2024屆遼寧省縣級重點高中協(xié)作體高三上學期11月期中考試數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE3遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2024屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題一、選擇題1.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，故，故選:A.2.設全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，分解因式可得，解得，由可得，由，則，故A正確，B，C，D均錯誤．故選：A.3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則或，解得．而，所以“”是“，”的必要不充分條件．故選：B.4.若關于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，僅需即可，令，因為的對稱軸為，，，所以由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的得，所以，故選：D5.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，，所以，，則，，故．故選：A．6.已知為等比數(shù)列，其公比，前7項的和為1016，則的值為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】依題意，，，解得，因此，所以.故選：C7.現(xiàn)有一個圓臺形狀的容器，從內(nèi)部量，其兩個底面的面積之比為，且軸截面的面積為9平方分米，母線長為上底面圓的半徑的倍，則這個圓臺形容器的容積為（取3）（）A.24升 B.21升 C.30升 D.36升【答案】B【解析】如圖，設圓臺上、下底面圓心分別為C，A，半徑分別為，，由題意得，即，因為圓臺的軸截面面積為9．所以，所以，過點D作于點E，所以．因為母線長為上底面圓的半徑的倍，所以，即．所以，，所以，設上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為，所以該圓臺容器的容積，故選：B．8.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以，令，所以，當，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減；所以，所以即，因為，且，所以，綜上，故選：B.二、選擇題9.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關于中心對稱C.函數(shù)的對稱軸方程為，D.將的圖像向右平移個單位長度后，可以得到的圖像【答案】ACD【解析】對于A:,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;對于B:令,則,故函數(shù)的對稱中心為,故B錯誤;對于C:令,則,故函數(shù)的對稱軸為,故C正確;對于D:將的圖像向右平移個單位長度可得,故D正確.故選:ACD10.對于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設為數(shù)列的前n項和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意知，數(shù)列中，有①，則當時有②，①－②可得．又由，，得，則，，，，則，A正確，B錯誤；若，則，，，，則，C正確，D錯誤．故選：AC.11.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯誤．故選：AC．12.素描幾何體是素描初學者學習繪畫的必學課程，是復雜形體最基本的組成和表現(xiàn)方式，因此幾何體是美術入門最重要的一步．素描幾何體包括：柱體、錐體、球體以及它們的組合體和穿插體．如圖2所示的幾何體可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，已知正四棱柱和正四棱錐的高之比為，且底面邊長均為，若該幾何體的所有頂點都在某個球的表面上，則（）圖1圖2A.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的體積為160B.該幾何體外接球的體積為C.正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角的正弦值為D.正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角的正弦值為【答案】AD【解析】設幾何體外接球的球心為O，正四棱錐為，底面中心為，設正四棱柱為，其下底面中心為，設E是的中點，連接，，設球O的半徑為R，正四棱柱的高為x，則正四棱錐的高為，，所以根據(jù)題意可得，，所以，所以，解得，所以正四棱柱的高為，正四棱錐的高為，球O的半徑為．對于A，組合體的體積為，故A正確；對于B，球O的體積為，故B錯誤；對于C，依題意可知正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角為，所以，故C錯誤；對于D，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知，，則是正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題13.已知，則__________．【答案】【解析】因為，所以，則.故答案為：．14.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則取最大值時，______．【答案】15【解析】由題意知，，設等差數(shù)列的公差為d，則，即，因為，故，即等差數(shù)列為首項為正的遞減數(shù)列，又由，可得，即，故，，即等差數(shù)列前15項為正，從第16項開始為負，故取最大值時，．故答案為：15.15.已知點，，均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為___________.【答案】【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球半徑為，此時，故，則球的體積為.故答案為：16.已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由，變形得，所以．令，則，當時，，所以在上為增函數(shù)，當，則不等式恒成立，當，則，由即，所以在上恒成立，即恒成立．設，，則．當時，，所以單調(diào)遞增；當時，，所以單調(diào)遞減．所以的最大值為，所以，故實數(shù)a的取值范圍是故答案為：.四、解答題17.如圖，在中，是邊上的中線．（1）取的中點，試用和表示；（2）若G是上一點，且，直線過點G，交交于點E，交于點F．若，，求的最小值．解：（1）由題意，為的中點，所以，又為的中點，所以．（2）由，，，得，，所以，因為E，F(xiàn)，G三點共線，則，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.18.根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件根據(jù)統(tǒng)計資料，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量（件）之間近似地滿足關系式（日產(chǎn)品廢品率=×100％）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額）（1）將該車間日利潤（千元）表示為日產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）當該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？解：（1）由題意可知，（2）當時，，令，解得當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值，又是整數(shù)，，，所以當時，函數(shù)由最大值當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取值最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，是的中點，所以，在直角中，，，所以.在矩形中，，，所以.又因為，所以在中，，即，而，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，取中點，連接，易知，，兩兩相互垂直，如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為，則即令，則，所以，所以，所以直線與平面所成角正弦值為.20.設正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）能否從中選出以為首項，以原次序組成的等比數(shù)列.若能，請找出公比最小的一組，寫出此等比數(shù)列的通項公式，并求出數(shù)列的前項和；若不能，請說明理由.解：（1），當時，，即，得或（舍去）.當時，由，……①得，……②得：，化簡得.因為，所以，，即數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）存在.當，時，會得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列，此時的公比，是最小的，此時該等比數(shù)列的項均為偶數(shù)，均在數(shù)列中；下面證明此時的公比最?。?，假若取，公比為，則為奇數(shù)，不可能在數(shù)列中.所以.又，所以，即的通項公式為：，故.21.如圖，已知三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）是外一點，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求最大值．解：（1）由已知，則，所以，化簡可得，又在中，，所以，則，即，又，，所以，，所以；（2）由（1）得，設，則，中，由正弦定理得，即，且，即，在中，由余弦定理得，即，由，所以，所以當，即時，取得最大值為，所以的最大值為.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設，若，是的兩個極值點，證明：．（1）解：，則，的定義域為．①當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當時，令，得（舍去負值），當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由題意得，可知，因為，是的極值點，所以，是方程的兩個不等的正實數(shù)根，所以，，則．要證成立，只需證，即證，即證，即證，設，則，即證．令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，故．遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2024屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題一、選擇題1.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，故，故選:A.2.設全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，分解因式可得，解得，由可得，由，則，故A正確，B，C，D均錯誤．故選：A.3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則或，解得．而，所以“”是“，”的必要不充分條件．故選：B.4.若關于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，僅需即可，令，因為的對稱軸為，，，所以由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的得，所以，故選：D5.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，，所以，，則，，故．故選：A．6.已知為等比數(shù)列，其公比，前7項的和為1016，則的值為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】依題意，，，解得，因此，所以.故選：C7.現(xiàn)有一個圓臺形狀的容器，從內(nèi)部量，其兩個底面的面積之比為，且軸截面的面積為9平方分米，母線長為上底面圓的半徑的倍，則這個圓臺形容器的容積為（取3）（）A.24升 B.21升 C.30升 D.36升【答案】B【解析】如圖，設圓臺上、下底面圓心分別為C，A，半徑分別為，，由題意得，即，因為圓臺的軸截面面積為9．所以，所以，過點D作于點E，所以．因為母線長為上底面圓的半徑的倍，所以，即．所以，，所以，設上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為，所以該圓臺容器的容積，故選：B．8.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以，令，所以，當，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減；所以，所以即，因為，且，所以，綜上，故選：B.二、選擇題9.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關于中心對稱C.函數(shù)的對稱軸方程為，D.將的圖像向右平移個單位長度后，可以得到的圖像【答案】ACD【解析】對于A:,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;對于B:令,則,故函數(shù)的對稱中心為,故B錯誤;對于C:令,則,故函數(shù)的對稱軸為,故C正確;對于D:將的圖像向右平移個單位長度可得,故D正確.故選:ACD10.對于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設為數(shù)列的前n項和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意知，數(shù)列中，有①，則當時有②，①－②可得．又由，，得，則，，，，則，A正確，B錯誤；若，則，，，，則，C正確，D錯誤．故選：AC.11.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯誤．故選：AC．12.素描幾何體是素描初學者學習繪畫的必學課程，是復雜形體最基本的組成和表現(xiàn)方式，因此幾何體是美術入門最重要的一步．素描幾何體包括：柱體、錐體、球體以及它們的組合體和穿插體．如圖2所示的幾何體可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，已知正四棱柱和正四棱錐的高之比為，且底面邊長均為，若該幾何體的所有頂點都在某個球的表面上，則（）圖1圖2A.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的體積為160B.該幾何體外接球的體積為C.正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角的正弦值為D.正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角的正弦值為【答案】AD【解析】設幾何體外接球的球心為O，正四棱錐為，底面中心為，設正四棱柱為，其下底面中心為，設E是的中點，連接，，設球O的半徑為R，正四棱柱的高為x，則正四棱錐的高為，，所以根據(jù)題意可得，，所以，所以，解得，所以正四棱柱的高為，正四棱錐的高為，球O的半徑為．對于A，組合體的體積為，故A正確；對于B，球O的體積為，故B錯誤；對于C，依題意可知正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角為，所以，故C錯誤；對于D，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知，，則是正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題13.已知，則__________．【答案】【解析】因為，所以，則.故答案為：．14.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則取最大值時，______．【答案】15【解析】由題意知，，設等差數(shù)列的公差為d，則，即，因為，故，即等差數(shù)列為首項為正的遞減數(shù)列，又由，可得，即，故，，即等差數(shù)列前15項為正，從第16項開始為負，故取最大值時，．故答案為：15.15.已知點，，均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為___________.【答案】【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球半徑為，此時，故，則球的體積為.故答案為：16.已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由，變形得，所以．令，則，當時，，所以在上為增函數(shù)，當，則不等式恒成立，當，則，由即，所以在上恒成立，即恒成立．設，，則．當時，，所以單調(diào)遞增；當時，，所以單調(diào)遞減．所以的最大值為，所以，故實數(shù)a的取值范圍是故答案為：.四、解答題17.如圖，在中，是邊上的中線．（1）取的中點，試用和表示；（2）若G是上一點，且，直線過點G，交交于點E，交于點F．若，，求的最小值．解：（1）由題意，為的中點，所以，又為的中點，所以．（2）由，，，得，，所以，因為E，F(xiàn)，G三點共線，則，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.18.根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件根據(jù)統(tǒng)計資料，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量（件）之間近似地滿足關系式（日產(chǎn)品廢品率=×100％）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額）（1）將該車間日利潤（千元）表示為日產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）當該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？解：（1）由題意可知，（2）當時，，令，解得當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值，又是整數(shù)，，，所以當時，函數(shù)由最大值當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取值最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，是的中點，所以，在直角中，，，所以.在矩形中，，，所以.又因為，所以在中，，即，而，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，取中點，連接，易知，，兩兩