江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類(lèi)匯編-正弦定理解邊角互化的應(yīng)用

江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類(lèi)匯編-正弦定理解邊角互

化的應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角AABC的內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分

別為ahc,若4=（,"=百，則〃+02+兒的取值范圍為（）

A.（1,9]B.（3,9]

C.（5,9]D.（7,9J

2.（2022.江蘇.揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）銳角AMC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分

別為。，b,J且a=l,Z?cosA-cosB=l,若A,8變化時(shí)，sin8-22sin2A存在最大

值，則正數(shù)X的取值范圍是（）

A.（0,乎）B.（0,1）C.（￥，與D.（pl）

二、多選題

3.（2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，AB=c，BC=a，CA=b,下列命題為真

命題的有（）

A.若同〉卜|,貝lJsinA>sin3

B.若無(wú)B>0，貝IJAABC為銳角三角形

C.若&$=0,貝IJAMC為直角三角形

D.若在+"）（1+:-1）=0,則AMC為直角三角形

4.（2022?江蘇?常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知A,8分別是橢圓—X+/2=1,(?>1)的左

a-

、右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足NPB4=2N418,設(shè)直線(xiàn)南，P8的斜率

分別為此，勺，貝IJ（）

2

A.ktk2=-a

B.若|必|=乎歸回，則橢圓的方程為常+>2=1

C.若橢圓的離心率”坐，則&=-1

D.△E4B的面積隨勺的增大而減小

三、解答題

5.(2022?江蘇?鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè))記銳角AABC內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為“力,c,且

Z?ccosB=4(c—l)cosC,/?=2,月.cwZ?.

A

⑴求U；

(2)將AC延長(zhǎng)至。，使得3c?=AC,記△A3。的內(nèi)切圓與邊AD相切于點(diǎn)T,AT是否

為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2022.江蘇?南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))從①A為銳角且sinB—cosC="1；

2ah

②力=2asin(C+m)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線(xiàn)上并完成解答.在三角形ABC中，

O

已知角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.

⑴求角4

⑵若八且c且BC邊上的高AQ為2G，求8的長(zhǎng).

4

7.(2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))在銳角△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c,

已知邊上的高等于4

(1)求證：sinA=sin8sinC；

cb

(2)若/班C=45。，求；+一的值.

bc

8.(2022?江蘇?南京師大附中模擬預(yù)測(cè))在AA3C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別

為a,b,c,且滿(mǎn)足字=1+里.

btan3

(1)求角A;

(2)角A的內(nèi)角平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)“，若〃=4",AM=3也,求sinZAMC.

9.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))請(qǐng)?jiān)冖傧蛄吭猻in81，3=,且列九

②折=2csin(A+g)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線(xiàn)上并解答.

在銳角三角形A8C中，已知角A,B,C的對(duì)邊分別為“，h,c,.

(1)求角C；

⑵若AABC的面積為2打，求2a+b的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

10.(2022?江蘇?徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測(cè))在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

b,c,請(qǐng)?jiān)冖?+bcosC=8csinB;②(20-a)cosC=ccosA；

③/+從-。2=地5這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，完成下列問(wèn)題：

34nol-

⑴求NC；

(2)若a=5,c=7,延長(zhǎng)CB到。，使cosNAZ)C=@,求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.

7

11.(2022.江蘇?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))在AABC中，a,b,c分別為A,B,C所對(duì)

,,-sinA+sin3

邊，tanC=----------------.

cosA+cosB

(1)求cosC的值；

(2)若sinA=3且，求2的值.

7c

12.(2022?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，記角4,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,

.八sinA

已知tan^=----------

2-cosA

(1)若tan8=；,求tanC的值：

(2)已知中線(xiàn)AM交8C于M,角平分線(xiàn)AN交8c于M且40=3,MN=1,求AABC的

面積.

13.(2022?江蘇?模擬預(yù)測(cè))已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J面

積為S,滿(mǎn)足S=g(/-b2卜me.

(1)證明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整數(shù)Z，加的值，使得c=欣?和tanA=AtanC同時(shí)成立.

14.(2022.江蘇江蘇?三模)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,J

且"acosB=c.從條件①、②中找出能使得A48C唯一確定的條件，并求邊BC上的高

2

h.

條件①a=2,sinC=：條件②“=近，b=y/3.

2

15.(2022?江蘇?南京市雨花臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))在①3asinC=4ccos4；

②》sin色尹=?“sin8這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完

整的題.

在"BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,己知，,“=3夜.

MC

⑴求sinA；

TT

(2)如圖，M為邊4c上一點(diǎn)，MC=MB,ZABM=-,求"BC的面積.

16.(2022?江蘇?二模)已知A4?C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,且

sin2A+sin2B-sin2C_2b-c

sinA?sinBa

⑴求4

(2)若a=5,b=c+3,求AABC的面積.

17.(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))在中，角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,

a=1,/7cos4+cosB=2b.

(1)證明：c=?;

(2)求AA3C的面積的最大值.

18.(2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，bsinA=acosB.

(1)求/8的大??；

(2)再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面

積

條作①cosA=-?；

2

條件②6=&;

條件③：AB邊上的高為理.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分

別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(2022?江蘇江蘇?一模)在①sin8+sinC=W①，②cos8+cosC=￡,③A+c=5

99

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=3,sinA=—,,

3

求AABC的面積.

20.(2022?江蘇?金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè))記AMC中，a,b,c?分別是角A,B,C所對(duì)的邊,

且。=bcosA+asinB.

⑴求5；

(2)若b=4,點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，且|麗'|=2應(yīng)，求AABC的面積.

21.(2022?江蘇江蘇?二模)在^ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,siiVl

=2sinB.

⑴若。=2,C=2V7,求C；

（2）點(diǎn)。在邊AB上，且AO=gc,證明：8平分/AC8.

22.（2022.江蘇?南京市寧海中學(xué)二模）在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別b,

c.已知2Z?cos8=ccosA+acosC.

⑴求B；

（2）若a=2,b=底,設(shè)。為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AO_LAC,求線(xiàn)段3。的長(zhǎng).

23.（2022.江蘇無(wú)錫.模擬預(yù)測(cè)）在A4?C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，h,c,

已知2ccosB=2a-匕.

⑴求C；

⑵若43=AC,3是AABC外的一點(diǎn)，且4）=2,8=1,則當(dāng)NO為多少時(shí)，平面

四邊形A8C￡＞的面積S最大，并求S的最大值.

24.（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,

6sin'+=asinB

2

⑴求角A;

（2）若匕=6,BC邊上的高為九3,求c.

2

25.（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在“ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別是“，b,c,已知

c=5,2bcosC=2a-c.

（1）求角3的大??；

（2）若AABC的面積106，設(shè)。是8c的中點(diǎn)，求鬻的值.

sinZJCAD

26.（2022?江蘇?南京市第五高級(jí)中學(xué)一模）如圖，已知aABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊

分別是a,b,c,6（l+cosC）=gcsinNABC.

⑴求角C：

(2)若a=5,c=7,延長(zhǎng)CB至M,使得cosNAMC=?L求3M.

7

27.（2022.江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4,

b,c,且滿(mǎn)足①C=28；②6cosA=acosB；@h2-c2=ai-^2ac.

(1)從①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；

(2)若￡＞為線(xiàn)段A8上一點(diǎn)，且=CD=4,求△58的面積.

28.(2022?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，c=?cosB,C=y.

(1)求IB；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使A/IBC存在且

唯一確定，求BC邊上中線(xiàn)的長(zhǎng).

條件①：c=J5b;

條件②：AABC的周長(zhǎng)為4+26；

條件③：AABC的面積為地；

4

29.(2022?江蘇?常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))記AA3C是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,

c.已知。2="c,點(diǎn)Z)在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)^AD=2DC,求cosZABC.

30.(2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))在AABC中,a,h,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

滿(mǎn)足asin。0=更加訪(fǎng)A.

26

(1)求角8大??；

(2)若AABC為銳角三角形，且6=4,求AABC周長(zhǎng)/的取值范圍.

四、雙空題

31.(2022?江蘇?華羅庚中學(xué)三模)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,

已知2sinA/inC=,則小/A+sin2c的最大值為_(kāi)________;設(shè)。是AC上一

smCa~+c-b~

點(diǎn)，且AD:DC=1:2,8?=1,則a+3c的最大值為.

32.(2022.江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分

別為a,b,c.已知向量,"=(1-2sin2*cosC),*=(c-46,a)且蔡j_；，E為BC邊上

一點(diǎn)，滿(mǎn)足/=行，靛=2丘1?則sinA=，AABC面積的最大值為.

參考答案:

1.D

【分析】由正弦定理求出b=2sinB,c=2sin再由余弦定理可得

〃+c2+6c=8sin8si?-B）+3,化為5+4sin（2B-J結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的

性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)锳=5,〃=6,

a_^_9_b_c

由正弦定理可得sinAV3sinB.121

—sin------D

2I3)

則有b=2sina。=25由(停一3),

由IBC的內(nèi)角A8,C為銳角，

71

0<B<-,

2

可得

八27r口冗

0<------B<一,

32

7T_71TC__715乃1c4、.Ir.7C]“

/.—<B<—=>—<2B---<——=>—<sin2B---<12<4sin2B---------<4,

6266626JI.6)

由余弦定理可得cr=b1+c1-2AcosAn3=/_歷,

因止匕有b1+c2+be-2bc+3

=8sinBsin^-Bj+3

=4^sin8cos8+4sin28+3

=2\/3sin28-2cos28+5

=5+4sin（2B-5）e（7,9]

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下幾種：（1）知道兩

邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角

的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.

2.A

【分析】由。=1,AcosA-cos8=l可得bcosA-。cos8=〃，由正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系可

答案第1頁(yè)，共36頁(yè)

TTrr

以得到sin(8-A)=sinA,由此推出B=24,又AABC為銳角三角形，可求出將

62

sin8-2/lsin2A都用角A表示可以得到717不sin(2A+e)-/l,且tanp”,當(dāng)

sinB-22sin2A取最大值時(shí)利用tan。=1211(5-24)可求得2的范圍.

【詳解】解：因?yàn)椤?1,Z?cosA-cosB=l,所以〃cosA-〃cos5=a,

可得：sinBcosA-sinAcosB=sinA,即sin(B-A)=sinA,B=2A

八,萬(wàn)

0<A<—0<A<-

22

71汽471

因?yàn)锳MC為銳角三角形，則有,0cBe—,即<0<2A<-,解得:—<A<—

2262

0<C<-0<7T-3A<—

22

sinB-22sin2A=sin2A-22sin2A=sin2A-2(l-cos2A)

=5/1+42sin(2A+0)-%(tan0=4),

rr____rr

當(dāng)2A+8=e時(shí)，原式有最大值加+無(wú)一2,此時(shí)0=5-24,

則4=tan9=tan(￡-2A]=—i―,;<2A<gtan2A>G,即0<—!—<—,所

【2Jtan2A32tan2A3

以北村)?

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)輔助角公式，對(duì)輔助角公式的熟

練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

3.ACD

【分析】利用正弦定理判斷選項(xiàng)A,利用數(shù)量積的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B和C,利用數(shù)量積的性質(zhì)

和余弦定理判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：A：若同〉忖，由正弦定理得2RsinA>2Rsin3,

/.sinA>sinB,則A正確；

B：若Z/>0，貝!|??(打一44(73)>(),

.\cosZACB<0,即ZACB為鈍角，

.?.△他。為鈍角三角形，故B錯(cuò)誤；

C：若7后=0，則ACJ_8C,

答案第2頁(yè)，共36頁(yè)

.?.△43C為直角三角形，故C正確;

D：若S+c-a）.（b+a-c）=0，則b-（a-c）2=0?

r2r2r2

r2r2r2rra+c—b

+c-b=2"，SD，

l「|2「2I

\a\+C-bF.2

由余弦定理知———rI”?=cosB,

2ac

/.cosB=-cosB,則cosB=0,

?.??e（0,7r）,.-.B=pAMC為直角三角形，故D正確.

故選：ACD.

4.BCD

【分析】利用斜率公式及橢圓方程可判斷A,利用條件及正弦定理可求仁=也，匕=-述,

14'7

可判斷B,結(jié)合條件及4&的關(guān)系式可判斷C,由題可得S-=2。-）），再利用導(dǎo)數(shù)可

判斷D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知A（—a,0）,B（a,0）,設(shè)P（x0,幾），則

kk一二%%"方_1,故A錯(cuò)誤;

“盧2——~7一~~-2

冗+〃/一〃XQ—uXQ—cia

由了T正r弦j定e理/得JM向=sinZPBA=2、cos"/A…B=丁4應(yīng)

對(duì)于B選項(xiàng),

AcosZPAB=^-,則tanNPAB=正，即4=正，

3414

2tan4PAB半,從而一半

=tan2ZPAB=

l-tan2ZPAB

因此一邛f串，即攝4則橢圓方程為丁+小，故B正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，由B可知，-&=匚方，得飯：-網(wǎng)=2匕，

i=（2+撲,吟=一（2+5）,

X^=—,b=\,

3

答案第3頁(yè)，共36頁(yè)

k77

所以a=JL得=二,即&=一彳勺，故C正確;

e33

PD,PD\

對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)尸作叨JLAB于Q,則——=%

"AD]~BD\=一42,

......IPO!inz

故為=|4陰=|4。|+忸力=中—1\PD\,即歸功=Z1ak9”,

k、k2K?一%

2a卻2222（一；）

^^2a-\PD\=

k,—k、&-k、3krk：，k\>0-

k,+——4-

'l-^2

設(shè)八步曹'x>°'則小…2/士6<o

（31）2

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則△目43的面積隨尢的增大而減小，故D正確.

故選：BCD.

5.(1)2；

(2)是，定值為92

【分析】(1)由題設(shè)得bccos6=h2(c-l)cosC,整理得ccos5+bcosC=AcosC,結(jié)合正弦

定理化簡(jiǎn)得sinA=2sinCcosC=sin2C,結(jié)合AC的范圍求得A=2C即可求解；

(2)先由(1)中結(jié)論結(jié)合正余弦定理求得/=2C+C2,再由向量的線(xiàn)性運(yùn)算得

BD=^BC-^BA,進(jìn)而求得8D=c+g,由切線(xiàn)長(zhǎng)定理化簡(jiǎn)即可求得AT.

(1)由bccosB=4(c-l)cosC,0=2可得歷cos3=〃(c-l)cosC,即ccosB=b(c-1)cosC,

整理得。8§5+〃85。二秘(：00。，由正弦定理得sinCcosB+sin3cosc=hsinCcosC,又

答案第4頁(yè)，共36頁(yè)

sinCcosB+sinBcosC=sin(B4-C)=sin(乃一A)=sinA,則sinA=2sinCeosC=sin2C,又

c^b,C工B,A+2C,則A=2C,BP-^=2；

”=2c?上W,整理得（2—c）〃=c（2—c）（2+c）,又c*b,則a=Zc+c?,設(shè)內(nèi)切圓

2ab

圓心為。，內(nèi)切圓與邊A3,3。分別相切于點(diǎn)瓦尸，則3石=8￡4七=47,。7二。/，又

—.—.—.—.4—?—?4/—?—.\4—?1—.

BD=BA+AD=BA+-AC^BA+-(BC-BAJ=-BC--BA,則

而2』冊(cè)二,就一加.麗=%+fosB

999999

16.1,8a2+c2-44o

—a~+-c~-------------=—a~

999lac3

816(4?DC44

=c2~+-c+—=cd■—,貝?。軧￡)=c+一則=B尸+尸￡>—BE—AE=￡)7—AT=—,

39I3j33

o2

又。T+AT=AO=—,則47=一.

33

6.(1)條件選擇見(jiàn)解析，77T

(2)3

【分析】（1）在三角形中，運(yùn)用正余弦定理，實(shí)現(xiàn)邊角互化即可求解.

（2）根據(jù)三角形的面積公式可得a,6,c的關(guān)系，在A/IBC中運(yùn)用余弦定理可求出a,b,c的值,

然后根據(jù)邊的長(zhǎng)度用余弦定理求角，即可求解.

（1）

選①

22

c-a一

因?yàn)閟inB-cosC=---------,所以2a/?sinB=c2-a2+2abcosC,

lab

由余弦定理得，c=cr+tr-labcosC,所以2absin8=b?,即勿sinB=Z?

由正弦定理得2sinXsin3=sin8

答案第5頁(yè)，共36頁(yè)

在AA3C中，有sinB>0,故sinA=4

2

由4為銳角，得A=J

6

選②

因?yàn)?=2〃sin(C+7),由正弦定理得sinB=2sinAsin(C+^)

66

即sin(A+C)=2sinAsin(C+—)

6

化簡(jiǎn)得cosAsinC=GsinAsinC

在△ABC中，有sinC>0,由A為銳角得COSAHO,

所以tanA=@,得A=2

36

⑵

由題意得，S.ABC=gax26=gbcsinA=；6c,所以，be=4舄

又匕=必^。，所以/=16〃,/=3a

4

由余弦定理cosABAC=^—C———="+B,解得。=7,c=4b,b=&T

2bc2x46/2

所以，COSNBC4="2+"-C249+21-16x741\

2ab2x7互-7

所以AA8C是鈍角三角形

所以cosNACO=-cosN8G4=@,所以tanNACO=空

73

在直角"8中，CD=———=2石x@=3

tanZACD2

7.(1)證明見(jiàn)解析

⑵*

bc2

【分析】（1）由銳角三角形可得AO=AsinC,結(jié)合題意和正弦定理整理可證；（2）利用等

面積1Asin45o=1a-a可得病="此，結(jié)合余弦定理"=從+°2-力m。$45?；?jiǎn)整理.

222

（1）

設(shè)5c邊上的高為A￡>,則AD=AsinC,所以a=8sinC,

由正弦定理得sinA=sin8sinC.

答案第6頁(yè)，共36頁(yè)

(2)

由余弦定理得"=Z?2+02-2Z?ccos45°=ft2+c2-\［2bc，

因?yàn)?csin45°=1a-a,所以/=變反，

222

所以1尻?=/+c-2-3bc,即從+/=g近be,

所以1+2=］點(diǎn).

bc2

8.(Dp

⑵地

7

【分析】(1)先由正弦定理及切化弦得COSA=g,結(jié)合角A的范圍，即可求解；

(2)先由S.C=S,M”+S“CM結(jié)合面積公式求得尻?nSS+c),再由余弦定理求得“c的值,

再由正弦定理求出sinZAMC即可.

(1)

由正弦定理及切化弦可得

sinA

2sinC_cosA_isinAcosB_sinBcosA+sinAcosB_sin(A+B)

=fIT:~=IT—■—,

sin8sm6sin8cosAsinBcosAsinBcosA

cos3

Xsin(A+B)=sin(,r-C)=sinC,sinB>0,sinC>0,則2，由。=_，出°—,gpcosA=—,又

sinBsinBcosA2

Ae(O,i),則A=。；

(2)

6

SARC=Sarm+SMM=，x36c'sinNBAM+,x3GbsinNCAM=^-^-(b+c］，

t^noMAACJW224\/

可得秘=3(6+c),又由余弦定理得

答案第7頁(yè)，共36頁(yè)

,b'+c-a(Z>+c)-2bc-\12(b+c)-6(/>+c)-l121/古人

cosA=--------=——........-------1--------------=-,解得8+c=16(負(fù)值舍

2bc2bc6e+c)2

去)，則be=48,

彷=4仿=12

可得<…或<、，XsinZAMC=sinZzAMB,顯然當(dāng)力=4或12時(shí)，sinZAMC的值相

[c=l2[c=4

同，不妨設(shè)b=12,則c=4,

由正弦定理得一一=.可得sinC=輩，又怨=.二”,可得

sinCsinABAC4J7sinCsinZAMC

/2V7

sinZ.AMC=---.

7

9.⑴C=]

(2)(8,10)

【分析】(1)選①：根據(jù)平面共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示和正弦定理可得/=02+/-他，結(jié)合余弦

定理即可求出C；選②：根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得6cosc=sinC,

結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；

Q

(2)由三角形的面積公式可得2a+6=2a+2=/(a),法一：利用余弦定理解得2<a<4；法

a

-：由正弦定理可得2<。<4,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(a)的值域即可.

(1)

選擇①：

因?yàn)闊o(wú)舊所以6—=(…)sinj

h+cc+a

工丁心…e,口(c-a)a(h-c]b

由正弦定理得，——二=^——二，

b+cc+a

即a(^c2一〃~)=b(/?2—c~),即ac2+be2=a3+0,，即c?(a+力)=(〃+/?)(/―他+夕),

HPc1=a2+b2-ab?因?yàn)镃OSC="+"---=—，

2ab2

7T

又C為銳角，所以C=].

選擇②：

因?yàn)槠?2csin(A+1),

答案第8頁(yè)，共36頁(yè)

由正弦定理得，百sinB=2sinCsin（A+]J,

即6sin8=sinCsin4+6sinCcosA.

XsinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以百sinAcosC=sinCsinA.

因?yàn)閟inA>0,所以GcosC=sinC,

又C為銳角，所以tanC=6，C=p

⑵

因?yàn)镾?ABC=gabsinC=^-ah=2G,

Q

所以=8,則2。+b=2。+—.

a

（法一）由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-8.①

,_[cosA>0,[b2+c2-a2>0,

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以R八即2，小

[cosB>0,[a+c-b~>0n.

儼>4他丫

將①代入上式可得2:即'解得2<a<4.

>4,2）

a>4,

令/（4）=2a+g,,則/'（同=2_§=^^>0,

所以/(a)在2<a<4上單調(diào)遞增，所以/(2)</(a)</(4),

即8</(a)<10,即2a+6的取值范圍為(8,10).

（法二）由正弦定理得g=sinA=sin（B+J=；sin8+JcosB=+@j

bsinBsinBsinB22tanB

a

==T,]

又5I所以今

tanB

0<A=--B<-,

32解得

因?yàn)锳A3C為銳角三角形，所以

八兀

0<Bn<—,62

2

答案第9頁(yè)，共36頁(yè)

因?yàn)閠anB>正，所以0<二<6,+^<2,

3tan8222tanB

14

Bpl<—<2,解得2<a<4.

28

令/(a)=2a+g,2<a<4,貝1]r(4)=2*=棗二l>0，

所以/(a)在2<a<4上單調(diào)遞增，所以〃2)<〃。)</(4),

即8</(a)<10,即2a+b的取值范圍為(8,10).

一71

10.(l)C=y

(2)5

【分析】(1)若選①，由正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等換公式

化簡(jiǎn)可求出角C,若選②，由正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等換

公式化簡(jiǎn)可求出角C,若選③，對(duì)已知式子利用余弦定理和三角形的面積公式化簡(jiǎn)可求出角

C,

(2)在A43C中，由余弦定理可求得6=8,再利用正弦定理得sinNABC的值，然后分別在

△AB2ZV18利用正弦定理和余弦定理求解即可

(1)

若選①，因?yàn)榉?加0$。=能。$桁8，

所以由正弦定理得sinB+sinBcosC=J5sinCsinB,

因?yàn)閟inBwO,所以GsinC-cosC=1,

所以色■sinC—'cosCuL,所以sin(c_g]=：,

222I2

因?yàn)镃e(0,;r),所以,

o\oo7

所以c-g=g，所以C=g，

663

若選②，因?yàn)?2Z?-a)cosC=ccosA,

所以由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA,

所以2sinBcosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)=sinB,

答案第10頁(yè)，共36頁(yè)

因?yàn)閟inBwO,所以cosC=；,

因?yàn)樗訡=（,

若選③，因?yàn)?+/一。2=羊5行品，

所以2〃bcosC=^^-x—absinC,

32

因?yàn)閃0,所以tanC=G，

因?yàn)镃e(O,"),所以C=(,

(2)

“2.L/1_八2

在AABC中，由余弦定理得cosC=

2ah

125+Z?~—49r.%ZH7

—=----------，化筒得—5/?—24=0,

210ft

解得8=8或6=-3(舍去)，

b

由正弦定理得

sinZABCsinC

8二7r-

所以sin/AB?！?兀，所以sin/A3C二處

sin—7

3/

所以sinZABD=sin(4-ZABC)=sinZABC=-y-,

因?yàn)閏osNAOC=浮，ZWCe(O,萬(wàn))，

所以sinZADC=V1-cos2ZADC=

ADAB

在△ABD中，由正弦定理得

sinZABDsinZ.ADC

AD7

得皿=骼

所以逑―2"，

"7~~T~

在△AC。中，由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC，

+(5+B?-2臂(5+8。)?浮

所以64=

化簡(jiǎn)得84-28D-I5=O,

解得8。=5或8。=-3（舍去）

答案第11頁(yè)，共36頁(yè)

所以線(xiàn)段30的長(zhǎng)度為5

H.(1)^-

2S/2T

21

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理將已知條件tanC=",'八轉(zhuǎn)化為''邊”的等式

/+/=o,再利用余弦定理即可求得cosC的值；

(2)首先利用角C的值和已知條件sinA=2互判斷出角A為銳角，再利用兩角和的正弦公

7

式求得sinB的值，進(jìn)而利用正弦定理即可求得&的值.

C

(1)

,-sinA4-sinfir/口sinCsinA+sinB

由tanC=-----------------,可得-----=----------

cosA4-cosBcosCcosA+cosB

則sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinjB),

由正弦定理得c(cosA+cosB)=(?+&)cosC

,人?口b"-ara~+c~-b~(+b~-c^

由余弦定理得C--——+--------------=(。+6)———

I2bc2acJ2ab

222

整理得(。+。乂〃+。2-，一他)=0,yi,a+b>Of^a+b-c-ab=0

ab_1

則

2ab~2

⑵

I兀

由(1)可知cosC=],又0<C<7T,則c=§,

由sinA=3^wl,可知角A為鈍角或銳角

7

若A為鈍角，貝!jsirt4=2=sin—=>A>—A+C〉兀

7233

這與5c內(nèi)角和為兀矛盾，即A不能為鈍角，

二.A為銳角，由sinA=3豆，可得

77

?..AcA.「_2不1>/216_5不

..sino=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-----x—i-------x—=------

v7727214

bsinB57725屈

-=------=------x—="=--------

csinC14y/321

答案第12頁(yè)，共36頁(yè)

12.(1)1加。二一2或100。=2；

(2)y.

3

【分析】(1)利用同角關(guān)系式可得《必=［或5皿4=1,然后利用和角公式即得;

(2)由題可得sinC=2sinB,利用角平分線(xiàn)定理及條件可得=3,CN=2,進(jìn)而可得

A=|,&2=y,即得.

(1)

在sinA1

--=-

2-cosA2

2sinA+cosA=2

所以

sin2A+cos2A=1

3

解得sinA=g或sinA=1,

331

當(dāng)sinA=不時(shí)，tanA=~,tan/?=—

31

4—

所以tan(A+B)=」y2r

1----X—

42

當(dāng)sinA=l時(shí)，因?yàn)镺vAv/r,

所以A=彳，又tanB=—,

22

所以tanC=2.

⑵

..?sinA

.tanB=----------,

2—cos4

.sinBsinA_.....

??------=-----------,2sinBD—sinBDcosA—smAcosBD,

cosB2-cosA

/.2sinB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B),BPsinC=2sinB,

：.c=2bf

由角平分線(xiàn)定理可知，—=—=7=2,BN=2CN,又MN=1,BM=CM,

ACCNb

所以BM=3,CN=2,

答案第13頁(yè)，共36頁(yè)

A

I7T

由AM=—BC=3,可得4=一,

22

*'?b2+c2=a2=361b~——,

所以S=，6c=L2從=h2=—.

225

13.(1)證明見(jiàn)解析

Q)k=1,m=2

【分析】(1)由S=；"sinC結(jié)合已知條件得，2/—3"一力2=0,整理得。-26=0,再

利用正弦定理邊化角即可求解；

(2)由tanA=AtanC得，?=々乂半，再利用正余弦定理