習(xí)題課1+與球有關(guān)的外接、內(nèi)切問題 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊

與球有關(guān)的外接、內(nèi)切問題習(xí)題課11.理解外接球的概念，掌握多面體的外接球的半徑求法.2.理解內(nèi)切球的概念，掌握多面體的內(nèi)切球的半徑求法.目標(biāo)一：理解外接球的概念，掌握多面體的外接球的半徑求法.

若一個多面體各個頂點(diǎn)都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球.新知講解任務(wù)1：利用直接法求多面體的外接球的半徑.一個正方體的棱長為a，則該正方體的外接球半徑為______，內(nèi)切球半徑為____.解析：設(shè)該正方體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r.正方體的體對角線長即為外接球直徑，棱長即為內(nèi)切球的直徑，小結(jié)：求外接球半徑的常用公式：R2=r2+d2.即

所以

任務(wù)2：利用構(gòu)造法求多面體的外接球的半徑.如圖，若三棱錐的三條側(cè)棱AC、AD、AB兩兩垂直，且AC=1,則其外接球的表面積是______.解析：根據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴如圖，把這個三棱錐可以補(bǔ)成一個同一頂點(diǎn)處三條棱長分別為1，

的長方體，于是長方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為R，則有故其外接球的表面積S＝4πR2＝6π.6π歸納總結(jié)

一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a，b，c，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.abcabc設(shè)其外接球的半徑為R，則有

如圖，三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且側(cè)棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且

，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為________.練一練

解析：因為AB⊥BC，BC⊥CD，構(gòu)造如圖所示的長方體，則AD為三棱錐A－BCD的外接球的直徑.

∴CD=2，∴該長方體為正方體，∴外接球體積

設(shè)外接球的半徑為R.

任務(wù)3：利用確定球心位置法求解球的有關(guān)問題.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝

，AC＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為________.解析：取PC的中點(diǎn)O，∵△PAC為直角三角形且∠PAC＝90°，即點(diǎn)O到點(diǎn)P，A，B，C四點(diǎn)的距離相等，∴O為外接球的球心，∴

∴S球＝4πR2＝16π.∴

，同理

，即OA＝OB＝OP＝OC，16π小結(jié)：找?guī)缀误w的外接球球心，即找點(diǎn)O，使點(diǎn)O與幾何體各頂點(diǎn)的距離相等.如圖，正四棱錐P-ABCD，AB=PA=4，求此四棱錐外接球的體積.練一練解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OP，則O為AC、BD的中點(diǎn)，因為四邊形ABCD是邊長為4的正方形，則由已知，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長為4，則同理PB⊥PD，則∴點(diǎn)O為正四棱錐P-ABCD外接球球心，且球O的半徑為.因此，此四棱錐外接球的體積為目標(biāo)二：理解內(nèi)切球的概念，掌握多面體的內(nèi)切球的半徑求法.球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球.新知講解任務(wù)：利用等體積法求內(nèi)切球的半徑.在正三棱錐A－BCD中，底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的表面積為______，內(nèi)切球半徑為____.解析：如圖，O為△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E為BC的中點(diǎn)，∵底面邊長為2,設(shè)內(nèi)切球半徑為r，球心為O′，解得等體積法求任意三棱錐的內(nèi)切球半徑：1.先求出四個表面的面積和整個錐體的體