高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-復(fù)雜的三視圖問題（原卷版）

一．方法綜述三視圖幾乎是每年的必考內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，一是考查相關(guān)的識(shí)圖，由直觀圖判斷三視圖或由三視圖想象直觀圖，二是以三視圖為載體，考查面積、體積的計(jì)算等，均屬低中檔題.三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對(duì)應(yīng)，識(shí)圖要注意甄別.揭示空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，包括幾何體的形狀，平行垂直等結(jié)構(gòu)特征，這些正是數(shù)據(jù)運(yùn)算的依據(jù).還原幾何體的基本要素是“長(zhǎng)對(duì)齊，高平直，寬相等”.要切實(shí)弄清常見幾何體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)、棱柱、棱錐、棱臺(tái)、球)的三視圖的特征，熟練掌握三視圖的投影方向及正視圖原理，才能迅速破解三視圖問題，由三視圖畫出其直觀圖．對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的位置．解題時(shí)一定耐心加細(xì)心，觀察準(zhǔn)確線與線的位置關(guān)系，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同.根據(jù)幾何體的三視圖確定直觀圖的方法：三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐；三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐；三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)帶圓心的圓，對(duì)應(yīng)圓錐；三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱錐；三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓柱.對(duì)于幾何體的三視圖是多邊形的，可構(gòu)造長(zhǎng)方體（正方體），在長(zhǎng)方體（正方體）中去截得幾何體.二．解題策略類型一構(gòu)造正方體（長(zhǎng)方體）求解【例1】【2018年文北京卷】某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.4【指點(diǎn)迷津】正視圖、側(cè)視圖是三角形，考慮底面頂點(diǎn)數(shù)是四，是四棱錐．【舉一反三】1、某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）B.C.D.2、如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）3、【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（A）3（B）2（C）2（D）2類型二旋轉(zhuǎn)體與多面體組合體的三視圖【例2】【安徽省合肥一中、馬鞍山二中等六校教育研究會(huì)2019屆高三第二次聯(lián)考】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半徑為r的圓，若該幾何體的體積是則它的表面積是()A． B． C． D．【指點(diǎn)迷津】1.三視圖有兩個(gè)長(zhǎng)方形含兩個(gè)虛半圓，一個(gè)圓，故知該幾何體是圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為的半球．2.三視圖有兩個(gè)半圓含虛三角，想到半球有挖空部分，俯視圖是一個(gè)圓含實(shí)線正方形，幾何體是由半徑為2的半球挖去一個(gè)正四棱錐．【舉一反三】1、一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)πB.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)πD.1＋eq\f(\r(2),6)π2、一幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是半徑為的半圓，俯視圖為圓內(nèi)接一個(gè)正方形，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．類型三與三視圖相關(guān)的外接與內(nèi)切問題【例3】已知一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的等腰三角形，腰長(zhǎng)為3，底邊長(zhǎng)為2，俯視圖是一個(gè)半徑為1的圓如圖，則這個(gè)幾何體的內(nèi)切球的體積為A．B．C．D．【指點(diǎn)迷津】（1）三視圖的定義正確讀取圖中線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.（2）內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點(diǎn)連線，把原三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑.（3）分析外切球球心位置，利用已知的數(shù)量，求外切圓半徑.【舉一反三】1、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．2、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A．B.C．D.3、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()A．B．C．D．類型四與三視圖相關(guān)的最值問題【例4】某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為（A）2（B）2（C）4（D）2【指點(diǎn)迷津】構(gòu)造長(zhǎng)方體，體對(duì)角線為已知長(zhǎng)度的棱，長(zhǎng)方體三個(gè)面為投影面.根據(jù)題意，用長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)表示a+b，用不等式求其最值.【舉一反三】1、某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個(gè)三角形均為直角三角形，則的最大值為（）A.32C.642、若某幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為，幾何體的體積為.3、某三棱錐的三視圖如圖所示．（）該三棱錐的體積為__________．（）該三棱椎的四個(gè)面中，最大面的面積是__________．三．強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1.【山東省泰安市高三2019年3月檢測(cè)】九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的表面積為2.【遼寧省大連市2019屆高三3月測(cè)試】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何”，羨除是一個(gè)五面體，其中三個(gè)面是梯形，另兩個(gè)面是三角形，已知一個(gè)羨除的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則該羨除的表面中，三個(gè)梯形的面積之和為（）A．40 B．43 C．46 D．473.【廣東省梅州市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)檢】九章算術(shù)給出求羨除體積的“術(shù)”是：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“廣”指羨除的三條平行側(cè)棱的長(zhǎng)，“深”指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離，“袤”指這兩條側(cè)棱所在平行線之間的距離，用現(xiàn)代語(yǔ)言描述：在羨除中，，，，，兩條平行線與間的距離為h，直線到平面的距離為，則該羨除的體積為已知某羨除的三視圖如圖所示，則該羨除的體積為A． B． C． D．4.【安徽省合肥市2018屆高三三模】我國(guó)古代《九章算術(shù)》將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.右圖是一個(gè)芻童的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則該芻童的表面積為A．B．40C．D．5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．如圖，一個(gè)圓柱從上部挖去半球得到幾何體的正視圖，側(cè)視圖都是圖1，俯視圖是圖2，若得到的幾何體表面積為，則（）A．3B．4C．5D．67．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．B．C．D．8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．10B．20C．30D．609．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為A．B．C．D．10．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算該幾何體的表面積為A．15πB．18πC．22πD．33π11.榫卯（sǔnmǎo）是兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式.凸出部分叫榫，凹進(jìn)去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到連接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天壇祈年殿，山西懸空寺等，如圖是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖，則該榫的表面積和體積為（）A．B．C．D．12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）（B）（C）（D）13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體