5.2.1 三角函數(shù)的概念5種常見考法歸類

5.2.1三角函數(shù)的概念5種常見考法歸類1、任意角的三角函數(shù)的定義條件如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y＝sinα余弦點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x＝cosα正切點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)三角函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z注：三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．2、正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)（1）圖示：（2）口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3、公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．即(sinα＋2kπ＝sinα，cosα＋2kπ＝cosα，tanα＋2kπ＝tanα，其中k∈Z.4、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110－1001－105、利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值有以下幾種情況(1)若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出各三角函數(shù)值．(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)(x≠0)是單位圓上一點(diǎn)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)不是單位圓上一點(diǎn)，則先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).(4)若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．6、判斷三角函數(shù)值符號(hào)的兩個(gè)步驟(1)定象限：確定角α所在的象限．(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來判斷．7、利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式一，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值．(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．考點(diǎn)一利用定義求某角的三角函數(shù)值考點(diǎn)二由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值考點(diǎn)三由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)考點(diǎn)四三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用考點(diǎn)五公式一的簡(jiǎn)單應(yīng)用考點(diǎn)一利用定義求某角的三角函數(shù)值1．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求角的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】在角的終邊上取點(diǎn)，使的長(zhǎng)為1，利用定義求三角函數(shù)的值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中作，在終邊上取點(diǎn)，使的長(zhǎng)為1．由于點(diǎn)在第四象限，與軸正方向的夾角為，因此可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以，，?．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用定義求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義求得正確答案.【詳解】如圖所示，的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在中，，，則，，則．所以，，．3．（2023下·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊關(guān)于原點(diǎn)的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】角與角終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且若角的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，所以角的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，故，故選：B4．（2023下·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義求解，【詳解】由題意得，故選：C5．（2023上·四川眉山·高一?？计谀┮阎堑氖歼吪cx軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求值.【詳解】角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則.故選：A6．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則下列各式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的三角函數(shù)值，再逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榻且宰鴺?biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.7．（2023上·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）如果，那么下列不等式成立的是（

）A．sin<cos<tanB．tan<sin<cosC．cos<sin<tanD．cos<tan<sin【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中作出與單位圓的交點(diǎn)為,由于，則，所以，故．故選：C考點(diǎn)二由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值8．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可得，，則，所以，，．9．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)角α的終邊經(jīng)過下列各點(diǎn)，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(2)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(3)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(4)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為【分析】利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義可知，；（2）由三角函數(shù)定義可知，；（3）由三角函數(shù)定義可知，；（4）由三角函數(shù)定義可知，10．（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.【答案】/【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)及三角函數(shù)的定義求即可.【詳解】由題設(shè)及正切函數(shù)的定義知：.故答案為：11．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知角α的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義求解.【詳解】由題意可知點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由任意角的三角函數(shù)的定義，，所以.故選：D12．（2023上·廣東東莞·高一?？计谥校┮阎堑捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)正弦定義相關(guān)知識(shí)可求.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，所以，故選：D13．（2023上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？计谥校┮阎堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，，，∴．故答案為：．14．（2023上·上海靜安·高三上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊上一點(diǎn)，則.【答案】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)余弦定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榻K邊上一點(diǎn)，則.故答案為：.15．（2023上·河南周口·高三周口市文昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則【答案】－【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)；θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，由題意得α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，.故答案為：16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊落在直線上，求的值．【答案】答案見解析【分析】在角的終邊上任取一點(diǎn)，分、兩種情況，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，求出的值．【詳解】在角的終邊上任取一點(diǎn)，則．當(dāng)時(shí)，，，，．當(dāng)時(shí)，，，，．17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知角的終邊落在直線上，且，求，，的值．【答案】，，.【分析】根據(jù)給定條件，求出角α的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)定義求解即得.【詳解】角的終邊落在直線上，且，取角的終邊上的點(diǎn)，則，所以，；.考點(diǎn)三由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)18．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是角的終邊上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求值即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義知:，所以.故選：A.19．（2023上·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)正弦定義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故選：B.20．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎堑慕K邊上一點(diǎn)，且，則.【答案】【分析】利用正弦函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】由角的終邊上一點(diǎn)，且，可得，解之得或（舍）故答案為：21．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，求和的值．【答案】或【分析】利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，求出的值，再結(jié)合三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，且，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或.22．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）若是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，，則值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義，可得，解得，即，則，所以.故選：C.23．【多選】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出的值，從而可求出角的其它三角函數(shù)值.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD考點(diǎn)四三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用24．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）確定下列正弦、余弦、正切值的符號(hào)：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的象限符號(hào)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以；?）因?yàn)椋词堑谌笙藿?，所以；?）因?yàn)?，即是第四象限角，所?25．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)負(fù)(2)負(fù)(3)負(fù)(4)正(5)負(fù)(6)負(fù)【分析】首先確定角所在象限，再根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律逐個(gè)判斷即可．【詳解】（1）因?yàn)闉榈谌笙藿?，可得為?fù)；（2）因?yàn)椋鵀榈谌笙藿?，所以為第三象限角，可得為?fù)，（3）因?yàn)?，而為第四象限角，所以為第四象限角，可得為?fù)；（4）因?yàn)?，而為第一象限角，所以為第一象限角，所以為正，?）因?yàn)?，而為第三象限角，所以為第三象限角，所以為?fù)，（6）因?yàn)?，而為第二象限角，所以為第二象限角，所以為?fù)．26．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】先判斷角的象限，再結(jié)合誘導(dǎo)公式.【詳解】（1）（2）（3）（4），所以該角在第二象限，27．（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，結(jié)合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，則，所以為第一或第三象限角，反之，當(dāng)為第一或第三象限角時(shí)，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C28．（2023下·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)所給條件得到、，，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，即，又，所以，即，所以，所以角的終邊在第三象限.故選：C29．（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)所在象限可判斷點(diǎn)P所在象限，然后根據(jù)對(duì)稱性可得.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以點(diǎn)P在第四象限，即角為第四象限角，所以為第一象限角，所以為第三象限角.故選：C考點(diǎn)五公式一的簡(jiǎn)單應(yīng)用30．（2023上·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）的值為.【答案】【分析】利用三角的誘導(dǎo)公式求解.【詳解】，故答案為:.31．（2023下·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得出所求值.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.32．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）．【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可解題.【詳解】．故答案為：.33．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）；