福建省泉州市永春縣華僑中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

福建省泉州市永春縣華僑中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知扇形圓心角為，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．2．如果點(diǎn)位于第四象限，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．63 B．62 C．61 D．604．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且（），則的最大值為（）A．6 B． C． D．65．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度6．已知函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù)，且時(shí)，是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有之積為（）A． B． C． D．7．有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為A． B． C． D．8．下列條件不能確定一個(gè)平面的是（）A．兩條相交直線 B．兩條平行直線 C．直線與直線外一點(diǎn) D．共線的三點(diǎn)9．兩圓和的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切10．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C．7 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在B處觀測(cè)到一貨船在北偏西方向上距離B點(diǎn)1千米的A處，碼頭C位于B的正東千米處，該貨船先由A朝著C碼頭C勻速行駛了5分鐘到達(dá)C，又沿著與AC垂直的方向以同樣的速度勻速行駛5分鐘后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)該貨船到點(diǎn)B的距離是________千米.12．200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機(jī)抽取40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按1~200編號(hào)，分為40組，分別為1~5，6~10，…，196~200，若第5組抽取號(hào)碼為22，則第8組抽取號(hào)碼為________．若采用分層抽樣，40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人．13．若是三角形的內(nèi)角，且，則等于_____________．14．給出下列四個(gè)命題：①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個(gè)命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號(hào)）15．如圖，緝私艇在處發(fā)現(xiàn)走私船在方位角且距離為12海里的處正以每小時(shí)10海里的速度沿方位角的方向逃竄，緝私艇立即以每小時(shí)14海里的速度追擊，則緝私艇追上走私船所需要的時(shí)間是__________小時(shí).16．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18．某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如表所示．組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組5第2組①第3組30②第4組20第5組10（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試，求：第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率．19．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）寫出函數(shù)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（不必寫出過程）．20．正項(xiàng)數(shù)列：，滿足：是公差為的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列.（1）若，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整數(shù)，滿足?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價(jià)為100元/.設(shè)矩形的長(zhǎng)為.（1）設(shè)總造價(jià)（元）表示為長(zhǎng)度的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)扇形面積公式得到半徑，再計(jì)算扇形弧長(zhǎng).【題目詳解】扇形弧長(zhǎng)故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了扇形的面積和弧長(zhǎng)公式，解出扇形半徑是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解題分析】

由點(diǎn)位于第四象限列不等式，即可判斷的正負(fù)，問題得解.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)位于第四象限所以，所以所以角是第三象限角故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的位置的關(guān)系，還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及三角函數(shù)值的正負(fù)與角的終邊的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得．【題目詳解】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，即3，12，成等比數(shù)列，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力.4、B【解題分析】

利用余弦定理和勾股定理可證得；取，作，根據(jù)平面向量平行四邊形法則可知點(diǎn)軌跡為線段，由此可確定，利用勾股定理可求得結(jié)果.【題目詳解】由余弦定理得：如圖，取，作，交于在內(nèi)（包含邊界）點(diǎn)軌跡為線段當(dāng)與重合時(shí)，最大，即故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模長(zhǎng)最值的求解問題，涉及到余弦定理解三角形的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運(yùn)算確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，根據(jù)軌跡確定最值點(diǎn).5、C【解題分析】

通過圖象可以知道：最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象與橫軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與之相鄰的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，這樣可以求出和最小正周期，利用余弦型函數(shù)最小正周期公式，可以求出，把零點(diǎn)代入解析式中，可以求出，這樣可以求出函數(shù)的解析式，利用誘導(dǎo)公式化為正弦型三角函數(shù)解析式形式，最后利用平移變換解析式的變化得出正確答案.【題目詳解】由圖象可知：函數(shù)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象與橫軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與之相鄰的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則有，而，把代入函數(shù)解析式中，得，所以，而，顯然由向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了由函數(shù)圖象求余弦型函數(shù)解析式，考查了正弦型函數(shù)圖象之間的平移變換規(guī)律.6、D【解題分析】

由y＝f（x+2）為偶函數(shù)分析可得f（x）關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，進(jìn)而分析可得函數(shù)f（x）在（2，+∞）和（﹣∞，2）上都是單調(diào)函數(shù)，據(jù)此可得若f（x）＝f（1），則有x＝1或4﹣x＝1，變形為二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析可得滿足f（x）＝f（1）的所有x之積，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x+2）為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，又由當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)y＝f（x）是單調(diào)函數(shù)，則其在（﹣∞，2）上也是單調(diào)函數(shù)，若f（x）＝f（1），則有x＝1或4﹣x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，變形可得x2+3x﹣3＝0，有2個(gè)根，且兩根之積為﹣3，當(dāng)4﹣x＝1時(shí)，變形可得x2+x﹣13＝0，有2個(gè)根，且兩根之積為﹣13，則滿足f（x）＝f（1）的所有x之積為（﹣3）×（﹣13）＝39；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于綜合題．7、C【解題分析】選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項(xiàng).考點(diǎn)：古典概型名師點(diǎn)睛：對(duì)于古典概型問題主要把握基本事件的種數(shù)和符合要求的事件種數(shù)，基本事件的種數(shù)要注意區(qū)別是排列問題還是組合問題，看抽取時(shí)是有、無順序，本題從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，是組合問題，當(dāng)然簡(jiǎn)單問題建議采取列舉法更直觀一些.8、D【解題分析】

根據(jù)確定平面的公理和推論逐一判斷即可得解．【題目詳解】解：對(duì)選項(xiàng)：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．對(duì)選項(xiàng)：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．對(duì)選項(xiàng)：經(jīng)過直線與直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．對(duì)選項(xiàng)：過共線的三點(diǎn)，有無數(shù)個(gè)平面，故正確；故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查確定平面的公理及推論．解題的關(guān)鍵是要對(duì)確定平面的公理及推論理解透徹，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

由圓的方程可得兩圓圓心坐標(biāo)和半徑；根據(jù)圓心距和半徑之間的關(guān)系，即可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【題目詳解】由圓的方程可知，兩圓圓心分別為：和；半徑分別為：，則圓心距：兩圓位置關(guān)系為：相交本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定；關(guān)鍵是明確兩圓位置關(guān)系的判定是根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的長(zhǎng)度關(guān)系確定.10、A【解題分析】

先求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求結(jié)果.【題目詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，，，，解得，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，．故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解題分析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【題目詳解】由題意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因?yàn)樗运运栽谥杏校杭垂蚀鸢笧椋?【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．12、371【解題分析】

由系統(tǒng)抽樣，編號(hào)是等距出現(xiàn)的規(guī)律可得，分層抽樣是按比例抽取人數(shù)．【題目詳解】第8組編號(hào)是22+5+5+5＝37，分層抽樣，40歲以下抽取的人數(shù)為50%×40＝1（人）．故答案為：37；1．【題目點(diǎn)撥】本題考查系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】∵是三角形的內(nèi)角，且，∴故答案為點(diǎn)睛：本題是一道易錯(cuò)題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.14、②③④【解題分析】

①利用反例證明命題錯(cuò)誤；②先判斷為其中一條對(duì)稱軸；③通過恒等變換化成；④對(duì)兩個(gè)解析式進(jìn)行變形，得到定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均一樣.【題目詳解】對(duì)①，當(dāng)，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯(cuò)；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，，所以為的一條對(duì)稱軸，當(dāng)取，取時(shí)，顯然兩個(gè)數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即成立，故②對(duì)；對(duì)③，，，故③對(duì)；對(duì)④，因?yàn)?，，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對(duì).綜上所述，故填：②③④.【題目點(diǎn)撥】本題對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，求解過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15、【解題分析】

設(shè)緝私艇追上走私船所需要的時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)各自的速度表示出與，由，利用余弦定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．【題目詳解】解：設(shè)緝私艇上走私船所需要的時(shí)間為小時(shí)，則，，在中，，根據(jù)余弦定理知：，或（舍去），故緝私艇追上走私船所需要的時(shí)間為2小時(shí)．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16、【解題分析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng),再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）將代入到函數(shù)表達(dá)式中，得，兩邊都倒過來，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)不等式＜在求和時(shí)進(jìn)行放縮法的應(yīng)用，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算，即可證出．【題目詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過來，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．∵當(dāng)n∈N*時(shí)，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式推出通項(xiàng)公式與放縮法的應(yīng)用是解決本題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．18、（1）人，，直方圖見解析；（2）人、人、人；（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出第組的頻數(shù)，第組的頻率，從而完成頻率分布直方圖．（2）根據(jù)第組的頻數(shù)計(jì)算頻率，利用各層的比例，能求出第組分別抽取進(jìn)入第二輪面試的人數(shù)．（3）設(shè)第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，利用列舉法能出所有基本事件及滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型求得概率．【題目詳解】（1）①由題可知，第2組的頻數(shù)為人，②第組的頻率為，頻率分布直方圖如圖所示，

（2）因?yàn)榈诮M共有名學(xué)生，所以利用分層抽樣在名學(xué)生中抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第組：人，第組：人，第組：人，所以第組分別抽取人、人、人進(jìn)入第二輪面試．（3）設(shè)第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，則從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有種選法，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，其中第組的位同學(xué)中至少有一位同學(xué)入選的有種，分別為：，，，∴第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19、（1）（2）不存在這樣的實(shí)數(shù),理由見解析（3）見解析【解題分析】

（1）代入的值,通過討論的范圍,求出不等式的解集即可；（2）通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)的最值,得到關(guān)于的不等式組,解出并判斷即可；（3）通過討論的范圍,判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,解得或,故；當(dāng)時(shí),,解集為,綜上,的解集為（2）,顯然,,①當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)在上既有最大值又有最小值,所以,,則,即,解得,故不存在這樣的實(shí)數(shù)；②當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)在上既有最大值又有最小值,故,,則,即,解得,故不存在這樣的實(shí)數(shù)；③當(dāng)時(shí),則為上的遞增函數(shù),故函數(shù)在上不存在最大值和最小值,綜上,不存在這樣的實(shí)數(shù)（3）當(dāng)或時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)或時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),著重考查分類討論思想20、（1）84；（2）1033；（3）