上海市嘉定、長寧區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

上海市嘉定、長寧區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．化簡：（）A． B． C． D．2．設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則（)A． B． C． D．4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結(jié)論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．6．己知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0134y1469則y與x的線性回歸直線y=A．(2,5) B．(5,9) C．(0,1) D．(1,4)7．在△ABC中角ABC的對邊分別為A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．8．若a，b是方程的兩個根，且a，b，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值為()A．-4 B．-3 C．-2 D．-19．已知集合，則（）A． B． C． D．10．已知，，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線:與直線:互相平行，則直線與之間的距離為______.12．已知直線是函數(shù)（其中）圖象的一條對稱軸，則的值為________.13．已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________.14．將邊長為1的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,點(diǎn)?分別是圓和圓上的點(diǎn),長為,長為,且與在平面的同側(cè),則與所成角的大小為______.15．△ABC中，，，則=_____．16．已知三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長都等于，則其外接球的體積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角的對邊分別為，且角成等差數(shù)列.（1）求角的值；（2）若，求邊的長.18．（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．如圖，在△ABC中，cosC＝，角B的平分線BD交AC于點(diǎn)D，設(shè)∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的長．20．如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長．21．某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為萬元;進(jìn)行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預(yù)測,從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

.故選A．【題目點(diǎn)撥】考查向量數(shù)乘和加法的幾何意義，向量加法的運(yùn)算．2、B【解題分析】

由，可得，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解，得到答案.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，解得或，此時數(shù)列不一定是遞增數(shù)列；若數(shù)列為遞增數(shù)列，可得或，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與單調(diào)性，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

可得.【題目詳解】向量，則．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)==1﹣i對應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點(diǎn)：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點(diǎn)評：熟練掌握數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質(zhì)．6、A【解題分析】

分別求出x,y均值即得．【題目詳解】x=0+1+3+44=2，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程，線性回歸直線一定過點(diǎn)(x7、D【解題分析】

首先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出sinC的值，進(jìn)一步利用余弦定理和三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【題目詳解】△ABC中角ABC的對邊分別為a、b、c，cosC，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式sin1C+cos1C＝1，解得sinC，由于acosB+bcosA＝1，利用余弦定理，解得c＝1．所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，整理得4，由于a1+b1≥1ab，故，所以．則，△ABC面積的最大值為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．8、D【解題分析】

由韋達(dá)定理確定，，利用已知條件討論成等差數(shù)列和等比數(shù)列的位置，從而確定的值．【題目詳解】由韋達(dá)定理得：，，所以，由題意這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，且，則2一定在中間所以，即因?yàn)檫@三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，且，則2一定不在的中間假設(shè)，則即故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要掌握三個數(shù)成等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，如成等比數(shù)列，且，，則2必為等比中項(xiàng)，有．9、A【解題分析】

由，得，然后根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得到本題答案.【題目詳解】因?yàn)椋?故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的交集運(yùn)算及對數(shù)不等式.10、B【解題分析】

根據(jù)為定值，那么乘以后值不變，由基本不等式可消去x，y后，對得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【題目詳解】因?yàn)?，，，所?因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，整理得，解得，?【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式，由為定值和已知不等式相乘來構(gòu)造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解題分析】

利用兩直線平行，先求出，再由兩平行線的距離公式求解即可【題目詳解】由題意，，所以，，所以直線：，化簡得，由兩平行線的距離公式：.故答案為：10【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩直線平行的充要條件，兩直線和平行的充要條件是，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可得，由此可得答案.【題目詳解】依題意得，所以，即，因?yàn)椋曰颍蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】本題考查了正弦函數(shù)圖象的對稱軸，屬于基礎(chǔ)題.13、4【解題分析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可．【題目詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，因此.故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

畫出幾何體示意圖，將平移至于直線相交，在三角形中求解角度.【題目詳解】根據(jù)題意，過B點(diǎn)作BH//交弧于點(diǎn)H，作圖如下：因?yàn)锽H//，故即為所求異面直線的夾角，在中，，在中，因?yàn)?，故該三角形為等邊三角形，即：，在中，，，且母線BH垂直于底面，故：，又異面直線夾角范圍為，故，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的夾角求解，一般解決方法為平移至直線相交，在三角形中求角.15、【解題分析】試題分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A為銳角，由得，因此考點(diǎn)：正余弦定理16、【解題分析】

先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計算體積.【題目詳解】三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長都等于為中點(diǎn)，為外心，連接，平面球心在上設(shè)半徑為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）【解題分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，與三角形三內(nèi)角和等于即可解出角C的值.（2）將已知數(shù)帶入角C的余弦公式，即可解出邊c.【題目詳解】解：（1）∵角，，成等差數(shù)列，且為三角形的內(nèi)角，∴，，∴．（2）由余弦定理，得【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【題目詳解】解：（1）①當(dāng)時，即當(dāng)時，②①減②得經(jīng)檢驗(yàn)時，成立故（2）（）……將上述式相加可得【題目點(diǎn)撥】本題考查作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)二倍角公式及同角基本關(guān)系式，求出cos∠ABC，進(jìn)而可求出sinA；（2）根據(jù)正弦定理求出AC，BC的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．【題目詳解】（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），所以cos∠ABC，則sin∠ABC，由cosC，得：sinC，sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．（2）由正弦定理，得，即BCAC；又?AC2?21，∴AC＝5，∴ABAC＝4．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角公式、同角基本關(guān)系式和正弦定理的靈活運(yùn)用和計算能力，是中檔題．20、(1)(2)【解題分析】試題分析：(1)利用題意結(jié)合余弦定理可得；(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：.試題解析：（I）在中，由余弦定理得(II)設(shè)在中，由正弦定理，故點(diǎn)睛：在解決三角形問題中，面積公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來.21、(1),(2),(3)至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.【解題分析】

(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的