專題十：“一線三等角”模型下的全等三角形問題解析(有答案)

精品資料，歡迎大家下載！專題十：“一線三等角”模型下的全等三角形問題解析（有答案）知知識(shí)指引一線三等角模型是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，這個(gè)模型在初二階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值以及角度的證明，是一類比較典型的全等模型，下面我們就來學(xué)習(xí)一下這個(gè)一線三等角下的全等三角形。一線三等角模型：處理一線三等角類問題的步驟：首先，找角，其中會(huì)涉及到角度的計(jì)算和對(duì)等處理；其次，找線，也就是所給的定線，往往是指全等時(shí)對(duì)等的那組對(duì)應(yīng)邊；最后，用來判斷全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)來證明或求取相應(yīng)的問題.典型例題典型例題類型一：同側(cè)一線三等角類全等的證明【例1】（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD+CE；（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可證明；（2）同理證明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可證明；【詳解】（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA（∴DE＝AE+AD＝BD+CE．類型二：異側(cè)一線三等角類全等的證明【例2】如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直線l為經(jīng)過點(diǎn)A的任一直線，BD⊥l于D，CE⊥AE，若BD＞CE，試問：

（1）AD與CE的大小關(guān)系如何？請(qǐng)說明理由；

（2）線段BD，DE，CE之間的數(shù)量之間關(guān)系如何？并說明理由．【分析】（1）由已知可得AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD=∠ACE；兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，利用△ABD≌△CAE即可得到AD=CE；

（2）據(jù)△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=EC，又AE=AD+DE，故可得BD=DE+CE．【解答】（1）AD與CE的大小關(guān)系為AD=CE，理由是：

∵CE⊥l于E，∴∠ACE+∠EAC=90°，

又∵∠BAD+∠EAC=∠BAC=90°，∴∠BAD=∠ACE；

∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA=∠AEC=90°；

又∵AB=AC；∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE．

（2）線段BD，DE，CE之間的數(shù)量之間關(guān)系為：BD=DE+CE，理由如下：

∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，又∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE．強(qiáng)化練習(xí)強(qiáng)化練習(xí)1．如圖，△ABC中，AB⊥BC，AD⊥BD，CE⊥BD，AB=BC，若CE=6，AD=2，求DE的長．解：∵AB⊥BC，AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠D=∠CEB=∠ABC=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD，

在△ADB和△BEC中，∠CEB＝∠D，∠ABD∴BD=CE=6，BE=AD=2，∴DE=BD-BE=6-2=4，

答：DE的長是4．2．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分別為D，E，（1）如圖1，①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是；②請(qǐng)寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）如圖2，上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)直接寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①CD＝BE，理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠B，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠B，AC=CB，∴△②AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）②中的結(jié)論不成立．DE＝AD+BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠B，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠B，AC=CB∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CD+CE＝BE+AD，∴DE＝AD+BE．3．如圖1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，點(diǎn)C在直線BD上且與F重合，AB=FD，BC=DE

（1）請(qǐng)說明△ABC≌△FDE，并判斷AC是否垂直FE？

（2）若將△ABC

沿BD方向平移至如圖2的位置時(shí)，且其余條件不變，則AC是否垂直FE？請(qǐng)說明為什么？

【解答】（1）AC⊥EF，理由：∵AB⊥BD于B，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，

在△ABC和△FDE中，AB＝DF，∠B＝∠D，BC＝DE，∴△ABC≌△FDE，∴∠A=∠EFD，

∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，

∴∠ACE=180°-90°=90°，∴AC⊥CE，即AC⊥FE．

（2）AC垂直FE，

理由是∵∠A=∠F（已證），∠ABC=∠ABF=90°，∠AMN=∠FMB，

∴∠F+∠FMB=90°，∴∠A+∠AMN=90°，∴∠ANM=180°4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點(diǎn)C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，求證：ED=AE+BD；（2）如圖2，將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB相交時(shí)，請(qǐng)你探究ED，AE，BD三者之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）∵直線l過點(diǎn)C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，在△AEC和△CDB中，∠EAC=∠BCD，∠AEC=∠BDC∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CE+CD，∴ED=AE+BD；（2）ED=BD﹣AE，理由是：∵直線l過點(diǎn)C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，在△AEC和△CDB中，∠EAC=∠BCD，∵ED=CE﹣CD，∴ED=BD﹣AE．5．如圖，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于點(diǎn)E，AF⊥CF于點(diǎn)F，其中0°＜∠ACF＜45°．

（1）求證：△BEC≌△CFA；

（2）若AF=5，EF=8，求BE的長；

（3）連接AB，取AB的中點(diǎn)為Q，連接QE，QF，判斷△QEF的形狀，并說明理由．．【解答】（1）∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，

∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠B=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，∠B=∠ACF，∠BEC=∠F，BC=A，∴△BEC≌△CFA．

6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線，（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：DE＝AD＋BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，求證：DE＝AD－BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明【詳解】(1)在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴DE＝CD+CE=AD＋BE

(2)在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）∴CD=BE，AD=CE.∴DE=CE-CD=AD-BE.

(3)如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵AC=BC∴△ACD≌△CBE（AAS）.∴CD=BE，AD=CE.∴DE=CD-CE=BE-AD.

∴DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE=BE-AD.7．在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在直線AB上，且DE=CE．

（1）如圖（1），若∠DEC=∠A=90°，BC=3，AD=2，求AB的長；

（2）如圖（2），若DE交BC于點(diǎn)F，∠DFC=∠AEC，猜想AB、AD、BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．

【解答】（1）∵∠DEC=∠A=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，

∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B+∠A=180°，∴∠B=∠A=90°，

在△AED和△CEB中，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，DE＝EC，∴△AED∵AD∥BC，∴∠A=∠EBC，

∵∠DFC=∠AEC，∠DFC=∠BCE+∠DEC，∠AEC=∠AED+∠DEC，∴∠AED=∠BCE，

在△AED和△BCE中，∠AED＝∠BCE，∠A＝∠EBC，DE＝EC8．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點(diǎn)C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，求證：ED=AE+BD；（2）如圖2，將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB相交時(shí)，請(qǐng)你探究ED、AE、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵直線l過點(diǎn)C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，在△AEC和△CDB中，∠EAC=∠BCD∴△AEC≌△CDB（AAS），∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CE+CD，∴ED=AE+BD；（2）ED=BD﹣AE，理由是：∵直線l過點(diǎn)C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，在△AEC和△CDB中，∠EAC=∠BCD，∵ED=CE﹣CD，∴ED=BD﹣AE．9．如圖（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，試說明BC⊥CE的理由；

如圖（2），若△ABC向右平移，使得點(diǎn)C移到點(diǎn)D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的結(jié)論是否成立，并說明理由．

【解答】（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°．

又∵AB=CD，AC=DE，∴△ABC≌△DCE．∴∠B=∠DCE．

∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°．

∴∠BCE=90°，即BC⊥CE；

（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠CDE=90°．

又∵AB=CD，AD=DE，∴△ABD≌△DCE．

∴∠B=∠DCE．∵∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB+∠DCE=90°．∴BD⊥CE．10．CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．【解答】（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的條件是：∠α+∠BCA=180°．證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）.∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．11．如圖1，AB=8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=6cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠D