2023-2024學年福建省福州市四校教學聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年福建省福州市四校教學聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題所給出的四個選項中，只有一個選項是符合題意的。1．（5分）集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）若a＞b＞0，c＞d，則下列結論正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)﹣c＞b﹣d C．a(chǎn)c＞bd D．3．（5分）函數(shù)y＝﹣|ln（x﹣1）|的圖象大致是（）A． B． C． D．4．（5分）命題p：α是第二象限角或第三象限角，命題q：cosα＜0，則p是q的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）已知tanα＝﹣2，則＝（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．16．（5分）中國的5G技術世界領先，其數(shù)學原理之一便是著名的香農公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C（單位：bit/s）取決于信道寬度W（單位：HZ）、信道內信號的平均功率S（單位：dB）、信道內部的高斯噪聲功率N（單位：dB）的大小，其中叫做信噪比，按照香農公式，若信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（附：lg2≈0.3）（）A．110% B．120% C．130% D．140%7．（5分）命題“對?x∈[1，2]，ax2﹣x+a＞0”為真命題的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C．a(chǎn)≥1 D．8．（5分）已知f（x）＝ax2﹣1是定義在R上的函數(shù)，若對于任意﹣3≤x1＜x2≤﹣1，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．{0} B．[0，+∞） C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題所給出的四個選項中，有多個選項是符合題意的。（多選）9．（5分）下列大小關系正確的是（）A．20.3＜20.4 B．30.2＜40.2 C．log23＜log48 D．log23＞log32（多選）10．（5分）設正實數(shù)x，y滿足x+y＝2，則下列說法正確的是（）A．的最小值為2 B．xy的最小值為1 C．的最大值為4 D．x2+y2的最小值為2（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結論正確的有（）A．函數(shù)的最小正周期為π B．函數(shù)的一個單調增區(qū)間為 C．函數(shù)的一個對稱中心是 D．函數(shù)的一條對稱軸是（多選）12．（5分）已知函數(shù)，下列關于函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A．當k＞1，有1個零點 B．當k＞1時，有3個零點 C．當k＜0時，有9個零點 D．當k＝﹣4時，有7個零點三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。13．（5分）已知扇形的圓心角是2弧度，其周長為6cm，則扇形的面積為cm2．14．（5分）函數(shù)y＝的定義域是．15．（5分）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，則實數(shù)m＝．16．（5分）已知函數(shù)給出下列四個結論：①當a＝0時，f（x）的最小值為0；②當時，f（x）不存在最小值；③f（x）零點個數(shù)為g（a），則函數(shù)g（a）的值域為{0，1，2，3}；④當a≥1時，對任意．其中所有正確結論的序號是．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分。除第17小題10分以外，每小題10分。17．（10分）設m∈R，已知集合，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）當m＝1時，求A∪B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求m的取值范圍．18．（12分）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在[0，π]上的大致圖像．19．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為π．（1）求的值及函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間上的最值．20．（12分）某環(huán)保組織自2023年元旦開始監(jiān)測某水域中水葫蘆生長的面積變化情況并測得最初水葫蘆的生長面積，此后每隔一個月（每月月底）測量一次，通過近一年的觀察發(fā)現(xiàn)，自2023年元旦起，水葫蘆在該水域里生長的面積增加的速度越來越快．最初測得該水域中水葫蘆生長的面積為n（單位：m2），二月底測得水葫蘆的生長面積為24m2，三月底測得水葫蘆的生長面積為64m2，水葫蘆生長的面積y（單位：m2）與時間x（單位：月）的關系有兩個函數(shù)模型可供選擇，一個是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一個是，記2023年元旦最初測量時間x的值為0．（1）請你判斷哪個函數(shù)模型更適合，說明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中水葫蘆生長的面積在幾月起是元旦開始研究時其生長面積的240倍以上？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．（1）當a＝2時，求f（x）≤0的解集；（2）是否存在實數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對滿足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＜P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級遞減周期函數(shù)，周期為T；若恒有f（x+T）＝P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級周期函數(shù)，周期為T．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x2+3是R上的周期為1的2級遞減周期函數(shù)嗎，并說明理由？（2）已知，y＝f（x）是[0，+∞）上的P級周期函數(shù)，且y＝f（x）是[0，+∞）上的嚴格增函數(shù)，當時，f（x）＝sinx+1．求當時，函數(shù)y＝f（x）的解析式，并求實數(shù)P的取值范圍；（3）是否存在非零實數(shù)k，使函數(shù)是R上的周期為T的T級周期函數(shù)？請證明你的結論．

2023-2024學年福建省福州市四校教學聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題所給出的四個選項中，只有一個選項是符合題意的。1．（5分）集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】進行交集的運算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故選：C．【點評】本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．（5分）若a＞b＞0，c＞d，則下列結論正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)﹣c＞b﹣d C．a(chǎn)c＞bd D．【分析】由不等式的性質逐一判斷即可．【解答】解：已知a＞b＞0，c＞d，對于A，由不等式的可加性可得a+c＞b+d，即A正確；對于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝3，d＝1，則a﹣c＝﹣1，b﹣d＝0，則a﹣c＜b﹣d，即B錯誤；對于C，不妨取a＝10，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，則ac＝﹣10，bd＝﹣2，則ac＜bd，即C錯誤；對于D，不妨取a＝10，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，則，，則，即D錯誤．故選：A．【點評】本題考查了不等式的性質，屬基礎題．3．（5分）函數(shù)y＝﹣|ln（x﹣1）|的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】先求出函數(shù)y的定義域，再結合圖象，即可求解．【解答】解：令x﹣1＞0，解得x＞1，故函數(shù)y的定義域為{x|x＞1}，故ACD錯誤，B正確．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象，屬于基礎題．4．（5分）命題p：α是第二象限角或第三象限角，命題q：cosα＜0，則p是q的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】若α是第二象限角或第三象限角，則cosα＜0，舉反例得到不必要性，得到答案．【解答】解：若α是第二象限角或第三象限角，則cosα＜0；若cosα＜0，取α＝π，cosα＝﹣1＜0，此時α不是第二象限角或第三象限角；綜上所述：p是q的充分不必要條件．故選：C．【點評】本題考查了三角函數(shù)在各象限的符合、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．5．（5分）已知tanα＝﹣2，則＝（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．1【分析】利用同角的三角函數(shù)關系式，結合三角函數(shù)齊次式法求值，即可得答案．【解答】解：因為tanα＝﹣2，所以．故選：D．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題．6．（5分）中國的5G技術世界領先，其數(shù)學原理之一便是著名的香農公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C（單位：bit/s）取決于信道寬度W（單位：HZ）、信道內信號的平均功率S（單位：dB）、信道內部的高斯噪聲功率N（單位：dB）的大小，其中叫做信噪比，按照香農公式，若信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（附：lg2≈0.3）（）A．110% B．120% C．130% D．140%【分析】利用對數(shù)減法與換底公式求解即可．【解答】解：當＝1000時，C＝Wlog21001，當＝4000，信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍時，C′＝2Wlog24001，所以＝＝﹣1≈﹣1＝﹣1＝4log10002+1＝lg2+1≈1.4，所以C大約增加了140%．故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)在生活中的實際運用，考查了對數(shù)的基本運算，屬于基礎題．7．（5分）命題“對?x∈[1，2]，ax2﹣x+a＞0”為真命題的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C．a(chǎn)≥1 D．【分析】根據(jù)命題為真命題求出命題的等價條件，結合充分不必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：因為?x∈[1，2]，ax2﹣x+a＞0等價于?x∈[1，2]，，記，所以h（x）＝，則a＞，則a＞成立的一個充分不必要條件可以是a≥1，故選：C．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，求出命題為真命題的等價條件是解決本題的關鍵．8．（5分）已知f（x）＝ax2﹣1是定義在R上的函數(shù)，若對于任意﹣3≤x1＜x2≤﹣1，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．{0} B．[0，+∞） C． D．【分析】由題意得f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2），即f（x）﹣2x＝ax2﹣2x+1在[﹣3，﹣1]上單調遞減，然后對a與0的大小進行分類討論可求．【解答】解：因為對于任意﹣3≤x1＜x2≤﹣1，都有，所以f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2），即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，故f（x）﹣2x＝ax2﹣2x﹣1在[﹣3，﹣1]上單調遞減，當a＝0時，f（x）＝﹣2x+1符合題意，當a＞0時，≥﹣1，解得a≥﹣1，即a＞0，當a＜0時，≤﹣3，解得﹣，綜上，a．故選：C．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調性定義的應用，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，屬于中檔題．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題所給出的四個選項中，有多個選項是符合題意的。（多選）9．（5分）下列大小關系正確的是（）A．20.3＜20.4 B．30.2＜40.2 C．log23＜log48 D．log23＞log32【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調性比較大?。窘獯稹拷猓篈選項：由指數(shù)函數(shù)y＝2x為單調遞增函數(shù)，可得20.3＜20.4成立，所以A選項正確；B選項：由冪函數(shù)y＝x0.2為單調遞增函數(shù)，可得30.2＜40.2成立，所以B選項正確；C選項：由對數(shù)函數(shù)y＝log4x為單調遞增函數(shù)，則log23＝log49＞log48，所以C選項不正確；D選項：由函數(shù)y＝log2x與y＝log3x均為單調遞增函數(shù)，則log23＞log22＝1，而log32＜log33＝1，所以D選項正確．故選：ABD．【點評】本題考查利用函數(shù)的單調性比較大小，屬基礎題．（多選）10．（5分）設正實數(shù)x，y滿足x+y＝2，則下列說法正確的是（）A．的最小值為2 B．xy的最小值為1 C．的最大值為4 D．x2+y2的最小值為2【分析】利用基本不等式得到選項AD正確；xy的最大值為1，所以選項B錯誤；的最大值為2，所以選項C錯誤．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，∴，當且僅當，即x＝y(tǒng)＝1時等號成立，故選項A正確；∵，∴xy≤1，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故選項B錯誤；∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，則2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤2（a2+b2），∴，∴，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時等號成立，最大值為2，故選項C錯誤；，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時等號成立，故選項D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查了基本不等式及相關結論在最值求解中的應用，屬于基礎題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結論正確的有（）A．函數(shù)的最小正周期為π B．函數(shù)的一個單調增區(qū)間為 C．函數(shù)的一個對稱中心是 D．函數(shù)的一條對稱軸是【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+B的圖象與性質，對選項一一驗證即可．【解答】解：對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當時，，所以在上單調遞減，故B錯誤；對于C：函數(shù)的對稱中心縱坐標為3，故C錯誤；對于D：當時，，所以的一條對稱軸是，故D正確．故選：AD．【點評】本題考查正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性，屬于中檔題．（多選）12．（5分）已知函數(shù)，下列關于函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A．當k＞1，有1個零點 B．當k＞1時，有3個零點 C．當k＜0時，有9個零點 D．當k＝﹣4時，有7個零點【分析】設f（x）＝t，即有f（t）＝﹣1，再按k＞1和k＝﹣4討論并作出函數(shù)f（x）圖象，數(shù)形結合即可判斷得解．【解答】解：由y＝0，得f[f（x）]＝﹣1，則函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點個數(shù)即為f[f（x）]＝﹣1解的個數(shù)，設f（x）＝t，則f（t）＝﹣1，二次函數(shù)y＝x2﹣kx+1，其圖象開口向上，過點（0，1），對稱軸為，當k＞1時，y＝x2﹣kx+1在（﹣∞，0]上單調遞減，且y≥1，如圖，由f（t）＝﹣1，得log2t＝﹣1，解得，由f（x）＝t，得，解得，因此函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點個數(shù)是1，A正確，B錯誤；當k＝﹣4時，，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，由圖象知f（t）＝﹣1有3個根，當t＞0時，log2t＝﹣1，解得；當t≤0時，t2+4t+1＝﹣1，解得，當時，，若，則，若，則，此時共有3個解；當時，，此時有1個解，，即有2個解，當時，，此時有1個解，即無解，因此當k＝﹣4時，函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點個數(shù)是7，D正確，C錯誤．故選：AD．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關系，考查運算求解能力，屬于中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。13．（5分）已知扇形的圓心角是2弧度，其周長為6cm，則扇形的面積為cm2．【分析】直接利用扇形的周長和扇形的面積公式求出結果．【解答】解：設扇形的半徑為r，所以2r+2r＝6，解得r＝；故．故扇形的面積為cm2．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：扇形的面積公式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題和易錯題．14．（5分）函數(shù)y＝的定義域是（2kπ，2kπ+π），k∈Z．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則sinx≥0，即0＜sinx≤1，即2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，故函數(shù)的定義域為（2kπ，2kπ+π），k∈Z，故答案為：（2kπ，2kπ+π），k∈Z【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．15．（5分）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，則實數(shù)m＝﹣1．【分析】根據(jù)冪函數(shù)系數(shù)為1并結合單調性即可求解．【解答】解：由題意得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，當m＝2時，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上遞減，不符合題意；當m＝﹣1時，f（x）＝x在（0，+∞）上遞增，符合題意．故答案為：﹣1．【點評】本題考查冪函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．16．（5分）已知函數(shù)給出下列四個結論：①當a＝0時，f（x）的最小值為0；②當時，f（x）不存在最小值；③f（x）零點個數(shù)為g（a），則函數(shù)g（a）的值域為{0，1，2，3}；④當a≥1時，對任意．其中所有正確結論的序號是①②③．【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質求f（x）值域判斷；②由（﹣∞，a）上值域為（a，2a+a），討論a≥0、a＜0確定在[a，+∞）上值域，根據(jù)f（x）不存在最小值，列不等式組求參數(shù)范圍；③討論a＜0、a＝0、a＞0，分析各分段上零點的個數(shù)判斷；④用特殊值a＝4，得到f（3）＝12，f（4）＝48，f（5）＝65即可判斷．【解答】解：①當a＝0時，，在（﹣∞，0）上的值域為（0，1），在[0，+∞）上值域為[0，+∞）．所以f（x）的最小值為0，故①正確；②在（﹣∞，a）上f（x）的值域為（a，2a+a），當a≥0時，在[a，+∞）上值域為[3a2，+∞）；當a＜0時，在[a，+∞）上值域為[﹣a2，+∞）；要使f（x）不存在最小值，則或，解得或﹣1＜a＜0，故②正確；③y＝2x+a至多一個零點，y＝x2+2ax至多有兩個零點，當a＜0時，若x∈[a，+∞），則由x2+2ax＝0，可得x＝0或x＝﹣2a，故f（x）恒有兩個零點；x∈（﹣∞，a）時，若2a+a＞0，則f（x）存在一個零點；若2a+a≤0，f（x）不存在零點，所以a＜0時，f（x）零點個數(shù)可能為2或3個；若a＝0，則，此時2x＞0，即（﹣∞，0）上無零點，而x2＝0?x＝0，故f（x）有一個零點，即g（0）＝1；若a＞0，則，此時（﹣∞，a）上2x+a＞0，無零點，x∈[a，+∞）時，x2+2ax＝0也無解，故f（x）無零點，即g（a）＝0；綜上，g（a）的值域為{0，1，2，3}，故③正確；④當a＝4時，，則f（3）＝12，f（4）＝48，f（5）＝65，所以f（3）+f（5）＝77＜2f（4）＝96，故④錯誤．故答案為：①②③．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質，考查了分類討論思想及函數(shù)的零點問題，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分。除第17小題10分以外，每小題10分。17．（10分）設m∈R，已知集合，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）當m＝1時，求A∪B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求m的取值范圍．【分析】（1）由題意，分別解不等式求出集合A，B，然后由并集運算可得．（2）根據(jù)集合包含關系，對m分類討論即可．【解答】解：（1），即（x﹣1）（2x+3）＜0，解得﹣＜x＜1，可得．2x2+（m﹣2）x﹣m＜0?（2x+m）（x﹣1）＜0，當m＝1時，得﹣＜x＜1，可得．所以．（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，所以A?B，解方程（2x+m）（x﹣1）＝0得或x＝1．當m＝﹣2時，B＝?，不滿足題意；當，即m＞﹣2時，，因為A?B，所以，解得m＞3．當，即m＜﹣2時，，顯然不滿足題意．綜上，m的取值范圍為（3，+∞）．【點評】本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合間的包含關系，屬于中檔題．18．（12分）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在[0，π]上的大致圖像．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式按照“五點法”的步驟，列表、描點、連線即可作出f（x）的圖象．【解答】解：列表：x0ππ2πy120﹣201描點，連線，畫出f（x）在[0，π]上的大致圖像如圖：【點評】本題考查了五點法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象，考查了數(shù)形結合思想，屬于基礎題．19．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為π．（1）求的值及函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間上的最值．【分析】（1）根據(jù)周期確定ω＝2，得到函數(shù)解析式后，代入計算的值，取，解得答案．（2）首先確定，根據(jù)正弦函數(shù)性質計算得到答案．【解答】解：（1）的最小正周期為π，則，ω＝2，，；取，解得，故f（x）的單調遞增區(qū)間為；（2），則，當，即時，；當，即時，；故f（x）的最大值為3，最小值為．【點評】本題考查正弦函數(shù)的單調性與最值，屬于中檔題．20．（12分）某環(huán)保組織自2023年元旦開始監(jiān)測某水域中水葫蘆生長的面積變化情況并測得最初水葫蘆的生長面積，此后每隔一個月（每月月底）測量一次，通過近一年的觀察發(fā)現(xiàn)，自2023年元旦起，水葫蘆在該水域里生長的面積增加的速度越來越快．最初測得該水域中水葫蘆生長的面積為n（單位：m2），二月底測得水葫蘆的生長面積為24m2，三月底測得水葫蘆的生長面積為64m2，水葫蘆生長的面積y（單位：m2）與時間x（單位：月）的關系有兩個函數(shù)模型可供選擇，一個是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一個是，記2023年元旦最初測量時間x的值為0．（1）請你判斷哪個函數(shù)模型更適合，說明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中水葫蘆生長的面積在幾月起是元旦開始研究時其生長面積的240倍以上？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．【分析】（1）由隨著x的增大，y＝nax（n＞0，a＞1）的函數(shù)值增加得越來越快，而的函數(shù)值增加得越來越慢求解；（2）根據(jù)題意，由求解．【解答】解：（1）∵兩個函數(shù)模型在（0，+∞）上都是增函數(shù)，又隨著x的增大，y＝nax（n＞0，a＞1）的函數(shù)值增加得越來越快，而的函數(shù)值增加得越來越慢，∵在該水域中水葫蘆生長的速度越來越快，即隨著時間增加，該水域中水葫蘆生長的面積增加得越來越快，∴第一個函數(shù)模型y＝nax（n＞0，a＞1）滿足要求，由題意知，，解得，所以；（2）由，解得，又＝，故x≥6，∴該水域中水葫蘆生長的面積在7月份是元旦開始研究時其生長面積的240倍以上．【點評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，屬中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．（1）當a＝2時，求f（x）≤0的解集；（2）是否存在實數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對滿足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）關于a的不等式恒成立問題轉化為關于a的函數(shù)最值問題求解，按系數(shù)符號與軸與區(qū)間的關系分類討論求解即可．【解答】解：（1）當a＝2時，函數(shù)f（x）＝4x2+4x﹣3，不等式f（x）≤0即為4x2+4x﹣3≤0，即（2x+3）（2x﹣1）≤0，解得，故不等式f（x）≤0的解集為．（2）設g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1＝（x2﹣1）a2+2xa+1，a∈[﹣2，2]，根據(jù)題意知，g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，①當x2﹣1＝0時，解得x＝±1，若x＝1，則g（a）＝2a+1在[﹣2，2]上單調遞增，則g（a）min＝g（﹣2）＝﹣3＜0，不符合題意；若x＝﹣1，則g（a）＝﹣2a+1在[﹣2，2]上單調遞減，則g（a）min＝g（2）＝﹣3＜0，不符合題意；②當x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1時，g（a）的圖像為開口向下的拋物線，要使g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，需，即，解得或，又﹣1＜x＜1，則此時無解；③當x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1時，g（a）的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，（i）當，即時，g（a）在[﹣2，2]上單調遞增，∴，解得或，∵，，∴此時無解；（ii）當，即＜x＜﹣1或1＜時，∴，∴此時無解；（iii）當，即時，g（a）在[﹣2，2]上單調遞減，∴，解得或，∵，，∴此時無解；綜上，不存在實數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對滿足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立．【點評】本題綜合考查了解一元二次不等式，函數(shù)不等式恒成立，屬于中檔題．22．（12分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＜P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級遞減周期函數(shù)