楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用+教學(xué)設(shè)計(jì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

4/4《楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用》（第三課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)高數(shù)學(xué)探究課對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)探究等具有重要作用。前兩課時(shí)學(xué)生已經(jīng)通過搜集資料了解了楊輝三角的歷史，分小組探究出了楊輝三角的性質(zhì)，并選擇某條性質(zhì)探究它的應(yīng)用，本節(jié)課就是展示同學(xué)們小組探究的成果。下面從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行匯報(bào)：教材分析本節(jié)課選自人教A版選擇性必修三第六章數(shù)學(xué)探究課的第三課時(shí)，是在學(xué)習(xí)過二項(xiàng)式定理后的一節(jié)數(shù)學(xué)探究課。結(jié)合對(duì)楊輝三角性質(zhì)的探究和應(yīng)用楊輝三角解決問題，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問題、得到數(shù)學(xué)結(jié)論、推理論證、綜合應(yīng)用的過程，掌握數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在對(duì)楊輝三角性質(zhì)的探究和應(yīng)用過程中，經(jīng)歷從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想的過程，初步掌握數(shù)學(xué)課題研究的基本方法，培養(yǎng)遵守學(xué)術(shù)規(guī)范、堅(jiān)守誠信底線的科學(xué)研究素養(yǎng).學(xué)情分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不單純是數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更重要的是通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)令的豐富的數(shù)學(xué)思想方法提高學(xué)生的思維能力。進(jìn)入高二以后，從學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，學(xué)生已學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和二項(xiàng)式定理，這為學(xué)生探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。從學(xué)生的心理特征來看，高二的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析、探究問題的能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有了很大提高，特別是觀察、探究能力也有了長足的進(jìn)步，為學(xué)生探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用奠定了能力基礎(chǔ)。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)、難點(diǎn)是楊輝三角性質(zhì)的應(yīng)用.四、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一、知識(shí)回顧簡單回顧楊輝三角的歷史背景、地位和作用，并梳理探究出來的楊輝三角的性質(zhì).環(huán)節(jié)二、小組展示課前開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，前兩課時(shí)已經(jīng)了解了楊輝三角的歷史背景、地位和作用，探究了楊輝三角的性質(zhì)，之后各小組選擇某條性質(zhì)來探究性質(zhì)的應(yīng)用，課上分小組進(jìn)行成果展示.潛新組——探究楊輝三角在彈球游戲中的應(yīng)用（見附表1）恒學(xué)組——探究楊輝三角在縱橫圖中的應(yīng)用（見附表2）探源組——探究楊輝三角在堆垛術(shù)中的應(yīng)用（見附表3）環(huán)節(jié)三、課堂小結(jié)通過三個(gè)課時(shí)的探究，同學(xué)們了解了楊輝三角的歷史背景、地位和作用，探究出了楊輝三角的性質(zhì)，并探究了性質(zhì)在生活中的應(yīng)用。在整個(gè)的探究過程中，同學(xué)們不僅僅獲得了數(shù)學(xué)的知識(shí)，還獲得了很多寶貴的經(jīng)驗(yàn)，以及在合作探究中的深厚的友情和團(tuán)隊(duì)的精神。設(shè)計(jì)意圖：肯定學(xué)生們的探究過程，表揚(yáng)學(xué)生們合作探究中的團(tuán)隊(duì)合作精神.環(huán)節(jié)四、課后作業(yè)提供楊輝三角的其它的研究方向，鼓勵(lì)同學(xué)們勇于探索嘗試.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生探究楊輝三角中的眾多奧秘.附表1楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用___19__年級(jí)__10___班完成時(shí)間____2021.12.10___________課題成員分工王延璞（組長，匯報(bào)人）羅成、王曉涵（查找資料）夏添、祁澤耀（匯總資料并發(fā)現(xiàn)規(guī)律）劉芊蔚、楊逸菲（撰寫相關(guān)材料）全體組員（相關(guān)規(guī)律、定理的證明）發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論及發(fā)現(xiàn)過程概述過程：結(jié)合所學(xué)過的二項(xiàng)式定理的知識(shí)，在楊輝三角中橫看，斜看、局部看，整體看，發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。①第n行的和為，即②第n行所有數(shù)字拼在一起為（第4行數(shù)字為1，4，6，4，1，拼在一起為14641=）③自腰上的某個(gè)1開始平行于腰上的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)（曲棍球定理）④從第3條斜線中數(shù)字的和起,其后各斜線中數(shù)字的和是前兩條斜線中數(shù)字和之和（斐波那契）=5\*GB3⑤證明思路及其形成過程描述④將n個(gè)數(shù)相加抽象為C再運(yùn)用組合數(shù)相關(guān)性質(zhì)證明結(jié)論的證明或否定C=C=C=C楊輝三角的應(yīng)用舉例彈球游戲與高爾頓板、謝爾賓斯基三角形、堆垛數(shù)6、收獲與體會(huì)要在日常生活中做一個(gè)有心人，有一雙見微知著的眼睛，才能在日常生活中體會(huì)出數(shù)學(xué)之美，品味出大千世界真正的奧妙。附表2楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用___19__年級(jí)__10___班完成時(shí)間__2021.12.10__1,課題組成員分工：整理匯總：李慶琳題目收集：朱立瑋探究解題：李慶琳朱立瑋蔡文博張?zhí)鞓钒l(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論及發(fā)現(xiàn)過程：對(duì)稱性：每行中與首末兩端“等距離”的兩個(gè)數(shù)相等第n行的和為2楊輝三角與橫縱圖計(jì)數(shù)問題的聯(lián)系證明思路：依據(jù)由特殊到一般地思路來進(jìn)行證明，先試探究4×4特殊橫縱圖與楊輝三角的關(guān)聯(lián)。然后利用加乘原理和排列組合知識(shí)加以驗(yàn)證，最終進(jìn)一步推廣到任意情況。結(jié)論的證明：如右圖，可將橫縱圖旋轉(zhuǎn)便于觀察，依據(jù)分步加法原理：A→C和A→D點(diǎn)分別有1條路徑，則A→E共有1+1=2條路徑。如右圖，依據(jù)相同邏輯，可以發(fā)現(xiàn)A→B共70條路徑，且整個(gè)計(jì)數(shù)過程與楊輝三角數(shù)字分布相同，進(jìn)而證明了這一結(jié)論。楊輝三角應(yīng)用舉例：立體計(jì)數(shù)問題收獲與體會(huì)：數(shù)學(xué)的美妙在于探索不同事物之間的聯(lián)系，由此及彼，一而廣之。從楊輝三角到橫縱圖計(jì)數(shù)問題正很好的體現(xiàn)了這一點(diǎn)，善于觀察，長于聯(lián)想，嚴(yán)謹(jǐn)論證終會(huì)有所收獲。附表3楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用2019年級(jí)10班完成時(shí)間2021.12.111、課題組成員分工整理匯總：劉永杰材料收集：王雨晴、喬玥崎、齊靖鈺定理證明：劉希平、魯子旭、高菲陽、汪怡菲2、發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論及發(fā)現(xiàn)過程概述結(jié)論：①遞歸性：除1之外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)的和②曲棍球定理：自腰上的某個(gè)1開始平行于腰上的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)過程：結(jié)合所學(xué)知識(shí)，觀察楊輝三角的數(shù)字排列順序，進(jìn)行歸納與推斷證明思路及其形成過程描述通過所學(xué)的組合數(shù)的性質(zhì)與楊輝三角的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，由特殊到一般，得到普遍規(guī)律結(jié)論的證明或否定①Cn?1m?1+C②Cn0+Cn+11+Cn+22=Cn+10+Cn+11+Cn+22=Cn+21+Cn+22+C=C楊輝三角的應(yīng)用舉例垛積問題：三角垛、正方垛小球總數(shù)計(jì)算數(shù)列求和公式