復合函數(shù)的定義域詳細講義及練習詳細答案

復合函數(shù)一，復合函數(shù)的定義：設(shè)y是u的函數(shù)，即y=f(u),u是x的函數(shù)，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由y=f(u)，u=g(x)復合而成的復合函數(shù)，記作y=f[g(x)],其中u稱為中間變量。二，對高中復合函數(shù)的通解法——綜合分析法1、解復合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫出復合過程例1：指出下列函數(shù)的復合過程。（1）y=√2-x2

(2)y=sin3x

(3)y=sin3x

(4)y=3cos√1-x2解：(１)y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2復合而成的。（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x復合而成的。（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復合而成的。（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2復合而成的。2、解復合函數(shù)題的關(guān)鍵之二是正確理解復合函數(shù)的定義?？聪吕}：例２：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。經(jīng)典誤解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復合而成的。F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復合而成的。由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定義域為[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定義域為[-9、-6]∴f(2x-5)的定義域為[-9、-6]經(jīng)典誤解２：解：∵f(x+3)的定義域為[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定義域為[-9、-7]（下轉(zhuǎn)2頁）注：通過以上兩例誤解可得，解高中復合函數(shù)題會出錯主要原因是對復合函數(shù)的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由y=f(u),u=g(x)復合而成的復合函數(shù)，記作y=f[g(x)],其中u稱為“中間變量”。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成（x+3）的取值范圍，從而導致錯誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復合函數(shù)的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復合而成的復合函數(shù)，其定義域是x的取值范圍。正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)復合而成的。f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復合而成的∵１≤x1﹤2∴4≤u1﹤5∴4≤u2﹤5∴4≤2x2-5﹤5∴2≤x2﹤5∴f(2x-5)的定義域為[２、5]結(jié)論：解高中復合函數(shù)題要注意復合函數(shù)的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關(guān)系的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會出現(xiàn)經(jīng)典誤解１與２的情況。三、高中復合函數(shù)的題型（不包括抽象函數(shù)）題型一：單對單，如：已知f(x)的定義域為[-1,4],求f(x2)的定義域。題型二：多對多，如：已知f(x+3)的定義域為[１、２],求f（2x-5）的定義域。（下轉(zhuǎn)3頁）題型三：單對多，如：已知f(x)的定義域為[0、1],求f(2x-1)的定義域。題型四：多對單，如：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。注：通解法——綜合分析法的關(guān)鍵兩步：第一步：寫出復合函數(shù)的復合過程。第二步：找出復合函數(shù)定義域所真正指代的字母（最為關(guān)鍵）下面用綜合分析法解四個題型題型一：單對單：例3：已知f(x)的定義域為[-1、4],求f(x2)的定義域。第1步：寫出復合函數(shù)的復合過程：f(x2)是由y=f(u),u=x22復合而成的。（由于要同層考慮，且u與x的取值范圍相同，故可這樣變形）f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的?！遞(x)的定義域為[-1、4]第2步：找出復合函數(shù)定義域的真正對應(yīng)∴-1≤x1﹤4即-1≤u﹤4

又∵u=x22∴-1≤x22﹤4(x2是所求f(x2)的定義域，此點由定義可找出)∴-2﹤x2﹤2∴f(x2)的定義域為(-2,2)結(jié)論：此題中的自變量x1,x2通過u聯(lián)系起來，故可求解。題型三：單對多：例4：已知f(x)的定義域為[0,1],求f(2x-1)的定義域。第1步：寫出復合函數(shù)的復合過程：f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1復合而成.第2步：找出復合函數(shù)定義域的真正對應(yīng)：∵0≤x1≤1∴0≤u≤1∴0≤2x2-1≤1∴x2≤1∴f(2x-1)的定義域為[，1]結(jié)論：由此題的解答過程可以推出：已知f(x)的定義域可求出y=[g(x)]的定義域。下轉(zhuǎn)4頁題型四：多對單：如：例5：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。第1步：寫出復合函數(shù)的復合過程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復合而成的。f(x)是由f(u),u=x2復合而成的。第2步：找出復合函數(shù)定義域?qū)?yīng)的真正值：∵0≤x1≤1∴0≤2x1≤2∴-1≤2x1-1≤1∴-1≤u≤1∴-1≤x2≤1∴f(x)的定義域為[-1、1]結(jié)論：由此題的解答過程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域。小結(jié)：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關(guān)鍵在于通過u這個橋梁將x1與x2聯(lián)系起來解題。題型二：多對多：如例6：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。解析：多對多的求解是比較復雜的，但由解題型三與題型四的結(jié)論：已知f(x)的定義域可求出y=f[g(x)]的定義域”已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域可以推出f(x)與y=f[g(x)]可以互求。若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定義域，故這里f(x)成為了聯(lián)系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一個橋梁，其作用與以上解題中u所充當?shù)淖饔孟嗤?。所以，在多對多的題型中，可先利用開始給出的復合函數(shù)的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復合函數(shù)的定義域，具體步驟如下：第一步：寫出復合函數(shù)的復合過程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復合而成的。f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復合而成的。第二步：求橋梁f(x)的定義域：∵1≤x≤2∴4≤x+3≤5∴4≤u≤5設(shè)：函數(shù)y3=(u),u=x下轉(zhuǎn)4頁∴y3=f(x)的定義域為[4、5]第三步：通過橋梁f(x)進而求出y2=f(2x-5):f(x)是由y3=f(u),u=x復合而成的∵4≤x≤5∴4≤u≤5∴4≤2x-5≤5∴≤x2≤5∴f(2x-5)的定義域為：[5]小結(jié)：實際上，此題也可以u為橋梁求出f(2x-5),詳參照例2的解法。四、將以上解答過程有機轉(zhuǎn)化為高中的標準解答模式。如：例7：已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[0、1]，求函數(shù)y=f(x2+1)的定義域。解：∵函數(shù)f(x2+1)中的x2+1相當于f(x)中的x(即u=x2+1,與u=x)∴0≤x2+1≤1∴-1≤x2≤0∴x=0∴定義域為{0}小結(jié)：本題解答的實質(zhì)是以u為橋梁求解。例8：已知y=f(2x-1)的定義域為[0、1],求函數(shù)y=f(x)的定義域。解：由題意：0≤x≤1（即略去第二步，先找出定義域的真正對象）?！?1≤2x-1≤1(即求出u,以u為橋梁求出f(x)視2x-1為一個整體（即u與u的交換）則2x-1相關(guān)于f(x)中的x(即u與u的交換，f(x)由y=f(u),u=x復合而成，-1≤u≤1,∴-1≤x≤1)

∴函數(shù)f(x)的定義域為[-1、1]總結(jié)：綜合分析法分了３個步驟1寫出復合函數(shù)的復合過程。2找出復合函數(shù)定義域所指的代數(shù)。3找出解題中的橋梁（u或f(x)可為橋梁）淺析復合函數(shù)的定義域問題一、復合函數(shù)的構(gòu)成設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當取遍中的元素時，取遍，那么就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復合而成的復合函數(shù)。說明：⑴復合函數(shù)的定義域，就是復合函數(shù)中的取值范圍。⑵稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。⑶與表示不同的復合函數(shù)。例1．設(shè)函數(shù)，求．⑷若的定義域為，則復合函數(shù)中，．注意：的值域．例2：⑴若函數(shù)的定義域是[0，1]，求的定義域；⑵若的定義域是[-1，1]，求函數(shù)的定義域；⑶已知定義域是，求定義域．要點1：解決復合函數(shù)問題，一般先將復合函數(shù)分解，即它是哪個內(nèi)函數(shù)和哪個外函數(shù)復合而成的．解答：⑴函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)．函數(shù)的定義域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函數(shù)的值域為[0，1]．∴，∴，即，∴函數(shù)的定義域[0，]．⑵函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)．的定義域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定義域是[-3，1]．要點2：若已知的定義域為，則的定義域就是不等式的的集合；若已知的定義域為，則的定義域就是函數(shù)的值域。⑶函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)．的定義域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)，而,從而的值域∴∴∴∴的定義域是[1，）．例3：已知函數(shù)定義域是（a,b），求的定義域．解：由題，，，當，即時，不表示函數(shù)；當，即時，表示函數(shù)，其定義域為．說明：①已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：已知的定義域為，求的定義域。實際上是已知中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。②已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：若已知的定義域為，求的定義域。實際上是已知復合函數(shù)直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域,即使函數(shù)的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應(yīng)以的值域做為所求的定義域，因為要確保所求外含數(shù)與已知條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù)，否則所求外含數(shù)將失去解決問題的有效性。換元法其實質(zhì)就是求復合函數(shù)的外函數(shù)，如果外函數(shù)的定義域不等于內(nèi)函數(shù)的值域，那么就確定不了的最值或值域。例4：已知函數(shù),求的值域。分析：令，；則有，復合函數(shù)是由與復合而成，而，的值域即的值域，但的本身定義域為,其值域則不等于復合函數(shù)的值域了。例5：已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式，定義域及奇偶性。分析：因為定義域為{或}令，；則，且所以，定義域不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)。1．在等比數(shù)列中，已知，則n為

（

）A．2

B．3

C．4

D．52．設(shè)是公差為－2的等差數(shù)列，若，則等于

（

）A．82

B．－82

C．132

D．－1323．已知數(shù)列中以后各項由公式給出，則（

）A．

B．－

C．

D．4．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于（

）A．

B．

C．8

D．－85．在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前三個成等比數(shù)列，后三個成等差數(shù)列，則這兩個數(shù)的和是

（

）A．

B．

C．

D．96．等差數(shù)列的前項和為，若，則=

（

）A．190

B．95

C．170

D．857．已知是等比數(shù)列，對恒成立，且，則等于

（

）A．36

B．

C．－6

D．68．已知等差數(shù)列中，，公差；是數(shù)列的前n項和，則（

）A．

B．

C．

D．9．已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，則這個數(shù)列的項數(shù)為

（

）A．2

B．4

C．8

D．1610．已知數(shù)列滿足：，定義使叫做希望數(shù)，則區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有希望數(shù)的和

（

）A．2026

B．2036

C．2046

D．204811．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，，，則數(shù)列的前10項的和等于

（

）A．65

B．75

C．85

D．9512．等差數(shù)列的前n項和為，已知，,則（

）A．38

B．20

C．10

D．9.

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在橫線上．13．已知數(shù)列前4項為4,6,8,10，則其一個通項公式為

_

.14．已知1,a1,a2,4成等差數(shù)列，1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列，則______．15．已知數(shù)列的前n項的和滿足,則=

．16．甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的細胞內(nèi)的，若該細胞開始時2個，記為，它們按以下規(guī)律進行分裂，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，……,記n小時后細胞的個數(shù)為，則=________(用n表示)．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知數(shù)列是一個等差數(shù)列，且，．（1）求的通項；（2）求前n項和的最小值．18．（本小題滿分12分）已知是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；若數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.參考答案一、選擇題1．C；解析：等比數(shù)列中，；∴∴；2．B；解析：因為是公差為－2的等差數(shù)列，∴；3．A；解析：因為，所以，，；4．D；解析：∵－9，a1，a2，－1成等差數(shù)列，所以；∵成等比數(shù)列，所以；∴；5．A；解析：設(shè)中間兩數(shù)為，則；解得，所以；6．B；解析：；7．D；解析：；，∴；8．D；解析：∵，，∴，且，∴，，；∴；9．C；解析：設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，項數(shù)為2n，則有，∴q＝＝2；又，∴，∴2n＝8，故這個數(shù)列的項數(shù)為8；10．A；解析：，∴由為整數(shù)得為整數(shù)，設(shè)為，則，∴；因為，∴區(qū)內(nèi)所有希望數(shù)為，其和；11．C；解析：應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式得∴數(shù)列也是等差數(shù)列，且前10項和為；12．C；解析：因為是等差數(shù)列，所以，由，得：2－＝0，所以＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10．二、填空題13．；解析：該數(shù)列的前項分別可寫成：，所以數(shù)列的通項公式為；14．；解析：∵1,a1,a2,4成等差數(shù)列，∴；∵1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列，∴，又，∴；∴；15．；解析：由得，∴，∴，；∴=；16．；解析：按規(guī)律，，，，……，；∴，即是等比數(shù)列，其首項為2，公比為2，故，∴=．（本題也可由，，，……，猜想出=．）三、解答題17．解：（1）設(shè)的公差為，由已知條件，，解出，．所以．

…………6分（2）．所以時，取到最小值．…………12分18．解：（1）由已知得.從而，即.（…………2分）∴.

（…………6分）（2）因為，∴.

（…………12分）19．解：（1）由已知得，∴當時，；∴，即，∴當時，；∴數(shù)列為等比數(shù)列，且公比；

（…………4分）又當時，，即，∴；∴.

（…………6分）（2）∵，∴；（…………9分）∴的前項和.（…………12分）1.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=A.

B.

C.

D.2【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B3.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則等于

A.

18

B.

24

C.

60

D.

90

【解析】由得得,再由得

則,所以,.故選C4.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于(

)A．13

B．35

C．49

D．63

【解析】故選C.或由,所以故選C.5.等差數(shù)列的前n項和為，且=6，=4，則公差d等于A．1

B

C.-2

D3[解析]∵且.故選C6.已知為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝A.－2

B.－

C.

D.2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1

d＝－7.（等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是A.90

B.100

C.145

D.190【解析】設(shè)公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100然而只就解析式而言，定義域是關(guān)于原點對稱的，且，所以是奇函數(shù)。就本題而言就是外函數(shù)其定義域決定于內(nèi)函數(shù)，的值域，而不是外函數(shù)其解析式本身決定的定義域了。2．求有關(guān)復合函數(shù)的解析式，例6．①已知求；②已知，求．例7．①已知，求；②已知，求．要點3：已知求復合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出（即用表示），再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。例8．①已知是一次函數(shù)，滿足，求；②已知，求．要點4：⑴當已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時，一般用待定系數(shù)法。⑵若已知抽象的函數(shù)表達式，則常用解方程組、消參的思想方法

求函數(shù)的解