2024屆江蘇省泰州市靖江市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3江蘇省泰州市靖江市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，即，所?故選：B2.若,，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得,則，由可得，所以，，則，，，故選：A.3.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.8 B.16 C.20 D.24【答案】D【解析】設(shè)公差為，則由，得，，解得，所以，故選：D.4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題知為奇函數(shù)，所以得：，即：，解之得：，故D項(xiàng)正確.故選：D5.命題p：“存在，使得.”成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知：，解之得：，所以：命題成立，只需：，故的取值范圍為：，故選項(xiàng)A正確.故選：A.6.關(guān)于函數(shù)（，），有下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一條對(duì)稱軸是；②函數(shù)的周期；③函數(shù)一個(gè)對(duì)稱中心是；④函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).若其中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，則該錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)可以是（）A.①或② B.①或③ C.②或③ D.③或④【答案】B【解析】由題意得四個(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，所以可以先假設(shè)每個(gè)結(jié)論都是正確的，然后再分別去驗(yàn)證每個(gè)結(jié)論的結(jié)果，當(dāng)①結(jié)論正確時(shí)：需滿足：，；當(dāng)②結(jié)論正確時(shí)：需滿足：；當(dāng)③結(jié)論正確時(shí)：需滿足：，；當(dāng)④結(jié)論正確時(shí)：需滿足：，即或；從四個(gè)結(jié)論都正確時(shí)：可以看出結(jié)論①和結(jié)論③正確與否都與，有關(guān)，又因?yàn)樗膫€(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)錯(cuò)誤，所以結(jié)論②和結(jié)論④都正確，所以得：結(jié)論④正確時(shí)有和兩種可能：當(dāng)時(shí)：對(duì)于結(jié)論③有：，故③結(jié)論正確，對(duì)于結(jié)論①有：，，故①結(jié)論錯(cuò)誤，故此時(shí)：②③④結(jié)論正確，①結(jié)論錯(cuò)誤，滿足題意；當(dāng)時(shí)：對(duì)于結(jié)論③有：，，故③結(jié)論錯(cuò)誤，對(duì)于結(jié)論①有：，故①結(jié)論正確，此時(shí)：①②④結(jié)論正確，③結(jié)論錯(cuò)誤，滿足題意；綜上所述：結(jié)論錯(cuò)誤的為①或③.故選：B.7.如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（）A. B.3 C.9 D.13【答案】C【解析】由題意易知，則，過作于，所以，，所以，不妨設(shè)，則，故.故選：C8.已知，，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，記，則，令，則，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，又時(shí)，，所以，故，所以，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即.記，則，即，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，即，單調(diào)遞增，又，所以，即.綜上，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法正確的有（）A.已知，，若，則或B.已知，滿足，則或C.已知，，，若，且，則D.已知，，滿足且，則【答案】AC【解析】設(shè)，則，所以，由于，故若，，所以或，故或，A正確，當(dāng)，為非零向量時(shí)，滿足時(shí)，，故B錯(cuò)誤，若，則，由于，由A選項(xiàng)可知，故C正確，由得，且，則或者，故D錯(cuò)誤，故選：AC10.在數(shù)列中，若（其中n，，且，p為常數(shù)），則稱數(shù)列為k級(jí)等積數(shù)列，p為數(shù)列的公積.下列對(duì)“k級(jí)等積數(shù)列”的判斷，其中正確的有（）A.數(shù)列是2級(jí)等積數(shù)列B.數(shù)列是4級(jí)等積數(shù)列C.若為k級(jí)等積數(shù)列，則也是k級(jí)等積數(shù)列D.若為k級(jí)等積數(shù)列，則也是k級(jí)等積數(shù)列【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?shù)列是2級(jí)等積數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，若要數(shù)列是4級(jí)等積數(shù)列，則只需，但，矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意若為k級(jí)等積數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)，即或，所以不一定是k級(jí)等積數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意若為k級(jí)等積數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)，從而，所以也是k級(jí)等積數(shù)列，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在處的切線方程為 B.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)的極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】由得，所以，又,所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以A正確；令，顯然在上單調(diào)遞減，且，，所以存在使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，極大值點(diǎn)，所以C正確；因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以D正確因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上無零點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤.故選：ACD12已知，，且，則（）A.的最大值是16 B.的最小值為128C.的最小值為10 D.的最小值為【答案】BD【解析】因?yàn)?，，且，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，由A選項(xiàng)分析可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；因?yàn)?，，且，所以，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以不妨令，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，所以，從而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：BD.三、填空題13.已知，滿足，，則____________.【答案】【解析】由題意，從而，又因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.14.若，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【解析】由題意得：左式，右式，又因?yàn)椋鹤笫接沂?，故?故答案為：.15.已知正數(shù)x，y滿足，，則的值為____________.【答案】9【解析】由可得，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且恒為正，所以為上的單調(diào)增函數(shù)，由于，所以，故，故答案：916.請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式____________.①；②對(duì)任意的n，，都有；③給定，對(duì)任意的，都有.【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)公差為，則由可得，解得，由于，所以,故，故單調(diào)遞增，由于，所以，故，故，由于，且單調(diào)遞增，所以不妨取，則任意的，均滿足，所以故答案為：（答案不唯一）四、解答題17.已知數(shù)列滿足：，.請(qǐng)從①；②中選出一個(gè)條件，補(bǔ)充到上面的橫線上，并解答下面的問題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.（1）解：若選①，則由同除以得，，所以數(shù)列為公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故，故，若選②，則由得，所以為公差為2，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，故，故（2）證明：由（1）知，所以，，，故18.已知，，其中.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，求的值.解：（1）由題意可知：，，又，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）由上可知，易知，又，所以，故19.已知函數(shù)，（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，可得或，令，可得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，可得或，令，可得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）對(duì)任意的，都有，即，令，，故在上單調(diào)遞增，則在恒成立，令，則恒成立，對(duì)稱軸為，要想在上恒成立，需要滿足，解得，解得，此時(shí)對(duì)稱軸在左側(cè)，在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求面積S的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，整理得，所以，又，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理可得，則，因?yàn)?，所以，所以，即面積S取值范圍為.21.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，給定正整數(shù)k，若對(duì)任意的且，都有成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)；證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（1）解：由于數(shù)列具有性質(zhì)，所以對(duì)于，由，所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，由于，，所以，由于數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則，所以（2）證明：由于數(shù)列既具有性質(zhì)，則對(duì)任意的且，由，故對(duì)任意的且，得，對(duì)任意的且，得，故，①又?jǐn)?shù)列既具有性質(zhì)，則對(duì)任意的且，由，②由①②可得由于，所以對(duì)任意的且均成立，故數(shù)列從第三項(xiàng)起，成等比數(shù)列，設(shè)公比為，在中取得，在中取得故數(shù)列為等比數(shù)列，且共比為22.已知函數(shù)和的圖象在處的切線互相垂直.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，證明：.（1）解：由題意，因?yàn)楹瘮?shù)和的圖象在處的切線互相垂直，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的值為1.（2）證明：由題意當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，即恒成立，不妨設(shè)，則，所以，分以下三種情形來討論，情形一：當(dāng)時(shí)，有，即此時(shí)在上單調(diào)遞增，從而有，滿足題意；情形二：當(dāng)即時(shí)，，即此時(shí)在上單調(diào)遞增，從而有，滿足題意；情形三：當(dāng)即時(shí)，不妨令，解得，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而，但這與恒成立矛盾，不符題意.綜上所述：符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）解：由于，從而要證，只需，令，所以，從而只需證明，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，故取可得恒成立，令，可得，所以有，綜上所述：.江蘇省泰州市靖江市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，所?故選：B2.若,，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得,則，由可得，所以，，則，，，故選：A.3.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.8 B.16 C.20 D.24【答案】D【解析】設(shè)公差為，則由，得，，解得，所以，故選：D.4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題知為奇函數(shù)，所以得：，即：，解之得：，故D項(xiàng)正確.故選：D5.命題p：“存在，使得.”成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知：，解之得：，所以：命題成立，只需：，故的取值范圍為：，故選項(xiàng)A正確.故選：A.6.關(guān)于函數(shù)（，），有下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一條對(duì)稱軸是；②函數(shù)的周期；③函數(shù)一個(gè)對(duì)稱中心是；④函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).若其中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，則該錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)可以是（）A.①或② B.①或③ C.②或③ D.③或④【答案】B【解析】由題意得四個(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，所以可以先假設(shè)每個(gè)結(jié)論都是正確的，然后再分別去驗(yàn)證每個(gè)結(jié)論的結(jié)果，當(dāng)①結(jié)論正確時(shí)：需滿足：，；當(dāng)②結(jié)論正確時(shí)：需滿足：；當(dāng)③結(jié)論正確時(shí)：需滿足：，；當(dāng)④結(jié)論正確時(shí)：需滿足：，即或；從四個(gè)結(jié)論都正確時(shí)：可以看出結(jié)論①和結(jié)論③正確與否都與，有關(guān)，又因?yàn)樗膫€(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)錯(cuò)誤，所以結(jié)論②和結(jié)論④都正確，所以得：結(jié)論④正確時(shí)有和兩種可能：當(dāng)時(shí)：對(duì)于結(jié)論③有：，故③結(jié)論正確，對(duì)于結(jié)論①有：，，故①結(jié)論錯(cuò)誤，故此時(shí)：②③④結(jié)論正確，①結(jié)論錯(cuò)誤，滿足題意；當(dāng)時(shí)：對(duì)于結(jié)論③有：，，故③結(jié)論錯(cuò)誤，對(duì)于結(jié)論①有：，故①結(jié)論正確，此時(shí)：①②④結(jié)論正確，③結(jié)論錯(cuò)誤，滿足題意；綜上所述：結(jié)論錯(cuò)誤的為①或③.故選：B.7.如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（）A. B.3 C.9 D.13【答案】C【解析】由題意易知，則，過作于，所以，，所以，不妨設(shè)，則，故.故選：C8.已知，，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，記，則，令，則，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，又時(shí)，，所以，故，所以，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即.記，則，即，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，即，單調(diào)遞增，又，所以，即.綜上，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法正確的有（）A.已知，，若，則或B.已知，滿足，則或C.已知，，，若，且，則D.已知，，滿足且，則【答案】AC【解析】設(shè)，則，所以，由于，故若，，所以或，故或，A正確，當(dāng)，為非零向量時(shí)，滿足時(shí)，，故B錯(cuò)誤，若，則，由于，由A選項(xiàng)可知，故C正確，由得，且，則或者，故D錯(cuò)誤，故選：AC10.在數(shù)列中，若（其中n，，且，p為常數(shù)），則稱數(shù)列為k級(jí)等積數(shù)列，p為數(shù)列的公積.下列對(duì)“k級(jí)等積數(shù)列”的判斷，其中正確的有（）A.數(shù)列是2級(jí)等積數(shù)列B.數(shù)列是4級(jí)等積數(shù)列C.若為k級(jí)等積數(shù)列，則也是k級(jí)等積數(shù)列D.若為k級(jí)等積數(shù)列，則也是k級(jí)等積數(shù)列【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋詳?shù)列是2級(jí)等積數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，若要數(shù)列是4級(jí)等積數(shù)列，則只需，但，矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意若為k級(jí)等積數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)，即或，所以不一定是k級(jí)等積數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意若為k級(jí)等積數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)，從而，所以也是k級(jí)等積數(shù)列，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在處的切線方程為 B.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)的極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】由得，所以，又,所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以A正確；令，顯然在上單調(diào)遞減，且，，所以存在使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，極大值點(diǎn)，所以C正確；因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以D正確因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上無零點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤.故選：ACD12已知，，且，則（）A.的最大值是16 B.的最小值為128C.的最小值為10 D.的最小值為【答案】BD【解析】因?yàn)椋?，且，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，由A選項(xiàng)分析可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；因?yàn)?，，且，所以，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以不妨令，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，所以，從而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：BD.三、填空題13.已知，滿足，，則____________.【答案】【解析】由題意，從而，又因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：.14.若，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【解析】由題意得：左式，右式，又因?yàn)椋鹤笫接沂?，故?故答案為：.15.已知正數(shù)x，y滿足，，則的值為____________.【答案】9【解析】由可得，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且恒為正，所以為上的單調(diào)增函數(shù)，由于，所以，故，故答案：916.請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式____________.①；②對(duì)任意的n，，都有；③給定，對(duì)任意的，都有.【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)公差為，則由可得，解得，由于，所以,故，故單調(diào)遞增，由于，所以，故，故，由于，且單調(diào)遞增，所以不妨取，則任意的，均滿足，所以故答案為：（答案不唯一）四、解答題17.已知數(shù)列滿足：，.請(qǐng)從①；②中選出一個(gè)條件，補(bǔ)充到上面的橫線上，并解答下面的問題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.（1）解：若選①，則由同除以得，，所以數(shù)列為公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故，故，若選②，則由得，所以為公差為2，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，故，故（2）證明：由（1）知，所以，，，故18.已知，，其中.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，求的值.解：（1）由題意可知：，，又，所以，所以，因?yàn)椋?；?）由上可知，易知，又，所以，故19.已知函數(shù)，（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，可得或，令，可得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，可得或，令，可得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）對(duì)任意的，都有，即，令，，故在上單調(diào)遞增，則在恒成立，令，則恒成立，對(duì)稱軸為，要想在上恒成立，需要滿足，解得，解得，此時(shí)對(duì)稱軸在左側(cè)，在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知.（1）求角