2023-2024學年重慶市長壽區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年重慶市長壽區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）下列事件是隨機事件的是A．在一個標準大氣壓下，加熱到，水沸騰 B．購買一張福利彩票，中獎 C．有一名運動員奔跑的速度是30米秒 D．在一個僅裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球2．（4分）拋物線的頂點坐標為A． B． C． D．3．（4分）一元二次方程的根的情況是A．無實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．無法確定4．（4分）如圖，，，是上的三點，，，那么的半徑等于A．1 B．2 C．4 D．5．（4分）如圖，將繞點逆時針旋轉得到△．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．6．（4分）如圖所示，下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④7．（4分）四張質地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有圓、矩形、等邊三角形、正五邊形四個圖案．現(xiàn)把它們的正面向下隨機擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為A． B． C． D．18．（4分）關于的二次函數(shù)，下列說法正確的是A．圖象的開口向上 B．圖象與軸的交點坐標為 C．圖象的頂點坐標是 D．當時，隨的增大而減小9．（4分）如圖，的直徑垂直弦于，且是半徑的中點，，則直徑的長是A． B． C． D．10．（4分）如圖，等腰的直角邊與正方形的邊長均為2，且與在同一條直線上，開始時點與點重合，讓沿直線向右平移，直到點與點重合為止．設的長為，與正方形重合部分（圖中陰影部分）的面積為，則與之間的函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分。請將正確答案填在答題卡的相應橫線上。）11．（4分）請你寫出一個有一根為1的一元二次方程：．（答案不唯一）12．（4分）邊長為4的正六邊形的邊心距為．13．（4分）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的側面積是．14．（4分）設，是方程的兩個實數(shù)根，則．15．（4分）如圖所示，若的半徑為，點是弦上一動點，且到圓心的最短距離為，則弦的長為．16．（4分）在一個不透明的布袋中裝有紅色、白色玻璃球共40個，除顏色外其他完全相同．小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，其中摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在左右，則口袋中紅色球可能有個．17．（4分）如圖，是拋物線的一部分，其對稱軸為直線，它與軸的一個交點為，根據(jù)圖象，可知關于的一元二次方程的解是．18．（4分）如圖，在四邊形中，，，于點，且四邊形的面積為12，則的長為．三、解答題（本大題8個小題，19題8分，20-26題每小題8分，共78分。每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟。）19．（8分）解方程：．20．（10分）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設是方程的一個實數(shù)根，且滿足，求的值．21．（10分）已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）分別寫出圖中點和點的坐標；（2）畫出繞點按順時針方向旋轉后的△；（3）求點旋轉到點所經(jīng)過的路線長（結果保留．22．（10分）如圖，是的直徑，為圓周上一點，，過點的切線與的延長線交于點．求證：（1）；（2）．23．（10分）某校在學生中開展主題為“火災逃生知多少”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方式進行問卷調查，問卷調查的結果為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，分別記作、、、；并根據(jù)調查結果繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（未完成），請結合圖中所給信息解答下列問題：（1）本次被調查的學生共有人；在被調查者中“基本了解”的有人；（2）將扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）在“非常了解”的調查結果里，初三年級學生共有5人，其中3男2女，在這5人中，打算隨機選出2位進行采訪，請你用列表法或樹狀圖的方法求出所選兩位同學恰好都是男同學的概率？24．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，點的坐標是，過點作軸，垂足為，連接．（1）求的面積；（2）若拋物線經(jīng)過點．①求的值；②將拋物線向下平移個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在的內部（不包括的邊界），求的取值范圍（直接寫出答案即可）．25．（10分）要對一塊長60米、寬40米的矩形荒地進行綠化和硬化．（1）設計方案如圖①所示，矩形、為兩塊綠地，其余為硬化路面，、兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形面積的，求、兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．（2）某同學有如下設想：設計綠化區(qū)域為相外切的兩等圓，圓心分別為和，且到、、的距離與到、、的距離都相等，其余為硬化地面，如圖②所示，這個設想是否成立？若成立，求出圓的半徑；若不成立，說明理由．26．（10分）已知：如圖所示，關于的拋物線與軸交于點、點，與軸交于點．（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）在拋物線上有一點，使四邊形滿足，寫出點的坐標，并求出直線的解析式；（3）在（2）中的直線交拋物線的對稱軸于點，拋物線上有一動點，軸上有一動點．是否存在以、、、為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。）1．（4分）下列事件是隨機事件的是A．在一個標準大氣壓下，加熱到，水沸騰 B．購買一張福利彩票，中獎 C．有一名運動員奔跑的速度是30米秒 D．在一個僅裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球【分析】必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．解：是必然事件；中，可能中獎，也可能不中獎，是隨機事件；，是不可能事件；故選：．【點評】用到的知識點為：隨機事件是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；必然事件就是一定發(fā)生的事件．2．（4分）拋物線的頂點坐標為A． B． C． D．【分析】將拋物線的一般式配方成為頂點式，可求出頂點坐標．解：，拋物線的頂點坐標為．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)的頂點式與頂點坐標的關系．頂點式，頂點坐標為．3．（4分）一元二次方程的根的情況是A．無實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．無法確定【分析】先計算出該方程的根的判別式△，再結合判別式的判定方法進行判定即可．解：該方程中，，，所以△，所以該方程無實數(shù)根．故選：．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式的應用，即當△時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，當△時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，當△時，一元二次方程無實數(shù)根．4．（4分）如圖，，，是上的三點，，，那么的半徑等于A．1 B．2 C．4 D．【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后由等腰三角形的性質及三角形內角和定理求得；最后根據(jù)等邊三角形的判定定理知是等邊三角形，所以等邊三角形的三條邊相等．解：，，是上的三點，，（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；在中，的半徑），，（三角形內角和定理），，是等邊三角形，．故選：．【點評】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定與性質．解答該題時，利用圓周角定理要注意圓心角與圓周角的定義，只有三個點都在圓上所組成的角才稱之為圓周角．5．（4分）如圖，將繞點逆時針旋轉得到△．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉的性質找到對應點、對應角、對應線段作答．解：繞點逆時針旋轉得到△，，，．故選：．【點評】本題考查旋轉的性質：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意旋轉的三要素：①定點旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度．6．（4分）如圖所示，下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念結合圖形的特點求解．解：圖形①不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．不符合題意；圖形④是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．不符合題意；圖形②③既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．符合題意．故選：．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形關鍵是要尋找對稱中心，圖形旋轉后與原圖重合．7．（4分）四張質地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有圓、矩形、等邊三角形、正五邊形四個圖案．現(xiàn)把它們的正面向下隨機擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為A． B． C． D．1【分析】直接利用概率公式求解可得．解：在這4張卡片上，正面圖案是中心對稱圖形的有圓、矩形這2個，抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為，故選：．【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件的概率（A）事件可能出現(xiàn)的結果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．8．（4分）關于的二次函數(shù)，下列說法正確的是A．圖象的開口向上 B．圖象與軸的交點坐標為 C．圖象的頂點坐標是 D．當時，隨的增大而減小【分析】二次函數(shù)的一般形式中的頂點式是：，且，，是常數(shù)），它的對稱軸是直線，頂點坐標是．解：，函數(shù)的開口向下，對稱軸是直線，故此選項錯誤，：當，，圖象與軸的交點坐標為：，故此選項錯誤，這個函數(shù)的頂點是，故此選項錯誤，：在對稱軸的左側隨的增大而增大，在對稱軸的右側隨的增大而減?。蚀诉x項正確，故選：．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，頂點坐標及增減性，熟練利用其性質是解題關鍵．9．（4分）如圖，的直徑垂直弦于，且是半徑的中點，，則直徑的長是A． B． C． D．【分析】利用垂徑定理和相交弦定理求解．解：利用垂徑定理可知，，是半徑的中點．，，利用相交弦的定理可知：，解得，即．故選：．【點評】本題的關鍵是利用垂徑定理和相交弦定理求線段的長．10．（4分）如圖，等腰的直角邊與正方形的邊長均為2，且與在同一條直線上，開始時點與點重合，讓沿直線向右平移，直到點與點重合為止．設的長為，與正方形重合部分（圖中陰影部分）的面積為，則與之間的函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．【分析】按照的取值范圍分為當時，當時，分段根據(jù)重合部分的圖形求面積，得出是的二次函數(shù)，即可得出結論．解：（1），當時，如圖1，由題意知，，，，當時，如圖2，由運動知，，，．故選：．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、正方形及等腰直角三角形的性質．關鍵是根據(jù)圖形的特點，分段求函數(shù)關系式．二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分。請將正確答案填在答題卡的相應橫線上。）11．（4分）請你寫出一個有一根為1的一元二次方程：．（答案不唯一）【分析】可以用因式分解法寫出原始方程，然后化為一般形式即可．解：根據(jù)題意得方程式．故本題答案不唯一，如等．【點評】本題屬于開放性試題，主要考查一元二次方程的概念的理解與掌握．可以用因式分解法寫出原始方程，然后化為一般形式即可，如，后化為一般形式為．12．（4分）邊長為4的正六邊形的邊心距為．【分析】解答本題主要分析出正多邊形的內切圓的半徑就是正六邊形的邊心距，即為每個邊長為4的正三角形的高，從而構造直角三角形即可解．解：正六邊形每個中心角度數(shù)為，根據(jù)每個中心角都分六邊形為等邊三角形，正六邊形的邊長為4，則每個等邊三角形的高即邊心距為．故答案為：【點評】本題考查學生對正多邊形的概念掌握和計算的能力．解答這類題往往一些學生因對正多邊形的基本知識不明確，將多邊形的半徑與內切圓的半徑相混淆而造成錯誤計算．13．（4分）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的側面積是．【分析】利用圓錐側面積公式：是底面圓半徑，是圓錐的母線長）求解．解：圓錐的側面積．故答案為：．【點評】本題考查圓錐是計算，解題的關鍵是記住圓錐的側面積公式．14．（4分）設，是方程的兩個實數(shù)根，則2023．【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系可得出、，將其代入中即可求出結論．解：，是方程的兩個實數(shù)根，，，．故答案為：2023．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系找出、是解題的關鍵．15．（4分）如圖所示，若的半徑為，點是弦上一動點，且到圓心的最短距離為，則弦的長為．【分析】過點作于，連，根據(jù)垂線段最短得到，根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理計算出，即可得到．解：過點作于，連，如圖，，，在中，，，．故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?6．（4分）在一個不透明的布袋中裝有紅色、白色玻璃球共40個，除顏色外其他完全相同．小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，其中摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在左右，則口袋中紅色球可能有6個．【分析】球的總數(shù)乘以紅球所占球的總數(shù)的比例即為紅球的個數(shù)．解：紅球個數(shù)為：個．故答案為：6．【點評】具體數(shù)目應等于總數(shù)乘部分所占總體的比值．17．（4分）如圖，是拋物線的一部分，其對稱軸為直線，它與軸的一個交點為，根據(jù)圖象，可知關于的一元二次方程的解是3或．【分析】根據(jù)拋物線與軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，設另一個交點為，可得，解得的值，關于的一元二次方程的解就是拋物線與軸交點的橫坐標．解：設拋物線與軸的另一個交點坐標為：，拋物線與軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，，解得：，拋物線與軸的另一個交點坐標為：，關于的一元二次方程的解是3或．【點評】本題考查了求拋物線與軸的交點問題，關鍵是掌握拋物線與軸的兩交點關于對稱軸對稱．18．（4分）如圖，在四邊形中，，，于點，且四邊形的面積為12，則的長為．【分析】過點作交的延長線交于點，證明推出，，可得，由此即可解決問題；解：過點作交的延長線交于點，如圖所示，，，，，，，，，，，即，，故答案為．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題（本大題8個小題，19題8分，20-26題每小題8分，共78分。每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟。）19．（8分）解方程：．【分析】提公因式法因式分解解方程即可．解：，，，或，解得，．【點評】本題考查一元二次方程因式分解法，解題的關鍵是掌握因式分解法解方程．20．（10分）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設是方程的一個實數(shù)根，且滿足，求的值．【分析】（1）由方程根的情況，根據(jù)判別式可得到關于的不等式，則可求得的取值范圍；（2）由方程根的定義，可用表示出，代入已知等式可得到關于的方程，則可求得的取值范圍．解：（1）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，△，即，解得；（2）是方程的一個實數(shù)根，，，，，即，解得或，又由（1）可知，．【點評】本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與根的判別式的關系是解題的關鍵．21．（10分）已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）分別寫出圖中點和點的坐標；（2）畫出繞點按順時針方向旋轉后的△；（3）求點旋轉到點所經(jīng)過的路線長（結果保留．【分析】本題的關鍵是正確讀取點的坐標、會根據(jù)要求畫出旋轉后的圖形并會根據(jù)旋轉的性質正確計算，第（3）小問要注意點的旋轉軌跡是一段圓弧．解：（1）、；（2分）（2）如圖（6分）；（3）（7分）（9分）．（10分）【點評】本題考查平面直角坐標系中點的坐標的讀取、平面圖形的旋轉變換．屬于基本題型，掌握基本概念是解題關鍵．22．（10分）如圖，是的直徑，為圓周上一點，，過點的切線與的延長線交于點．求證：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及可知，然后由圓周角定理可知，再根據(jù)對頂角相等即可解答．（2）根據(jù)直角三角形的性質求出，再由定理即可求出．【解答】證明：（1）是的直徑，，由，，又，，，．（2）在中，，得，又，，由切于點，得，在和中，．【點評】本題考查了圓的切線性質、直角三角形的性質、三角形全等的判定方法及圓周角定理的相關知識，有一定的綜合性，但難度不大．23．（10分）某校在學生中開展主題為“火災逃生知多少”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方式進行問卷調查，問卷調查的結果為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，分別記作、、、；并根據(jù)調查結果繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（未完成），請結合圖中所給信息解答下列問題：（1）本次被調查的學生共有50人；在被調查者中“基本了解”的有人；（2）將扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）在“非常了解”的調查結果里，初三年級學生共有5人，其中3男2女，在這5人中，打算隨機選出2位進行采訪，請你用列表法或樹狀圖的方法求出所選兩位同學恰好都是男同學的概率？【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖中的人數(shù)與百分比即可求出總人數(shù)，再乘以所對應的百分比即可解答．（2）先求出人數(shù)與所對應的百分比，再畫圖即可．（2）此題需要兩步完成，所以采用樹狀圖法或者采用列表法都比較簡單．解：（1）（人；（人故答案為：50，10；（2）等級人數(shù)：（人，等級人數(shù)：（人，等級占的比例：，等級占的比例：，如圖：（3）列表如下：共有20種等可能的結果數(shù)，其中恰好都是男同學的結果數(shù)有6種．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，點的坐標是，過點作軸，垂足為，連接．（1）求的面積；（2）若拋物線經(jīng)過點．①求的值；②將拋物線向下平移個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在的內部（不包括的邊界），求的取值范圍（直接寫出答案即可）．【分析】（1）根據(jù)點的坐標是，得出，的長度，即可得出的面積；（2）①把點的坐標代入中，直接得出即可；②利用配方法求出二次函數(shù)解析式即可得出頂點坐標，根據(jù)的中點的坐標以及點的坐標即可得出的取值范圍．解：（1）點的坐標是，軸，，，的面積為：，（2）①把點的坐標代入中，，，②，拋物線頂點的坐標是，過點作于點交于點，的中點的坐標是，的中點的坐標是，的取值范圍是：．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及二次函數(shù)頂點坐標求法，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．25．（10分）要對一塊長60米、寬40米的矩形荒地進行綠化和硬化．（1）設計方案如圖①所示，矩形、為兩塊綠地，其余為硬化路面，、兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形面積的，求、兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．（2）某同學有如下設想：設計綠化區(qū)域為相外切的兩等圓，圓心分別為和，且到、、的距離與到、、的距離都相等，其余為硬化地面，如圖②所示，這個設想是否成立？若成立，求出圓的半徑；若不成立，說明理由．【分析】（1）把、合并成矩形得長為硬化路面的寬），寬為硬化路面的寬），由等量關系求得并檢驗．（