上海市青浦區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年第一學(xué)期九年級期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（時間：100分鐘，滿分：150分）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）1．下列圖形中，一定相似的是（

）A．兩個等腰三角形 B．兩個菱形 C．兩個正方形 D．兩個等腰梯形2．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，則cosA的值是（）A． B． C． D．3．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．C． D．4．下列說法中，正確的是（

）A． B．如果是單位向量，那么C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么5．如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F，G在邊上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．6．如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)和，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題共12題，每小題4分，滿分48分）7．如果，那么．8．已知線段，點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，且．那么．9．已知向量與單位向量方向相同，且，那么．（用向量的式子表示）10．如果兩個相似三角形的周長的比等于，那么它們的面積的比等于．11．如果拋物線的對稱軸是直線，那么b的值等于．12．如果點(diǎn)和點(diǎn)是拋物線（m常數(shù)）上的兩點(diǎn)，那么．（填“>”、“=”、“<”）13．如圖，某人沿著斜坡方向往上前進(jìn)了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡的坡比．14．如果拋物線的頂點(diǎn)在x軸的正半軸上，那么這條拋物線的表達(dá)式可以是．（只需寫一個）15．如圖，點(diǎn)G為等腰直角三角形的重心，，連接，如果，那么．16．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，相交于點(diǎn)O，那么的值為．17．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，將沿直線翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．延長交邊于點(diǎn)F，如果，那么的長為．18．規(guī)定：平面上一點(diǎn)到一個圖形的距離是指這點(diǎn)與這個圖形上各點(diǎn)的距離中最短的距離．如圖①當(dāng)時，線段的長度是點(diǎn)到線的距離；當(dāng)時，線段的長度是點(diǎn)到線段MN的距離；如圖②，在中，，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，，如果點(diǎn)Q為邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)Q到線段的距離不超過，設(shè)的長為d，那么d的取值范圍為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．20．如圖，在梯形中，，對角線、相交于點(diǎn)O，，．(1)求的長；(2)如果，，試用表示向量．21．如圖，在中，，，的平分線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)．(1)求的長；(2)求的值．22．北淀浦河上的浦倉路橋是一座融合江南水鄉(xiāng)文化氣息的現(xiàn)代空間鋼結(jié)構(gòu)人行廊橋．某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“浦倉路橋頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動，他們的操作方法如下：如圖，在河的一側(cè)選取、兩點(diǎn)，在處測得浦倉路橋頂部點(diǎn)的仰角為，再往浦倉路橋橋頂所在的方向前進(jìn)17米至處，在處測得點(diǎn)的仰角為，在處測得地面到水面的距離為米（點(diǎn)、、在一條直線上，，，），求浦倉路橋頂部到水面的距離．（精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）23．已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，與相交于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)如果，求證：．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求、的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（）的條件下，平移該拋物線，使其頂點(diǎn)在射線上，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)與相似時，求平移后的拋物線的表達(dá)式．25．在中，，，．點(diǎn)D、E分別在邊、上，連接，將線段繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，時，與相交于點(diǎn)O，求的值；(2)如圖2，如果，當(dāng)點(diǎn)A、E、F在一條直線上時，求長；(3)如圖3，當(dāng)，時，連接，求的正切值．

參考答案與解析

1．C【分析】本題主要考查了相似圖形的定義，根據(jù)“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的圖形相似”逐個判斷即可．【詳解】解：A、兩個等腰三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意．B、兩個菱形的對應(yīng)邊成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩個正方形角都是直角一定相等，四條邊都相等一定成比例，所以一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；D、兩個等腰梯形的邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；故選C．2．C【分析】首先利用勾股定理求得斜邊AB的長，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：AB===13則cosA==

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．3．B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明，則，，，然后利用性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，，，∴，，A、C、D正確，故不符合要求；B錯誤，故符合要求；故選：B．4．D【分析】本題考查向量的相關(guān)概念，根據(jù)向量的概念和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，所以A錯誤，不符合題意．B、如果是單位向量，那么，所以B錯誤，不符合題意．C、如果，那么，這兩個向量方向不一定相同，所以C錯誤，不符合題意．D、如果非零向量，且，那么，D正確，符合題意．故選：D．5．D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．根據(jù)題意得出，再逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴，∴，故A不正確，不符合題意；B、∵，∴，∴，故B不正確，不符合題意；C、∵，∴，∴，則，當(dāng)時，，故C不正確，不符合題意；D、∵，∴，∴，∴，故D正確，符合題意；故選：D．6．C【分析】將代入解析式，可得，即可判斷①，根據(jù)拋物線開口方向得，利用對稱軸在軸的右側(cè)得，可得，即可判斷②；將點(diǎn)代入解析式可得，即可判斷③，觀察函數(shù)圖象得到時，拋物線有部分在軸上方，有部分在軸下方，即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)和，∴，，故①③正確；∵根據(jù)拋物線開口方向得，利用對稱軸在軸的右側(cè)得，∴，故②正確；觀察函數(shù)圖象得到時，拋物線有部分在軸上方，有部分在軸下方，則或或，故④不正確，故選：C．7．【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，設(shè)，將其代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，∴，故答案為：．8．【分析】本題考查了黃金分割，公式法解一元二次方程．熟練掌握黃金分割，公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由題意知，，即，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，即，∴，解得，或（舍去），故答案為：．9．【分析】本題考查了平面向量，熟練掌握單位向量以及向量同向的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“單位向量是指模等于1的向量”以及“向量同向意味著它們的方向角度相同”即可解答．【詳解】解：∵向量與單位向量方向相同，，∴，故答案為：．10．【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知“相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方”是解題關(guān)鍵．根據(jù)兩個相似三角形的周長的比等于，得到相似比為，即可得到它們的面積比等于．【詳解】解：∵兩個相似三角形的周長的比等于，∴這兩個相似三角形的相似比是，∴它們的面積比等于．故答案為：11．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為直線即可解答．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，解得：，故答案為：．12．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握時，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小．據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵，∴拋物線對稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∵，∴，故答案為：．13．【分析】本題主要考查了求正切值，解題的關(guān)鍵是掌握坡比等于坡角的正切值，先根據(jù)勾股定理求出前進(jìn)的水平距離，再根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，根據(jù)勾股定理可得：，∴，故答案為：．14．（答案不唯一）【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【詳解】解：當(dāng)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為時，拋物線的表達(dá)式為：，故答案為：（答案不唯一）．15．2【分析】本題主要考查了三角形中心的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中心是三角形三條中線的的交點(diǎn)．延長交于點(diǎn)E，連接并延長，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作的平行線，交延長線于點(diǎn)D，通過證明，得出，，則，再證明，推出，即可求解．【詳解】解：延長交于點(diǎn)E，連接并延長，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作的平行線，交延長線于點(diǎn)D，∵，為等腰直角三角形，，∴，∵點(diǎn)G為三角形的重心，∴為中線，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：2．16．【分析】如圖，向下2個格點(diǎn)，向右2個格點(diǎn)為，連接，，設(shè)正方形的邊長為，由勾股定理得，，，由，可知是直角三角形，，則，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，向下2個格點(diǎn)，向右2個格點(diǎn)為，連接，，設(shè)正方形的邊長為，∴，，，∵，∴，∴是直角三角形，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行線的性質(zhì)．熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】本題主要考查了矩形的折疊問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．過點(diǎn)G作，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，先得出，通過證明，得出，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而求證，則，求出，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)G作，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，∵四邊形為矩形，，∴四邊形為矩形，∵，，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵沿直線CE翻折得到，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，故答案為：．18．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題目所給平面上一點(diǎn)到一個圖形的距離的定義．根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)Q到線段的距離為垂線段時，當(dāng)點(diǎn)Q到線段的距離為時．即可解答．【詳解】解：∵，，，∴，根據(jù)勾股定理可得：，當(dāng)點(diǎn)Q到線段的距離為垂線段時，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，當(dāng)時，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∵點(diǎn)Q到線段的距離不超過，∴，當(dāng)點(diǎn)Q到線段的距離為時，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，當(dāng)時，∵，，∴，∵，，∴，∴∴，則，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，∵點(diǎn)Q到線段的距離不超過，∴，綜上：．19．0【分析】本題主要考查了特殊角度的銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值．先將各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值化簡，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．20．(1)3(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，得出，則，進(jìn)而得出，最后根據(jù)即可求解；（2）先得出，則，進(jìn)而得出，由（1）可得，則，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴，∴．21．(1)；(2)的值為．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)，可設(shè)，，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而求出，得出，，即可得出答案；（2）先得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再得出，進(jìn)而得出，由，得出，即可得出答案．【詳解】（1）∵，平分，∴，，在中，，設(shè)，，由勾股定理得：，即，∴，解得，∴，，∴；（2）過作于點(diǎn)，由（）得：，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，由，∴，∴，∴的值為．22．浦倉路橋頂部到水面的距離約為米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，延長交于點(diǎn)，結(jié)合題干的條件，設(shè)米，則米，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)表示出的長，列出關(guān)于的方程，算出，最后利用，即可解題．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，如圖所示：由題意得：，米，米，設(shè)米，則米，在中，由題知，（米），在中，由題知，（米），，解得，，（米），答：浦倉路橋頂部到水面的距離約為米．23．(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（）先由，得到，再根據(jù)性質(zhì)可得，由和等角的補(bǔ)角相等，得出，即可求證；（）由，得，，，則有，從而證明，可得，故可證明；此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．24．(1)，，，(2)；(3)．【分析】（）由待定系數(shù)法即可求解；（）證明，則直線的表達(dá)式為，即可求解；（）當(dāng)與相似時，證明，得到，則

，即可求解；本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用．【詳解】（1）由題意得:，解得：，當(dāng)時，，則，（2）由（）得：∴拋物線解析式為，

由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，軸，由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立得：，解得：（舍去）或，∴時，，則點(diǎn)；（3）由點(diǎn)、的坐標(biāo)得直線的表達(dá)式為：，故設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)、、、的坐標(biāo)得，，，，當(dāng)與相似時，∵，，則，∴，則，即，即，解得：，則點(diǎn)，則拋物線的表達(dá)式為：．25．(1)(2)或；