab—(x+a)(.x+b),

故答案為：j^+ax+bx+ab—(x+〃)(x+b)；

②因式分解：/+5x+6=(x+2)(x+3),

故答案為：G+2)(x+3)；

(2)圖3的體積=/-4x,

圖3的體積=x(x-2)(x+2),

/.x3-4x=x(x-2)(x+2),

故答案為：x3-4x=x(x-2)(x+2).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

32.(2022春?吳江區(qū)校級(jí)期中)對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)因式分

解的等式.

(1)由圖1中的大正方形的兩種面積表示方法可得到因式分解的等式屋+序+2岫=(”+6)2；

(2)先畫(huà)出一個(gè)面積為2/+5必+2層的幾何圖形，再根據(jù)圖形的面積將代數(shù)式因式分解：2a2+5"+2b2

=(2a+b)(a+2b)；

(3)通過(guò)不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的因式分解等式.如圖2是棱長(zhǎng)為

的正方體，被如圖所示的分割線(xiàn)分成8塊.

①用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)因式分解的等式，這個(gè)等式是：

J+3a23+3加+/=(”+6)3；

②已知a+b=5,ab=3,請(qǐng)利用上面的等式求/+/.

【分析】(1)根據(jù)正方形面積的兩種不同計(jì)算方法求解;

(2)先畫(huà)出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解；

(3)①根據(jù)正方體的體積的兩種不同計(jì)算方法求解;

②根據(jù)①的結(jié)果，變式，整體代入求解.

【詳解】解：(1)c^+b2+2ab=(a+b)2,

故答案為：/+廬+2〃力=(a+b)2；

(2)圖形為：

根據(jù)圖得：2〃2+5〃力+2廿=(2〃+/?)(4+26),

故答案為：(2a+b)(a+2b)；

(3)①。3+3。2匕+3。/+/=Qa+b)3,

故答案為：。3+3〃28+3ab?+/=(a+b),；

(2)*.*d+b=5fab=3,

Ca+h)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b),

A53=aW+3X3X5.

解得：〃3+〃3=80.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想和整體代入思想是解題的關(guān)鍵.

33.(2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中)如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為4〃、寬為〃的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四

塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形(如圖②).

(1)根據(jù)上述過(guò)程，寫(xiě)出(。+6)2、(a-h)2、必之間的等量關(guān)系:(a-Z?)2=(a+h)2-4ab；

(2)利用⑴中的結(jié)論，若x+y=4,*污，則皂7)z的值是7；

(3)實(shí)際上通過(guò)計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)等式：(3a+b)(a+6)

=3/+4"+序；

(4)兩個(gè)正方形ABC。，AEFG如圖④擺放，邊長(zhǎng)分別為x,y.若)+『=34,BE=2,求圖中陰影部分

面積和.

【分析】(1)一方面中間部分是邊長(zhǎng)為4-6的正方形，可用面積公式列代數(shù)式，另一方面中間部分可以

看作從邊長(zhǎng)為a+b的正方形面積中減去4個(gè)長(zhǎng)為“，寬為〃的長(zhǎng)方形面積，最后由兩種方法所表示的面

積相等可得答案：

(2)根據(jù)(1)中的等式，并將已知等式代入可解答；

(3)大長(zhǎng)方形的面積等于它的長(zhǎng)乘以它的寬.同時(shí)，它的面積還等于3個(gè)小正方形與1個(gè)大正方形和4

個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和.這樣就可以得出所求的等式；

(4)根據(jù)已知可得：x+y=8,x-y=2,解方程組可得x和y的值，最后根據(jù)三角形的面積和可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)方法一：中間部分是邊長(zhǎng)為。-h的正方形，因此面積為(a-b)2,

方法二：中間部分的面積可以看作從邊長(zhǎng)為。+匕的正方形面積減去4個(gè)長(zhǎng)為a,寬為。的長(zhǎng)方形面積，

即(,a+b)2-4ab；

(a-b)2=(a+h)2-Aab,

故答案為：(a-b)(.a+b)~-4abi

(2)"."x+y=4,xy=—,(x-y)2=(x+y)2-4xy,

'4

(x-y)2—(x+y)2-4xy

=16-4x9

4

=7,

故答案為：7；

(3)分別以大矩形的面積和幾個(gè)小矩形的面積為等量可得：

(3a+b)(a+b)=3a2+4aW,

故答案為：(3a+b)(a+b)=3〃2+4"+Z?2；

(4)V?+y2=34,BE=2,

Ax-y=2①，

Ax2-2xy+y2=4,

/.34-2xy=4,

?*xy="15，

(x+y)2=?+2xy+y2=34+30=64,且x+y>0,

???冗+y=8②,

①+②得：x=5,

???y=3,

圖中陰影部分面積和=SZWFC+S"芯產(chǎn)=工口(x-y)+—(x-y)=—x2-—xy-—y2=—(/-_/)

2222222

=Ax(25-9)=8.

2

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握