均值不等式及其應(yīng)用+第2課時 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊_第1頁
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文檔簡介

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用新授課2.2

不等式第2課時1.掌握均值不等式的變形2.能利用均值不等式及其變形證明不等式知識點：均值不等式的變形

思考：我們利用均值不等式可以證明不等式，可以直接利用

（a，b都是正數(shù)），也可使用還能寫出哪些變形？例1

已知ab＞0，求證：

，并推導(dǎo)出等號成立的條件．證明：因為ab＞0，所以

，根據(jù)均值不等式，得

，即

，因為ab＞0，所以等號成立的條件是a＝b．當(dāng)且僅當(dāng)

，即a2＝b2時，等號成立．例2

已知a，b是實數(shù)，求證：a2＋b2≥2ab．并說明等號成立的條件．證明：因為a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．等號成立時，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)2＝0，即a＝b．思考：均值不等式與a2＋b2≥2ab有何區(qū)別與聯(lián)系？區(qū)別：a2＋b2≥2ab去掉了a，b是正數(shù)的條件；聯(lián)系：均值不等式可以看成a2＋b2≥2ab的一種特殊情況.

假設(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為a，b，abS大正方形=a2＋b2a＝bS大正方形=S三角形當(dāng)且僅當(dāng)小正方形的面積為0即a＝b時取等號．S三角形=2ab大正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和，即a2＋b2≥2ab，例3

已知a，b∈R，求證：（1）(a＋b)2≥4ab；（2）2(a2＋b2)≥(a＋b)2．證明：（1）因為a2＋b2≥2ab，兩邊同時加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即（a＋b）2≥4ab；例3

已知a，b∈R，求證：（1）(a＋b)2≥4ab；（2）2(a2＋b2)≥(a＋b)2．（2）因為a2＋b2≥2ab，兩邊同時加上a2＋b2，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證:練一練解：因為a＞0，b＞0，a＋b＝1，當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立．所以所以同理歸納總結(jié)1.無附加條件：觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)形式，若不能直接使用均值不等式，則結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進行拆項、變形、配湊等，使之達到使用均值不等式的條件．利用均值不等式證明不等式：2.有附加條件：觀察已知條件與待證不等式之間的關(guān)系

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