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2024屆浙江省9+1高中聯(lián)盟長(zhǎng)興中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則A.140 B.70 C.154 D.772.已知銳角中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知,,直線,若直線過線段的中點(diǎn),則()A.-5 B.5 C.-4 D.44.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù):將三角形數(shù)1,3,6,10記為數(shù)列,將可被5整除的三角形數(shù),按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列,可以推測(cè):()A.1225 B.1275 C.2017 D.20185.函數(shù)f(x)=log3(2﹣x)的定義域是()A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,2]6.已知且,則為()A. B. C. D.7.若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù),則此數(shù)大于2的概率為()A. B. C. D.9.設(shè)偶函數(shù)定義在上,其導(dǎo)數(shù)為,當(dāng)時(shí),,則不等式的解集為()A. B.C. D.10.已知內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,且滿足,則=()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,,那么的值是________.12.函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到.13.計(jì)算__________.14.設(shè),,,若,則實(shí)數(shù)的值為______15.已知圓錐的表面積等于,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則底面圓的半徑為__________.16.函數(shù)的最小正周期為________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)函數(shù).(1)若不等式的解集,求的值;(2)若,①,求的最小值;②若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知平面向量,.(1)若與垂直,求;(2)若,求.19.已知圓:與圓:.(1)求兩圓的公共弦長(zhǎng);(2)過平面上一點(diǎn)向圓和圓各引一條切線,切點(diǎn)分別為,設(shè),求證:平面上存在一定點(diǎn)使得到的距離為定值,并求出該定值.20.將邊長(zhǎng)分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起,形成如圖所示的圖形,由小到大,依次記各陰影部分所在的圖形為第個(gè)、第個(gè)、……、第個(gè)陰影部分圖形.設(shè)前個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足,(1)求的表達(dá)式;(2)寫出,的值,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)定義,記,且恒成立,求的取值范圍.21.已知函數(shù)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0),直線x=x1,x=x2是y=f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最小值為.(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】
利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,及等差數(shù)列的性質(zhì),即可求出結(jié)果.【題目詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
利用余弦定理化簡(jiǎn)后可得,再利用正弦定理把邊角關(guān)系化為角的三角函數(shù)的關(guān)系式,從而得到,因此,結(jié)合的范圍可得所求的取值范圍.【題目詳解】,因?yàn)闉殇J角三角形,所以,,,故,選B.【題目點(diǎn)撥】在解三角形中,如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式,我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件,如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式,那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件,如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式,那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.3、B【解題分析】
根據(jù)題意先求出線段的中點(diǎn),然后代入直線方程求出的值.【題目詳解】因?yàn)?,,所以線段的中點(diǎn)為,因?yàn)橹本€過線段的中點(diǎn),所以,解得.故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線過某一點(diǎn)求解參量的問題,較為簡(jiǎn)單.4、A【解題分析】
通過尋找規(guī)律以及數(shù)列求和,可得,然后計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意可知:則由…可得所以故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查不完全歸納法的應(yīng)用,本題難點(diǎn)在于找到,屬難題,5、C【解題分析】試題分析:利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.解:函數(shù)f(x)=log3(1﹣x)的定義域滿足:1﹣x>0,解得x<1.∴函數(shù)f(x)=log3(1﹣x)的定義域是(﹣∞,1).故選C.考點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.6、B【解題分析】由題意得,因?yàn)?,即,所以,又,又,且,所以,故選B.7、A【解題分析】漸近線為,時(shí),,所以,即,,,故選A.8、D【解題分析】
根據(jù)幾何概型長(zhǎng)度型直接求解即可.【題目詳解】根據(jù)幾何概型可知,所求概率為:本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型概率問題的求解,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】構(gòu)造函數(shù),則,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,又在定義域內(nèi)為偶函數(shù),所以在區(qū)間單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,又等價(jià)于,所以解集為.故選C.點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造法應(yīng)用.本題中,由條件構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)性質(zhì),可得抽象函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù)草圖,即可解得不等式解集.10、A【解題分析】
利用正弦定理以及和與差的正弦公式可得答案;【題目詳解】∵0<A<π,∴sinA≠0由atanA=bcosC+ccosB,根據(jù)正弦定理:可得sinA?tanA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA∴?tanA=1;∴tanA,那么A;故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的正弦定理,,內(nèi)角和定理以及和與差正弦公式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】
首先根據(jù)題中條件求出角,然后代入即可.【題目詳解】由題知,,所以,故.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】試題分析:因?yàn)?,所以函?shù)的的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像的平移變換、兩角差的正弦公式【誤區(qū)警示】在進(jìn)行三角函數(shù)圖像變換時(shí),提倡“先平移,后伸縮”,但“先伸縮,后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中,所以也必須熟練掌握,無論是哪種變形,切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言,即圖像變換要看“變量”變化多少,而不是“角”變化多少.13、【解題分析】
采用分離常數(shù)法對(duì)所給極限式變形,可得到極限值.【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題考查分離常數(shù)法求極限,難度較易.14、【解題分析】
根據(jù)題意,可以求出,根據(jù)可得出,進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出的值.【題目詳解】故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
設(shè)出底面圓的半徑,用半徑表示出圓錐的母線,再利用表面積,解出半徑。【題目詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為,母線為,則底面圓面積為,周長(zhǎng)為,則解得故填2【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)圓錐的表面積求底面圓半徑,屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】
根據(jù)的最小正周期判斷即可.【題目詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷诰鶠?故的最小正周期為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正切余切函數(shù)的周期,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①9,②【解題分析】
(1)根據(jù)不等式的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系,得到的值;(2)①根據(jù)求的最值,可利用求最值;②利用二次函數(shù)恒成立問題求解.【題目詳解】由已知可知,的兩根是所以,解得.(2)①,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,因?yàn)?,解得時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)的最小值是9.②在上恒成立,,又因?yàn)榇肷鲜娇傻媒獾茫?【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式的問題,和基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1);(2)【解題分析】
(1)根據(jù)垂直數(shù)量積為0求解即可.(2)根據(jù)平行的公式求解,再計(jì)算即可.【題目詳解】解:(1)由已知得,,解得或.因?yàn)?所以.(2)若,則,所以或.因?yàn)?所以.所以,所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量垂直與平行的運(yùn)用以及模長(zhǎng)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)(2)【解題分析】
(1)把兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程,再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式與圓的垂徑定理求兩圓的公共弦長(zhǎng);(2)根據(jù)圓的切線長(zhǎng)與半徑的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)的軌跡方程,進(jìn)而求解.【題目詳解】解:(1)由,相減得兩圓的公共弦所在直線方程為:,設(shè)(0,0)到的距離為,則所以,公共弦長(zhǎng)為所以,公共弦長(zhǎng)為.(2)證明:由題設(shè)得:化簡(jiǎn)得:配方得:所以,存在定點(diǎn)使得到的距離為定值,且該定值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓的應(yīng)用.求兩圓的公共弦關(guān)鍵在求公共弦所在直線方程;求動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離問題,首先要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.20、(1);(2),,;(3).【解題分析】
(1)根據(jù)題意,分別求出每一個(gè)陰影部分圖形的面積,即可得到前個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值;(2)依據(jù)遞推式,結(jié)合分類討論思想,即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)先求出的表達(dá)式,再依題意得到,分類討論不等式恒成立的條件,取其交集,即得所求范圍?!绢}目詳解】(1)由題意有,第一個(gè)陰影部分圖形面積是:;第二個(gè)陰影部分圖形面積是:;第三個(gè)陰影部分圖形面積是:;所以第個(gè)陰影部分圖形面積是:;故;(2)由(1)知,,,所以,,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,綜上,數(shù)列的通項(xiàng)公式為,。(3)由(2)知,,,由題意可得,恒成立,①當(dāng)時(shí),,即,所以,②當(dāng)時(shí),,即,所以,③當(dāng)時(shí),,即,所以,綜上,。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求法,數(shù)列不等式恒成立問題的解法以及分類討論思想的運(yùn)用,意在考查學(xué)生邏輯推理能力及運(yùn)算能力。21、(1)f(x)=sin.(2)【解題分析】試題分析:(1)先利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)
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