函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)題含答案

函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)題含答案

學(xué)校:班級:姓名:考號:

1.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，貝女)

A./(3)</(-5)</(-4)B./(-4)<5)</(3)

C/⑶<f(-4)</(-5)D./(-5)</(-4)</⑶

2.已知f(x)是定義在［2瓦2-用上的偶函數(shù),且在［2瓦0］上為增函數(shù),則

f(2x)的解集為()

A,卜詞B.卜詞D.gl］

3.已知函數(shù)/'(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)滿足/'(x)+(x+1)/(x)>0對xeR恒成立，則下列判

斷一定正確的是()

A.0</(0)<2/(1)B./(0)<0<2/(1)C.0<2/(1)</(0)D.2/(l)<0</(0)

4.已知函數(shù)f(x)=x2-mx+1在區(qū)間(一8,-2］上為減函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是

()

A./(1)<6B./(1)<6C.f(-1)>—2D./(-1)<—2

5.已知函數(shù)y=/(%-1)是定義在R上的偶函數(shù)，且y=/(%)在［-1,+8)上單調(diào)遞增,

則不等式/(一2>1-1)<f(3)的解集為()

A.(2,+8)B.(—8,2)C.(—8,3)D.(3,4-oo)

6.已知aulog??,b=log47,c=tan38°,則a,b,c的大小關(guān)系式為()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

7.已知函數(shù)/(%)=菽(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，若a=/(2i.5),b=

/(40-8),c=/(l°g20,則原從C的大小關(guān)系為()

Ke<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

8.已知函數(shù)/(￡)=［一)：］4x,“10,若八2一t)>/Q),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

xzL1".zvft/LU,

A.(-oo,1)u(2,4-oo)B.(l,2)C.(-8,1)D.(l,+8)

9.定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)滿足x/(x)—l>0,/⑷=2ln2,則不等式/(e，)<x

的解集為()

A.(0,2ln2)B.(-<?,2ln2)C.(2ln2,+oo)D.(l,2ln2)

10."求方程Q)x+(I)'=1的解"，有如下解題思路：設(shè)/(x)=g)X+(|)\則/(x)在

R上單調(diào)遞減，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.類比上述解題思路，可得不

等式ln(%+2)-2lnx>x2-x-2的解集是()

A.(2,+8)B.(—2,+8)C.(0,2)D.(-2,1)

11.已知奇函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽且在R上連續(xù).若x>0時，不等式的解集

為(2,3),則X6R時，f(x)</?(：)的解集為.

12.函數(shù)f(x)=(9、-1，xe［-1,2］的值域?yàn)?

1

?貓瑜=」

13.函數(shù)""""收二高的定義域?yàn)?

14.若函數(shù)/(%)=2"+log2》在［La］上的值域?yàn)椋蹘琢衸，且m-n=16,則

a=.

15.已知函數(shù)=“<!，在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

J(-%24-ax-10,x>1

儂i-期總界嫻宓?<1

吟

16.若f(x)=l一叫笳望”是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是.

17.已知函數(shù)/(%)=+02(了其中aeR.若對任意的非零實(shí)數(shù)看,存

在唯一的非零實(shí)數(shù)到(/聲右)，使得/(%)=/(&)成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

18.已知函數(shù)/(x)=x(2*-2T),則不等式2/(x)-3<0的解集為.

試卷第2頁，總26頁

19.已知函數(shù)f(%)=%-sin%,若f(2%)+f(%2-3)>0,則實(shí)數(shù)％的取值范圍為

2

20.已知f(久)=+}+e?,g(x)=—x—2x—14-a,若存在與WR,x2E

(一l,+8),使得/GJWg(%2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

丫2_2Yy>0

,'-'2/(a)+/(2a)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

{x2+2x,x<0,

22.已知f(x)=言?

(1)判斷/(x)在［-1,1］的單調(diào)性，并用定義加以證明；

(2)求函/(x)在［一1,1］的最值.

23.已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，/(x)=x2+2x-3.

(1)求“X)的解析式；

(2)若f(m+l)<f(2m-l),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

24.已知/(x)=品，x6(-2,2).

(1)用定義證明函數(shù)/(%)在(-2,2)上為增函數(shù)；

(3)若f(a+2)>/(2a-l),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

25.已知函數(shù)/(x)=3x+2.

(1)求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；

(2)求/(x)在［-3,-2］上的最大值和最小值.

26.已知函數(shù)/'(%)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>。時,f［x}=x2+x.

⑴當(dāng)無<。時,求f(%)的解析式;

(2)若/(1+￡1)+〃2￡1)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

27.已知函數(shù)/'(X)=￡g+m(m6R)是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)nt的值；

(2)判斷/(x)的單調(diào)性(不用證明)；

(3)求不等式-x)+/(-2)<0的解集.

28.已知函數(shù)/'(x)=ax-1(a>0,且aH1)滿足/'(1)-/(2)=3

(1)求a的值；

(2)解不等式f(x)<0.

29.已知函數(shù)/'(X)=|x3-ax-1.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

30.設(shè)函數(shù)f(x)=〃\、②的定義域?yàn)镈,其中a<1.

(1)當(dāng)a=-3時，寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間(不要求證明)；

(2)若對于任意的xe［0,2］n。，均有/'(x)2k/成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

31.已知函數(shù)/(x)=*三是定義在R上的奇函數(shù).

(1)求a的值；

(2)判斷并證明函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并利用結(jié)論解不等式：/(%2-2X)+/(3X-2)<0；

(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間［m,可上的取值范圍是［京,得］?若存在，求出

試卷第4頁，總26頁

實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)題含答案

一、選擇題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

1.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得出，它在(-8,0)

上是增函數(shù)，由此得到函數(shù)圖象的變化規(guī)律，由此規(guī)則比較出/(3)、/(-4)、f(-5)的

大小，得出正確選項(xiàng)

【解答】

解：???定義在R上的偶函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)，

此函數(shù)在(一8,0)上是增函數(shù)，

由此知，函數(shù)圖象上的點(diǎn)離y軸越近，函數(shù)值越大.

-1?3<|-4|<|-5|,

???/(-5)</(-4)</(3).

故選D.

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

絕對值不等式的解法與證明

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得2b+l-b=0,可求得b的值，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，列出

不等式組，解之即可得出答案.

【解答】

解：rf(x)是定義在［241—用上的偶函數(shù)，

2b+1—Z?=0,

b=-1.

???/(%)在［一2,0］上為增函數(shù)，

/(%)在［0,2］上為減函數(shù)，距離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

由/(%-1)</(2%)可得優(yōu)-1|>|2x|,

且-2Wx—1W2,—2W2%W2,

解得：-1SxW|.

故不等式的解集為卜1$.

故選B.

3.

試卷第6頁，總26頁

【答案】

A

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設(shè)g(x)=(x+l)f(x),g'(x)=/(x)+(x+>0,則g(無)在R上單調(diào)遞增,

則9(-1)<9(。)<9(1)，即0<f(0)<2/(1).

故選4

4.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

二次函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

由函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得m2-4,計(jì)算f(l),/(-I),由不等式性質(zhì)即可得結(jié)果.

【解答】

解：函數(shù)/(%)=x2-mx+1在區(qū)間(一8,-2］上為減函數(shù)，

所以1>—2?即m>—4,

所以/(I)=2-m<6,/(-I)=2+m>-2.

故選B.

5.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

因?yàn)閥=/Q)是定義在R上的偶函數(shù)，所以在［0,+8)上單調(diào)遞增，則在對稱區(qū)間

(-8,0)上單調(diào)遞減.所以/(-1)=/(I),所以討論黨2%在區(qū)間［0,+8)和(一8,0)兩

種情況，所以log?x>0即x>1時，為了用上函數(shù)y=f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增的條

件，將原不等式變成，/(1噸2切</(1)，根據(jù)單調(diào)性，所以得到log2》<1，x<2,所

以l〈x<2,同樣的辦法，求出Iog2%<0時的原不等式的解，這兩種情況所得的解求

并集即可.

【解答】

解：由函數(shù)y=/(x-l)是偶函數(shù)，得y=f(x)的圖象關(guān)于直線％=-1對稱，

因?yàn)閥=/(x)在［-1,+8)上

單調(diào)遞增，所以y=/(x)在(-8,-1］上單調(diào)遞減.

又一2"T-1<-1J⑶=/(一5),

所以/(-2X-1)</(3)=一2"1-1>-5=2才-1<4=x-l<2=x<3.

故選c.

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

對數(shù)值大小的比較

【解析】

利用對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】

解：log23>log22=1,a>1,

log47>log44=1,b>1,

又..^=用=等=強(qiáng)=log9>log77

77

blog47log27log27

Q>b,

0<tan38°<tan450=1,/.0<c<1,

c<b<a,

故選c.

【答案】

【考點(diǎn)】

指數(shù)式、對數(shù)式的綜合比較

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，分析可得函數(shù)/（x）在［0,+8）上

為減函數(shù)，據(jù)此分析a,b,c結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

【解答】

解：當(dāng)￥20時，"幻=荔三—5，

函數(shù)y=ex+er在［0,+8）上為增函數(shù)，

則函數(shù)y=為減函數(shù)'

又由y=-卷在［0,+8）上為減函數(shù)，

則/⑺=/臺一1|!在區(qū)間。+8）上為減函數(shù)，

由于0<21-5<408=21-6,

所以/（215）>/（4。-8）,即a>b,

利用排除法，可知只有。正確.

故選￡）.

【答案】

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

試卷第8頁，總26頁

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

【解答】

解：根據(jù)題意知，函數(shù)f(x)=［一,二4X"10,

lx2-4x,x<0,

當(dāng)％>0時，/(%)=—x2—4x=—(x+27+4,

則函數(shù)f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，有f(X)</(0)=0.

當(dāng)x<0時，/(x)=X2-4x=(x—2)2—4,

則函數(shù)f(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，有人工)>/(0)=0.

綜上可得函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù).

若/(2-t)>f(t),

則2—t<t,解得t>1,

即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(1,+8).

故選0.

9.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

令9(x)=f(x)-Inx,求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合g(4)=f(4)-In4=0,將/(eD<x

轉(zhuǎn)化為(靖)<g(4),求出x的范圍即可.

【解答】

解：令g(x)=/(x)-Inx,(x>0).

則g'O)=/'(x)-%

Vxf'(x)-1>0,

???r?>p

g'(x)>o,

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

而g(4)=/(4)-2ln2=0，

由/(e*)<x,得/'(e*)-Ine^<0,

即9(靖)<g(4),

故e*<4,解得：x<2ln2.

故選B.

10.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

類比推理

【解析】

由題意，根據(jù)所給信息將問題轉(zhuǎn)化成求x的方程的形式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間進(jìn)行

求解即可.

【解答】

解：當(dāng)％>0時，存在ln(x+2)—2存x=ln(%+2)—ln(%2),

不妨令zn=ln(x+2)—ln(x2),n=x2—x-2,

所以ln(x+2)—2lnx>x2—x—2等價于m>n,

已知函數(shù)f(%)=x2-x-2在R上先遞減后遞增，

所以不等式轉(zhuǎn)化為％+2-x2>x2-x-2,

解得一1<x<2,

因?yàn)閤>0,

所以原不等式的解集為(0,2).

故選C.

二、填空題(本題共計(jì)11小題，每題3分，共計(jì)33分)

11.

【答案】

(-3,-2)U(0,2)n(3,+oo)

【考點(diǎn)】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)恒成立問題

【解析】

由已知可得當(dāng)x>0時，不等式的解集，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可將當(dāng)x>0時,

一/(一切>一/(一￡)的解集為(2,3),令可得x<0的解集，從而可得結(jié)論.

【解答】

解：?：當(dāng)x>0時，不等式f(x)>/"(!)的解集為(2,3),

不等式/'(x)<的解集為(0,2)U(3,+8),

???/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

-1?/(-x)=-/(%)>

當(dāng)x>0時，—f(—x)>—/(—￡)的解集為(2,3),

令t=—x<0,則—/(t)>-/@)的解集為(一3,—2)

/(%)</(})的解集為(一3,-2)U(0,2)n(3,+8).

故答案為：(—3,-2)U(0,2)0(3,4-oo).

12.

【答案】

8

[-或2]

【考點(diǎn)】

函數(shù)的值域及其求法

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

試卷第10頁，總26頁

直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的值域即可.

【解答】

解：因?yàn)閍=[<l,所以/(x)=G)x—1在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)xe[-1,2]時,

函數(shù)在x=2處取得最小值，

2

/(x)min=/(2)=(|)-l=-1；

函數(shù)在％=-1處取得最大值，

"Omax=/(-I)=(J-】-1=2,

所以f(x)=G)x-1在Xe[-1,2]上的值域?yàn)閇一|,2].

故答案為：［一,2］.

13.

【答案】

(-8,2)

【考點(diǎn)】

函數(shù)的定義域及其求法

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】

解不等式2-%>0即可得出函數(shù)f(x)的定義域.

【解答】

對于函數(shù)/'(%)=^^，有2-x>0,解得x<2

因此，函數(shù)八x)=卷的定義域?yàn)?一8,2)

故答案為：(—8,2)

14.

【答案】

4

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)的值域及其求法

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，從而構(gòu)造方程組，解出即可.

【解答】

解：y=2X,y=log2》在口,a］上均為增函數(shù)，

/(%)=2*+log2》在［l,a］上為增函數(shù)，

/(I)=n,’2=n,

f(a)=m,即'2a+log2a=m,

m-n=16,—n=16,

解得a=4.

故答案為：4.

15.

【答案】

U經(jīng)]

\2,7.

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】

【解答】

p-2a<0,

解：因?yàn)?Xx）是在R上的減函數(shù)，所以1牌1,

\1-2a-4a

fa>l>

解得\a<2,故QG化省.

故答案為：抖

16.

【答案】

11

[8,3）

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

【解析】

（3Q—1<0

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得標(biāo)a-1）X1+4a>-ax1+4a>-a,解不等式組即可

（a>0

求解.

【解答】

3a—1<0

由題意知，3Q-1）x1+4aN—Qx1+4aZ—a

a>0

（a<-

解得a、%，所以

L>o

故答案為：仁,：）

O3

17.

【答案】

試卷第12頁，總26頁

【考點(diǎn)】

分段函數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

無

【解答】

解：當(dāng)x20時，f(x)=2*+kaZ單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時，/(%)=--4%+(a-3/單

調(diào)遞減.

若對任意的非零實(shí)數(shù)存在唯一的非零實(shí)數(shù)小(%1*刀2)，使得/(xj=/(亞)成立，

則1+ka2=(a—37，

整理可得：(k-l)a2+6a-8=0,

則問題轉(zhuǎn)化為(k-l)a2+6a-8=0有實(shí)數(shù)解.

當(dāng)k=l時，a=%滿足題意；

當(dāng)kH1時，4=36+32(k-1)>0,

解得：

k>O

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為卜1+8).

故答案為：［一焉,+8).

18.

【答案】

(-1.D

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)奇偶性的判斷

奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】

先判定函數(shù)是偶函數(shù)，再判定x>0時，單調(diào)遞增，即可解決.

【解答】

解：因?yàn)閒(x)=x(2X—2-x)定義域?yàn)镽,

故/(-X)=-x(2~x-2X)=f(x),

故函數(shù)是偶函數(shù)，

又因?yàn)槭?久)=2,-2-久+%?In2(2x+2-x),

當(dāng)％>0時，/'(無)>0,

故f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?1)=1

故2/(%)-3<。化為f(x)</(I),

即|x|<1,解得一1<x<1,

故原不等式的解集為

故答案為：(—1,1).

19.

【答案】

(-00,-3)n(l,+oo)

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷你函數(shù)單調(diào)性，涉及函數(shù)奇偶性的判斷，以及理應(yīng)函數(shù)性質(zhì)解

不等式.

【解答】

解：因?yàn)?■(-工)=-x+sinx=-/(%),且其定義域?yàn)镽,

故/(x)是奇函數(shù)；

又f'(x)=1—cosx>0,

故/(x)在R上單調(diào)遞增，

故/(2x)+fQ2-3)>0,

也即f(2x)>/(3-x2),

也可得2x>3—x2.即+2x—3>0,

(3+x)(x-1)>0,

解得xe(-8,3)0(1,+8).

故答案為：(-00,-3)n(1,+co).

20.

【答案】

(e2,+oo)

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

由題意得存在€R,x2e(-1,+8),使得/'(xj<g(X2)成立，等價于Xi€R,x2G

(-1,+8),使得/"(Xi)min〈g(X2)max成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/O)的單調(diào)性，可得函數(shù)

“X)的值域；利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)值域，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】

解：因?yàn)榇嬖趢R,x2G(-1,+°0),使得/'(X。<g(%2)成立，

等價于3GR,X2e(一1,+8),使得f(*i)min<g(>2)max成立，

因?yàn)閒'(x)=(x+l)ex,

函數(shù)f(x)在XG(一1,+8)上單調(diào)遞增，在XG(一8,-1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X=-1時，函數(shù)/(X)取得極小值即最小值，

此時/'(x)min>/(-I)=-1+|+e2=e2,

而g(x)=—x2—2x—1+a=—(x+l)2+a,

可知函數(shù)儀尤)在xe(-1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)<g(-l)=a,EPe2<a,

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e2,+oo),

故答案為：(e2,+a>).

21.

【答案】

試卷第14頁，總26頁

卜于V

【考點(diǎn)】

分段函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)的圖象

一元二次不等式的解法

【解析】

無

【解答】

解:作出/(%)的圖象,

/Q)是偶函數(shù)且在(一8,-1)和(0,1)上單調(diào)遞減，在(一1,0)和(1,+8)上單調(diào)遞增,

令g(a)=2f(a)+/(2a),

則g(-a)=2/(-a)+/(-2a)

=2/(a)+/(2a)=g(a),

即g(a)是偶函數(shù)，故只需考慮當(dāng)a>0時的情形.

當(dāng)a>0時，g(a)=2(a2—2a)+[(2a)2—2■(2a)]

=6a2-8a=6a(a-g)<0,

得0<a<w，

所以，當(dāng)a<0時，—]<a<0也符合題意，

又因?yàn)楫?dāng)a=0時，g(a)=0不符合題意，

所以，綜上所述a的取值范圍是(―/0)U(0t).

故答案為：(一9，0)u(o,3)一

三、解答題(本題共計(jì)10小題，每題10分，共計(jì)100分)

22.

【答案】

解：(1)函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；證明如下：

設(shè)任意一1<%<%2<1，

m||r/xx_2%i2X_2/好+2右一2不混一20_2(X-X)(1-^1X),

貝V(/v)-f(X2)一而一而2――滋+1)出+1)--(呼1+12)(丁+1)2<n°'

故函數(shù)f(X)在上單調(diào)遞增；

(2)由(1)的結(jié)論,/(x)在區(qū)間［一1,1］上單調(diào)遞增，則/(x)的最大值f(l)=1,最小值

/(-D=-l.

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

(1)利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步

驟完成即可；

(2)由(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可解答.

【解答】

解：(1)函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞增；證明如下：

設(shè)任意一1</<小<1，

皿1_2心2Xz_2久工。+2--2工2督-2-_2舊』)。一"2),n

'/(1)/(2)-x2+1x2+1~(xj+l)(xj+l)—(x^+l)(x1+l)'

故函數(shù)〃X)在上單調(diào)遞增；

(2)由(1)的結(jié)論，/(￡)在區(qū)間［一1,1］上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值/(1)=1,最小值

/(-D=-l.

23.

【答案】

解：(1)當(dāng)x<0時，/(x)=/(-X)=(-x)2+2-(-x)-3=%2-2%-3,

所以/(￡)=『：+華一產(chǎn)??？

3—2%—3,%<0.

(2)當(dāng)％>0時，f(x)=%24-2x—3=(%4-l)2—4,

因此當(dāng)工30時，該函數(shù)單調(diào)遞增，

因?yàn)?(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)久N0時，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以由

f(m+1)Vf(2m-1)=/(|m+1|)</(|2m—1|)=>|m+1|<\2m-1|

因此(m+l)2<(2m—I)2=>m2—2m>0=>m>2或m<0,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|?n<0或m>2}.

【考點(diǎn)】

分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法

奇偶性與單調(diào)性的綜合

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)當(dāng)％<。時，/(%)=/(—x)=(―%)2+2-(—%)-3=%2—2%—3,

X2+2%—3,%>0,

所以/(%)=

.%2—2x—3,x<0.

(2)當(dāng)x>0時，/(%)=%24-2%-3=(x+I)2-4,

因此當(dāng)％N0時，該函數(shù)單調(diào)遞增，

因?yàn)?W是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)工20時，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以由

f(m+1)</(2m-1)=>/(|m+1|)</(|2m-1|)=>|m4-1|<\2m-1|

試卷第16頁，總26頁

因此(m+l)2<(2m—l)2=>m2—2m>0=>m>2或m<0,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是｛m|m<0或m>2｝.

24.

【答案】

(1)證明：任取%1，%2€(-2,2),且X1<%2,

所以f(%1)-f(%2)=標(biāo)匕一___方_%下2(%2-％1)(342-4)

(*+4)出+4)'

因?yàn)?2V<外V2,

所以次—>0，—4<0,

則f@1)-f(%2)<0,即f(*i)<f(%2),

所以函數(shù)/(%)在(-2,2)上為增函數(shù).

(2)解：由⑴知,/(x)在(一2,2)上單調(diào)遞增，又f(a+2)>f(2a—1),

—2<Q+2<2，

所以｛-2<2a-1<2,

、Q+2>2Q—1,

-4<a<0,

解得-g<a<I，

、a<3,

即——<a<0,

所以a的取值范圍是(心,0).

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，采用作差法判斷—2<X]<打<2時/(力)-/(女)的符

號，即可證明.

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論得到關(guān)于a的不等式組，求解即可.

【解答】

(1)證明：任取右，x26(-2,2),且與<%2，

所以八/。1)一)f\(小LJ)=要xf+4一x關(guān)f+4=((x力j+4叱)(^穴2+4)).

因?yàn)橐?V4V%2V2,

所以第2—>0，%iX2—4<0,

則/。1)一f(打)<0,即fQi)</(X2),

所以函數(shù)/(%)在(-2,2)上為增函數(shù).

⑵解:由(1)知,/(x)在(一2,2)上單調(diào)遞增，又f(a+2)>/(2Q-1),

-2Va+2<2,

-2<2a-l<2,

(a+2>2Q—1/

-4<a<0,

-I<a<I，

{a<3,

即-:<a<0,

所以a的取值范圍是(一：,0).

25.

【答案】

(1)證明:設(shè)任意與戶2€R，且“1<%2，

則f。1)-f(*2)=3X1+2-(3X2+2)=3(X1-%2)-

因?yàn)椋?<刀2，所以與一支2<0，所以/(%1)一/(%2)<。，

所以/(力)</。2)，

所以函數(shù)f(X)在R上是增函數(shù).

(2)解：因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，

所以函數(shù)在［-3,-2］上的最大值為

f(—2)=—2x3+2=-4,

最小值為f(-3)=-3x3+2=-7.

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

(1)利用單調(diào)性的定義證明.

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.

【解答】

(1)證明：設(shè)任意力,％2GR,且<x21

則f(/)-f(*2)=3xj+2-(3X2+2)=3(%-x2)-

因?yàn)?1<%2，所以—所以/(%〈一/"(%2)<。，

所以/(/)</(乂2)，

所以函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù).

(2)解：因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，

所以函數(shù)在［-3,-2］上的最大值為

/(-2)=-2x3+2=-4,

最小值為/(-3)=-3x3+2=-7.

26.

【答案】

解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)％<0時，-%>0,

則/(_%)=(-x)2+(-X)=x2-X,

又由f(x)是R的奇函數(shù)，

則f(x)=-/(-X)=-X2+X,

故/'(x)=—X2+x(x<0).

2

(2)當(dāng)x>0時，f(x)=/+%=(4+J-i,

則/(x)=［0,+8)上為增函數(shù).

又由f(x)是R上的奇函數(shù)，

則/(x)在(-8,0］上也為增函數(shù).

由于函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，

故/'(x)在R上為增函數(shù).

試卷第18頁，總26頁

由/'(1+Q)+/(2a)>0可得/(I+Q)>-/(2a)=/(-2a),

a+1>—2,0.9

解得a>—

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一5,+8).

【考點(diǎn)】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)解析式的求解及常用方法

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

不等式恒成立問題

【解析】

(1)根據(jù)題意，當(dāng)％<0時，-x>0,求出/(-制的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性/(x)的解

析式，即可得答案；

(2)根據(jù)題意，分析函數(shù)/(%))在R上的單調(diào)性，則原不等式等價+/(l+a)>f(-2a),

進(jìn)而可得a+l>-2a,解可得a的取值范圍，即可得答案.

【解答】

解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)x<0時，-x>0,

則/(_%)=(-尤)2+(-X)=X2-X,

又由f(x)是R的奇函數(shù)，

則/(x)-=-X2+X,

故/(x)=—X2+x(x<0).

2

(2)當(dāng)x20時，/(%)=x2+x=+0-；，

則/(x)=[0,+8)上為增函數(shù).

又由f(x)是R上的奇函數(shù)，

則/(x)在(一8,0]上也為增函數(shù).

由于函數(shù)/'(X)在x=0處連續(xù)，

故/(x)在R上為增函數(shù).

由/(I+a)+/(2a)>0可得/'(1+a)>-/(2a)=/(—2a),

a+1>—2a,

解得a>—

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一+8).

27.

【答案】

解：(1)由/'(x)=六+租的定義域?yàn)镽,

可得/'(0)=：+m=0,可得m=—

經(jīng)驗(yàn)證，771=-：符合題意.

(2)vy=2x為增函數(shù)，.?.y=2,+1為增函數(shù)，且尹+1>1,

所以y=六為減函數(shù)，可得/Q)=六一]在R上為減函數(shù).

(3)由/一切+汽_2)<o,可得f(/-x)<-f(-2),

即/(--x)</(2),

由/(x)=六一；在R上為減函數(shù)，

所以/—萬>2,即%—2>0,所以x<—1或x>2,

故解集為(-8,-1)U(2,4-00).

【考點(diǎn)】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f(0)=0進(jìn)行求解即可.

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】

解：(1)由f(x)=六+巾的定義域?yàn)镽,

可得/(0)=|+m=0,可得m=—

經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.

m=/(%)=---

2>、'2X+12

(2)vy=2*為增函數(shù)，.?.y=2、+1為增函數(shù)，且2、+1>1,

所以y=六為減函數(shù)，可得/(切=六-:在R上為減函數(shù).

(3)由/(/-x)+/(-2)<0,可得f(/-%)<—f(—2),

即/(/一為</2),

由/(x)=六一；在R上為減函數(shù)，

所以％2—%>2,即/—%—2>0,所以％<—1或%>2,

故解集為(—8,-1)u(2,4-00).

28.

【答案】

x

解：(I)：/(%)=a-l(a>0,且QHI),

/(I)—f(2)=(a—1)—(a2-1)=a—a2.

由Q_Q2=：,解得Q=[,

a的值為;.

(2)不等式f(x)<0,即-l<0,

試卷第20頁，總26頁

二()<】，即()<G)°

y=(；)在(一8,+8)上單調(diào)遞減，.?.X>0.

不等式/(x)<0的解集為(0,+8).

【考點(diǎn)】

函數(shù)的求值

函數(shù)解析式的求解及常用方法

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

其他不等式的解法

【解析】

(1)---/(x)=a'-1(a>0,且a￥l),

/(I)—/(2)=(a—1)—(a2-1)=a—a2.

由a-a2=L解得a=；.

42

a的值為

(2)不等式f(x)<0,BP(|)Z-l<0,(|)%<1,

咐〈跳

,/y=g)在(一e,+8)上單調(diào)遞減.二.x>0,

?..不等式"%)VO的解集為(0,+8).

【解答】

x

解：(1)7/(%)=a-l(a>0,且QHI),

/./(I)—/⑵=(a—1)—(a2—1)=a—a2.

由Q_Q2=；,解得Q=：,

42

.1.a的值為點(diǎn)

(2)不等式f(x)<0,即-l<0,

二()<】，即￡<G)°

,y=G)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，.%>o,

?,.不等式f(x)V0的解集為(0,+8).

29.

【答案】

解：(1)由題意得f(%)=/-%

①當(dāng)Q<0時，/'(%)>00且/(%)=0,

所以/(%)在R上為增函數(shù)；

②當(dāng)a>0時，令/-a=0,解得％=±VH,

當(dāng)%>或％<—?dú)v時，/(%)>0,

當(dāng)—傷<x<時，f'(x)<0,

所以/(x)在(一8,-VH),(VH,+8)上為增函數(shù),

在上為減函數(shù)；

綜上，當(dāng)aW0時，/(x)在R上為增函數(shù)；

當(dāng)a>0時，/(X)在(一8,—北)，(6,+8)上為增函數(shù),

在(-VH,G)上為減函數(shù).

(2)因?yàn)?(x)在R上是增函數(shù)，

所以r(￡)=3尤2_a20在R上恒成立，

HPa<x2對xGR恒成立.

因?yàn)?>0,

所以只需a<0,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0].

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)恒成立問題

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【解析】

本題考查不等式的恒成立與有解問題.

【解答】

解：(1)由題意得/'(x)="-a,

①當(dāng)a<0時，/'(%)>00且/'(x)=0,

所以f(x)在R上為增函數(shù)；

②當(dāng)a>0時，令/—a=0,解得x=±VH,

當(dāng)x>逅或x<一介時，f'(x)>0,

當(dāng)—?dú)v<x<時，f'(x)<0,

所以/(x)在(一8,-迎)，(VH,+8)上為增函數(shù)，

在(-VH,上為減函數(shù)；

綜上，當(dāng)a<0時，/(x)在R上為增函數(shù)；

當(dāng)a>0時，f(x)在(-8,—VH),(VH,+8)上為增函數(shù),

在(-正,傷)上為減函數(shù).

(2)因?yàn)?(x)在R上是增函數(shù)，

所以尸(%)=3x2-a>0在R上恒成立，

即aW/對x€R恒成立.

因?yàn)椤?gt;0,

所以只需a<0,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0].

30.

【答案】

(1

,x<1,

(4r)2

解：(1)當(dāng)a=-3時，/(x)=

21

(|x-l|+3),x>1.

G+2)2

單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,1],單調(diào)遞減區(qū)間是口,+8).

(2)當(dāng)％=0時，不等式/(%)>k/成立；

當(dāng)％H0時，不等式/(%)>k/等價于k<1

[x(|x-l|-a)]2'

試卷第22頁，總26頁

設(shè)3)=x(|x-l|-a)=~a+am<x<2,

一(j.十a(chǎn))\,L<%sz,

①當(dāng)a〈-l時，h(x)在(0,2］上單調(diào)遞增，

所以0</i(x)W/i(2),

即0<h(x)<2(1—a),

故々〈萬

4(l-a)2

②當(dāng)-l<a<0時，/i(x)在(0,與斗上單調(diào)遞增，在［等,1］上單調(diào)遞減，在口,2］上單

調(diào)遞增.

因?yàn)榘刷?2-2a>

所以0<九(%)<九(2),

即0<九(久)<2(1—Q),

故k~4(l-a)2'

③當(dāng)0Wa<l時，九(x)在(0,與斗上單調(diào)遞增，在［辭,1一可上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞減，在［1,1+a)上單調(diào)遞增，在(1+a,2］上單調(diào)遞增.

所以八(1)</i(x)<0^{/1(2),/1(詈)}且九3)豐0,

因?yàn)榫?2)=2-2a>甘k=八(與3，

所以-Q<ln(x)<2-2a且九(%)W0,

當(dāng)0工QV|時，

因?yàn)閨2-2a|>|-a|,

所以

4(1一a)?

當(dāng)|<a<1時，

因?yàn)閨2—2a|<|-a|,

所以k<白；

az

綜上所述，當(dāng)0WQ<；時，fc<—

34(1一。)，

當(dāng)gWa<1時，fc<

【考點(diǎn)】

函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

函數(shù)恒成立問題

【解析】

【解答】

=,，無<1，

解：⑴當(dāng)a=-3時，加)=鬲旃

單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1］,單調(diào)遞減區(qū)間是［1,+8).

(2)當(dāng)％=0時，不等式/(%)NZe/成立；

當(dāng)％H0時，不等式/(久)>/cd等價于々<1

[x(|x-l|-a)]2,

、八、{-x\x-(1-a)],0<x<1

設(shè)心)=x(|x-l|-a)=[%([x_(1+冽,1<x<2(

①當(dāng)aW-l時，似x)在(0,2]上單調(diào)遞增，

所以0<Mx)v無(2)，

即0</i(x)<2(1—a),

i

故k<