2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（二十一）導(dǎo)數(shù)與切線方程 答案版

專題二十一專題二十一導(dǎo)數(shù)與切線方程XXXXXXXXX1．切線方程的求解1．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_________．【答案】【解析】∵點(diǎn)在上，又，，∴曲線在處的切線方程為，即．故答案為．2．曲線過點(diǎn)的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以所求切線的斜率，所以．因?yàn)辄c(diǎn)是切點(diǎn)，所以，所以，即．設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為，故選B．3．已知函數(shù)（且）．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1）∵，∴，∴，又，∴，∴所求切線方程為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，∴，易知，①當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得．②當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得或．③當(dāng)時(shí)，．④當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得或．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．2．已知切線方程求參數(shù)的取值范圍1．已知，直線與曲線相切，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與曲線相切，所以設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，則切線方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)，代入可得．令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以切點(diǎn)為，則，故選B．2．已知，直線與曲線相切，則的最小值是________．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，直線的斜率為，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值是，故答案為．3．公切線問題1．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的一條切線，則________．【答案】或【解析】因?yàn)椋?，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)與相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則，，可得，從而，故答案為．2．已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，則與的公切線條數(shù)為_______．【答案】2【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，則有，則直線的方程為，即，對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，則有，則直線的方程為，即，直線是與的公切線，則，可得，則或，故直線的方程為或，則與的公切線條數(shù)是2條，故答案為2．3．若函數(shù)與存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，聯(lián)立可得，由題意可得且，可得，令，其中，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，．且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由題意可知，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，故選D．4．若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，聯(lián)立，可得，所以，，整理可得，由可得，解得，令，其中，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，且當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，故，故選A．5．若存在斜率為的直線與曲線與都相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與、的切點(diǎn)分別為、，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)橹本€與、都相切，所以，解得，則兩切點(diǎn)重合，即，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選A．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：有且只有兩條直線與函數(shù)，的圖象都相切．【答案】（1）極大值為，沒有極小值；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，故的極大值為，沒有極小值．（2）設(shè)直線分別切，的圖象于點(diǎn)，，由可得，得的方程為，即；由可得，得的方程，即．比較的方程，得，消去，得．令（），則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；由，得，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故有且只有兩條直線與函數(shù)，的圖象都相切．4．其他1．若過點(diǎn)可以作曲線且的兩條切線，則（）A． B．C． D．與的大小關(guān)系與有關(guān)【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)檫^點(diǎn)可以作曲線且的兩條切線，所以，即，所以與的大小關(guān)系與有關(guān)，故選D．2．已知函數(shù)，若曲線存在兩條過點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________．【答案】或【解析】由題得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，又切線過點(diǎn)，可得，整理得，因?yàn)榍€存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根且，若，則，為兩個(gè)重根，不成立，即滿足，解得或，故的取值范圍是或，故答案為或．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值為（）A．9 B． C． D．【答案】B【解析】由，則，又，的最小值轉(zhuǎn)化為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，由，得，與平行的直線的斜率為1，∴，解得或（舍），可得切點(diǎn)為，切點(diǎn)到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為，故選B．4．如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在函數(shù)，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為________．【答案】【解析】如題圖，兩個(gè)函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，在定義域上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù)遞增的速度由慢到快，遞增的速度由快到慢，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足時(shí)，取得最小值，由圖象的示意圖不難發(fā)現(xiàn)，該方程組有唯一一組解：，，所以，，所以的最小值為，故答案為．5．設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_______．【答案】【解析】令、分別向上平移一個(gè)單位可得、，而與關(guān)于對(duì)稱，∴當(dāng)兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時(shí)，P、Q關(guān)于對(duì)稱，|PQ|有最小值，對(duì)應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對(duì)稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴．故答案為．6．（多選）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A． B．C．， D．【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿足條件；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，所以存在，，滿足條件，故選ACD．7．（多選）已知函數(shù)，若的圖象存在兩條相互垂直的切線，則的值可以是（）A． B