五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列

第五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列?1.通過(guò)具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列.2.通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過(guò)關(guān)檢測(cè)01?1.離散型隨機(jī)變量的分布列（1）對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個(gè)或可以

一一列舉

?的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；一一列舉

（2）一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性質(zhì)：①pi≥

0

?，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝

1

?.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的

概率之和

?.0

1

概率之和

2.兩點(diǎn)分布（或0－1分布）如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0＜p＜1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）稱為成功概率.3.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.提醒

超幾何分布中的隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).主要特征為：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.（

）答案：（1）×

（2）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則P（X＝1）＝1－P（X＝0）.

（

）（3）超幾何分布的總體里只有兩類物品.

（

）（4）從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.

（

）答案：（2）√

答案：（3）√

答案：（4）√2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y＝X－2，則P（Y＝2）＝

（

）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析：A

由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P（Y＝2）＝P（X＝4）＝0.3.3.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ表示一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P（ξ＝0）＝

（

）A.0

4.若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P（X＜a）＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.（－∞，2]B.[1，2]C.（1，2]D.（1，2）解析：C

由隨機(jī)變量X的分布列知P（X＜－1）＝0.1，P（X＜0）＝0.3，P（X＜1）＝0.5，P（X＜2）＝0.8，則當(dāng)P（X＜a）＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2].5.一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P（X＝4）的值為

?.

02?離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1】

（1）已知隨機(jī)變量X的分布列為：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝

?，公差d的取值范圍是

?.

（2）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m①求2X＋1的分布列；②求隨機(jī)變量η＝｜X－1｜的分布列.（2）解

①由分布列的性質(zhì)知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為X012342X＋113579從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3②由①知m＝0.3，列表為X01234｜X－1｜10123所以P（η＝1）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝0.2＋0.1＝0.3，P（η＝0）＝P（X＝1）＝0.1，P（η＝2）＝P（X＝3）＝0.3，P（η＝3）＝P（X＝4）＝0.3，故η＝｜X－1｜的分布列為η0123P0.10.30.30.3｜解題技法｜離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.?1.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是

（

）D.P（ξ＜0.5）＝0

超幾何分布【例2】

為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.（1）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；

（2）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.

所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P｜解題技法｜求超幾何分布的分布列的3個(gè)步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）用表格的形式列出分布列.?

端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).（1）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；

（2）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列.

X012P離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】

某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購(gòu)物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就繼續(xù)摸球，規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)的概率；

（2）記X為1名顧客1次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列.

所以1名顧客1次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)額X的分布列為X010203040P｜解題技法｜離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟?

為了加強(qiáng)環(huán)保知識(shí)的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫有“廚余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取20張，按照自己的判斷將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放錯(cuò)誤得0分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）分別求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和（20，40]內(nèi)的人數(shù)；解：（1）由題意知，所抽取的20人中得分落在[0，20]內(nèi)的人數(shù)有0.005

0×20×20＝2（人），得分落在（20，40]內(nèi)的人數(shù)有0.007

5×20×20＝3（人）.因此，所抽取的20人中得分落在[0，20]內(nèi)的人數(shù)有2人，得分落在（20，40]內(nèi)的人數(shù)有3人.（2）從所抽取的20人中得分落在[0，40]的選手中隨機(jī)選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過(guò)20分的人數(shù)，求X的分布列.

X012P03?1.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則P（｜ξ－3｜＝1）＝

（

）ξ1234Pa

2.有6件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中任取2件.若隨機(jī)變量X表示取得正品的件數(shù)，則P（X＞0）＝

（

）

3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，則a＝

（

）

4.（多選）下列說(shuō)法正確的是

（

）A.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，則n＝10D.超幾何分布的實(shí)質(zhì)是古典概型問(wèn)題

5.（多選）一袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（

）A.取出的最大號(hào)碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布

6.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為

?.

解析：由分布列的性質(zhì)得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.答案：40%7.將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體切割為64個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬?，從中隨機(jī)取1個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則P（X＝2）＝

?，P（X＞1）＝

?.

8.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率為

?.

9.已知隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P

答案：（4，9]10.在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒(méi)有獎(jiǎng).某顧客從這10張獎(jiǎng)券中任抽2張.（1）求該顧客中獎(jiǎng)的概率；

（2）求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X（單位：元）的分布列.

X010205060P?11.（多選）某學(xué)校舉行文藝比賽，比賽現(xiàn)場(chǎng)有5名專家教師評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，每位選手的最終得分由專家教師評(píng)分和觀看學(xué)生評(píng)分確定.某選手參與比賽后，現(xiàn)場(chǎng)專家教師評(píng)分情況如下表.觀看學(xué)生全部參與評(píng)分，所有評(píng)分均在