河北省2021年中考數(shù)學(xué)試卷 (含答案與解析)

河北省2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.（2021?河北）如圖，已知四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線

上，請借助直尺判斷該線段是（）

A.aB.bC.cD.d

【答案】A

【考點(diǎn)】直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線

【解析】【解答】解:設(shè)線段m與擋板的交點(diǎn)為A,a、b、c、d與擋板的交點(diǎn)分別為B,C,D,E,

連結(jié)AB、AC、AD、AE,

根據(jù)直線的特征經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線,

利用直尺可確定線段a與m在同一直線上，

故答案為：A.

【分析】將A點(diǎn)，與B,C,D,E點(diǎn)分別作直線。線段m在其中直線就可以解題。解題關(guān)鍵：理解兩點(diǎn)確

定一條直線。

2.（2021?河北）一個骰子相對兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,它的展開圖如圖，下列判斷正確的是（）

A.A代表??B.B代表*?C.C代表?D.B代表??

???????

【答案】A

【考點(diǎn)】幾何體的展開圖

【解析】【解答】解：由正方體展開圖可知，4的對面點(diǎn)數(shù)是1;B的對面點(diǎn)數(shù)是2；。的對面點(diǎn)數(shù)

是4；

V骰子相對兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,

二.A代表：：，

??

故答案為：A.

【分析】正方體的展開圖共有11種，其中"一四一"型共有6種，"二三一"型共有3種，"二二二"，"三三"

型各1種。

三個正方形成一直線形成"目"字形，則兩端的正方形必定為對面。如果四正方形形成Z形，則兩端的正

方形必定為對面。解題關(guān)鍵：如何找正方形展圖中相對的兩面。

3.（2021?河北）如圖1,nABCD中，AD>AB,ZABC為銳角.要在對角線BD上找點(diǎn)N,M,

使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（）

D

l產(chǎn)-------

佟II

取8。中點(diǎn)O,作"作力NJ.8。于N,作AN,CM分別平

BN=NO,OM=MD\：CMLBD于M分NBAD,/.BCD

圖2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

【答案】A

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定(ASA)

【解析】【解答】連接AC.BD交于點(diǎn)。

甲方案：v四邊形ABCD是平行四邊形

???AO=CO,BO=DO

vBN=NO,OM=MD

：.ON=OM

四邊形ANCM為平行四邊形.

乙方案：

???四邊形ABCD是平行四邊形

AB=CD,AB/fCD,AO=CO,BO=DO

/ABN=/CDM

又vAN1BD,CM1BD

NANB=NCMD

ABN2CDM(AAS)

BN=DM

BO-DO

???ON=OM

???四邊形ANCM為平行四邊形.

丙方案：

??四邊形ABCD是平行四邊形

???AB=CD,AB“CD,AO=CO,BO=DO,ZBAD=ZBCD

：."ABN=/CDM

又???AN,CM分別平分/BAD,/BCD

???I/BAD=I/BCD,即NBAN=/DCN

??.△48N三△COM(ASA)

???BN=DM

???BO—DO

???ON=OM

四邊形ANCM為平行四邊形.

所以甲、乙、丙三種方案都可以.

故答案為：A.

【分析】平行四邊形對邊平行且相等，對角分別相等，對角形相互平分。對角線相互平分的四邊形是平

行四邊形。全等三角形的判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL.解題的關(guān)鍵：熟練掌握平行四邊形的判定與性

質(zhì)。

4.(2021?河北)圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖)，用去一部分液體后如圖2所示，此時液面

AB=()

A1R7D4

Acm乙cm」cm^cm

【答案】c

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題可知，第一個高腳杯盛液體的高度為：15-7=8(cm),

第二個高腳杯盛液體的高度為：11-7=4(cm),

因?yàn)橐好娑际撬降模瑘D1和圖2中的高腳杯是同一個高腳杯，

所以圖1和圖2中的兩個三角形相似，

?.?AB—_—4，

68

/.AB=3(cm),

故答案為：C.

【分析】高腳杯前后的兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得結(jié)果。相似三角形對應(yīng)邊、

對應(yīng)高、對應(yīng)線、對應(yīng)角平分線的比、周長之比都是等于相似比，面積之比等于相似比的平方。

5.（2021?河北）如圖，點(diǎn)。為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點(diǎn)，S^AF0=8,ShCD0=2,則

S六邊形ABCDEF的值是（）

C.40D.隨點(diǎn)。位置而變化

【答案】B

【考點(diǎn)】正多邊形的性質(zhì)，幾何圖形的面積計算-割補(bǔ)法

【解析】【解答】解：連接AC、AD、CF,AD與CF交于點(diǎn)M,可知M是正六邊形4BCDEF的中心,

多邊形ABCDEF是正六邊形,

/.AB=BC,ZB=ZBAF=120°,

ZBAC=30°,

ZFAC=90°,

同理，ZDCA=ZFDC=ZDFA=90°,

A四邊形ACDF是矩形，

SbAFO+S^CDO=35矩形AFDC=1。，ShAFM=^AFDC=5，

S_￡>V龍磔BCDEF=6SAAFM=30,

故答案為：B.

【分析】正六邊形ABCDEF的面積=S矩形AFDC+SZkEDF+SziABC。由于正六邊形各邊相等，每個角相等,

可得FD=V5AF,過E作FD的垂線，垂足為M,利用解直角三角形可求EM。

6.（2021?河北）如圖，將數(shù)軸上-6與6兩點(diǎn)間的線段六等分，這五個等分點(diǎn)所對應(yīng)數(shù)依次為的,a2，

,a4,a5,則下列正確的是（）

A.Q3>0B.|Cl-y|=|CL^|C.Qi+做+。3+。4+=0D.a?+Q5Vo

【答案】C

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可求出:

Q]=-4,a2=—2,a3=0,a4=2,as=4

A,a3=0,不符合題意；

B,|%|=4Hla]=2,不符合題意；

C,%+心++。5=0，符合題意；

D,a2+a5=2>0,不符合題意；

故答案為：C.

【分析】先算出-6與6兩點(diǎn)間線段的長度為12,再將其分成六等分，每分長度是2.從示可求各點(diǎn)表示的

數(shù)。解題關(guān)鍵：理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間表示的矩離。

7.（2021?河北）如圖，直線1,m相交于點(diǎn)。.P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP=2.8.若點(diǎn)P關(guān)于

直線/,血的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Pi,P2,則Pi,P2之間的距離旬金是（）

P1

A.0B.5C.6D.7

【答案】B

【考點(diǎn)】軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【解答】解：連接OPI，PP?OP2，PP2，PIP2，如圖，

P1

Pr是P關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)，

???直線I是PP]的垂直平分線，

OP1=OP=2.8

VP2是P關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)，

直線m是PP2的垂直平分線，

OP2=OP=2.8

當(dāng)P1,O,P2不在同一條直線上時，OP1-OP2<P1P2<OP1+OP2

即0<PyP2<5.6

當(dāng)Pl，0孑2在同一條直線上時，PJ2=0P1+。。2=5.6

故答案為：B

【分析】由對稱得OPI=OP=OP2=2.8。再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得結(jié)果。三角形兩邊之和大于第三邊,

兩邊之差小于第三邊。解題關(guān)鍵：熟練掌握對稱性和三角形三邊的關(guān)系。

8.（2021?河北）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

己知：如圖，ZACD是AABC的外角.

求證：4CD=4+/B.

證法1：如圖，

???44+/8+乙4（/=180°（三角形內(nèi)角和定理），

又???//（'￡>+4（2=180°（平角定義），

:ZCD+ZACB=ZA+NB+ZACB（等量代換）.

AZJCD=ZJ+Z2?（等式性質(zhì)）.

<__________________________________________________）

證法2：如圖，

VZJ=76°.ZB=59°,

且4c0=135°（貨角器測破所得），

又???135°=76°+59。（計克所得）.

ZJCD=ZJ+ZZ?（等量代換）.

<__________________________________________7

下列說法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測量夠一百個三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

【答案】B

【考點(diǎn)】推理與論證

【解析】【解答】解：A.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故A不符合題意；

B.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，B符合題意；

C.證法2用量角器度量兩個內(nèi)角和外角，只能驗(yàn)證該定理的符合題意性，用特殊到一般法證明了該定理

缺少理論證明過程，C不符合題意；

D.證法2只要測量夠一百個三角形進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證的符合題意性更高，就能證明該定理還需用理論證

明，D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】解題關(guān)鍵：依據(jù)定理證明的一般步驟進(jìn)行分析解答。

9.（2021?河北）小明調(diào)查了本班每位同學(xué)最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2（柱的高

度從高到低排列）.條形圖不小心被撕了一塊，圖2中"（）"應(yīng)填的顏色是（）

A.藍(lán)B.粉C.黃D.紅

【答案】D

【考點(diǎn)】扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖

【解析】【解答】解：同學(xué)最喜歡的顏色最少的是藍(lán)色，有5人，占10%,5-10%=50（人），

喜歡紅色的人數(shù)為50X28%=14（人），

喜歡紅色和藍(lán)色一共有14+5=19（人），

喜歡剩余兩種顏色的人數(shù)為50-19=31（人），其中一種顏色的喜歡人數(shù)為16人，另一種為15人，由柱的

高度從高到低排列可得，第三條的人數(shù)為14人，"（）"應(yīng)填的顏色是紅色；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)圖形分析藍(lán)色是5,所占的百分比是10%?？傻每倲?shù)人50。進(jìn)而求得紅14,最后的15.從而

可得答案。某一部分?jǐn)?shù)量除以其對應(yīng)的百分比=總數(shù)。某一部分?jǐn)?shù)量=總數(shù)X其對應(yīng)的百分比。解題關(guān)鍵：

熟讀統(tǒng)計圖表示的數(shù)量關(guān)系。

10.（2021?河北）如圖，等腰A40B中，頂角408=40°,用尺規(guī)按①到④的步驟操作：

①以。為圓心，04為半徑畫圓；

②在。。上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A,B重合），連接AP；

③作AB的垂直平分線與。。交于M,N；

④作AP的垂直平分線與O。交于E,F.

結(jié)論I：順次連接M,E,N,F四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論口：。。上只有唯一的點(diǎn)P,使得S扇開處FM=S扇秘AB■

對于結(jié)論I和U，下列判斷正確的是（）

A.I和II都對B.I和II都不對C.I不對II對D.I對n不對

【答案】D

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的綜合題

【解析】【解答】解：I、如圖所示.

?NN3

圖1圖2圖3

「MN是AB的垂直平分線，EF是AP的垂直平分線，

MN和EF都經(jīng)過圓心0,線段MN和EF是。。的直徑.

0M=0N,0E=0F.

四邊形MENF是平行四邊形.

,.1線段MN是。。的直徑，

ZMEN=90°.

平行四邊形MENF是矩形.

二結(jié)論I符合題意；

II、如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線MN左側(cè)且AP=AB時，

AP=AB,

AB=AP.

■：MNJ_AB,EF±AP,

AE=-AP,AN=-AB.

22

???AE=AN.

ZAOE^ZAON^-.

——2—

二.NEON=40°.

二ZMOF=ZEON=400.

???扇形OFM與扇形OAB的半徑、圓心角度數(shù)都分別相等，

S扇形OFM=S扇形OAB.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)且BP=AB時,

同理可證：S扇形FOM=S扇形AOB-

：.結(jié)論n不符合題意.

故答案為：D

【分析】對角線相互平分的四邊形是平行四邊形。直徑所對圓周角是直角。有一角為直角的平行四邊形

是矩形。解題關(guān)鍵熟練掌握五種基本作圖，屬于常考題型。

二、填空題

11.（2021?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片(邊長如圖).

(1)取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；

(2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片

________塊.

【答案】(1)a2+b2

(2)4

【考點(diǎn)】列式表示數(shù)量關(guān)系，完全平方公式的幾何背景

【解析】【解答】解：(1)?.?甲、乙都是正方形紙片，其邊長分別為a,b

二取甲、乙紙片各1塊，其面積和為a2+b2;

故答案為：a2+b2.

(2)要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

a2+4b2,若再加上4ab(剛好是4個丙)，則a2+4b2+4ab=(a+2b)2,則剛好能組成邊長為

a+2b的正方形，圖形如下所示，所以應(yīng)取丙紙片4塊.

故答案為：4.

【分析】a2+4b2+4ab=(a+2b)2,掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵。

12.（2021?河北）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C,且4,/B,/E

保持不變.為了舒適，需調(diào)整/D的大小，使ZEFD=110°,則圖中/D應(yīng)________（填"增加"

或"減少”）度.

【答案】減少；10

【考點(diǎn)】角的運(yùn)算，平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：NA+NB=50°+60°=110°,

ZACB=180o-1100=70o,

ZDCE=70°,

如圖，連接CF并延長，

ZDFM=ZD+ZDCF=20°+NDCF,

ZEFM=ZE+ZECF=30°+ZECF,

ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+300+ZECF=50°+ZDCE=50°+70o=120°,

要使NEFD=110",則NEFD減少了10°,

若只調(diào)整ND的大小，

由NEFD=ZDFM+ZEFM=ZD+ZDCF+ZE+ZECF=ZD+ZE+ZECD=ZD+30°+70°=ZD+100°,

因此應(yīng)將ND減少10度；

故答案為：①減少：010.

【分析】三角形內(nèi)角和是180度。三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個外角和。

三、解答題

13.（2021?河北）用繪圖軟件繪制雙曲線m：y=~與動直線I：y=a,且交于一點(diǎn)，圖1為a=8

時的視窗情形.

(1)當(dāng)Q=15時，I與m的交點(diǎn)坐標(biāo)為:

(2)視窗的大小不變，但其可視范圍可以變化，且變化前后原點(diǎn)。始終在視窗中心.例如，為在視窗中

看到(1)中的交點(diǎn)，可將圖1中坐標(biāo)系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?，其可視范圍就由-15WXW15及

-10<y<10變成了一30WxW30及-20WyW20(如圖2).當(dāng)a=-1.2和a=-1.5時，I與

m的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B,為能看到m在A和B之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標(biāo)系的單位長

度至少變?yōu)樵瓉淼模?則整數(shù)k=.

【答案】(1)(4,15)

(2)4

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，通過函數(shù)圖象獲取信息并解決問題

【解析】【解答】(1)根據(jù)題意，得y=?=15

x=4

xH0

x=4是絲=15的解

X

.?.當(dāng)a=15時，2與m的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,15)

故答案為：(4,15);

(2)當(dāng)a=-1.2時，得y=y=-1.2

x=-50

,/%H0

x——50是些="1.2的解

X

??.I與m的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(-50,-1.2)

??.(1)視窗可視范圍就由一15三工工15及-10Wy410，且一10V1.2<1。

-15kV—50

根據(jù)題意，得k為正整數(shù)

.??k=4

同理，當(dāng)a=-1.5時，得%=-40

???-15k<-40

k=3

要能看到小在A和B之間的一整段圖象

k=4

故答案為：4.

【分析】根據(jù)題意可求出A(-50,1.2),B(-40,-1.5),-15k<-50從得出k的整數(shù)值.

14.(2021?河北)某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示，嘉淇進(jìn)入展廳后開始自由參觀，每走到一個十

字道口，她自己可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，且這三種可能性均相同?

北

樹版圖:

述。d■t；

T?—道u

時疑削向

圖I.

(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率：

(2)補(bǔ)全圖2的樹狀圖，并分析嘉淇經(jīng)過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大?

A一共有三種可能，向北只有一種可能，嘉淇走到十字道口A向

【答案】(1)解：嘉淇走到十字道口

北走的概率為3；

(2)補(bǔ)全樹狀圖如圖所示：

樹狀圖:

道口月

下一道口

西東

結(jié)果朝向西南北南東西北

嘉淇經(jīng)過兩個十字道口后共有9種可能，向西的概率為：|=|；向南的概率為|；向北的概率為|；

向東的概率為|;嘉淇經(jīng)過兩個十字道口后向西參觀的概率較大.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法

【解析】【分析】列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成

的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完的事件，注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比。

15.（2021?河北）下圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號指揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min

的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）,直保持在1號機(jī)P的定卡

*，2號機(jī)從原點(diǎn)。處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過Imin到

達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求lmin后到達(dá)C（10,3）處.

（1）求。2的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號機(jī)的爬升速度；

（2）求BC的力關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計2號機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）通過計算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時長是多少.

（注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍）

【答案】（1）解：設(shè)線段OA所在直線的函數(shù)解析式為：2=七5（七#0）

2號機(jī)從原點(diǎn)。處沿45°仰角爬升

A=s

又.二1號機(jī)飛到A點(diǎn)正上方的時候，飛行時間t=g（min）

二2號機(jī)的飛行速度為：女=竿=3或（km/min）

（2）設(shè)線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：h=k2s+b（k2豐0）

2號機(jī)水平飛行時間為lmin,同時1號機(jī)的水平飛行為lmin,

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：4+3=7；點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：4,即B（7,4）,

將B（7,4）,C（10,3）代入h=k2s+b（k2*0）中,得：

17k2+b=4

+b=3

i

解得：｛3

b19

3

令力=0，解得：s=19

2號機(jī)的著陸點(diǎn)坐標(biāo)為（19,0）

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在時，要保證PQS3，則：>t=^=|；

當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，，此時PQ=1,滿足題意,時長為1（min）；

當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，令2=-“+?，解得：s=13,此時t2=^（min）,

,當(dāng)PQS3時，時長為：y.|=T〈min）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【解析】【分析】（1）先求出在=4再計算求解即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出fe=嬖，再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（3）分類討論，計算求解即可。

16.（2021?河北）如圖，。。的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為A”（n為

1~12的整數(shù)），過點(diǎn)必作。。的切線交441延長線于點(diǎn)P.

（1）通過計算比較直徑和劣弧4/11長度哪個更長；

（2）連接A7An,則A7An和PA,有什么特殊位置關(guān)系？請簡要說明理由;

（3）求切線長P&的值.

【答案】（1）劣弧A#]1=*x2兀*6=4兀，

直徑2r=12,

因?yàn)??r>12,故劣弧更長.

（2）如下圖所示連接公、A7,A7,An,由圖可知義必是直徑，

二對應(yīng)的圓周角47&遇1=90°

AyA^和P4互相垂直.

114

(3)如上圖所示，41遇4*047=；x2x360°=60

「P&是。。的切線

4474=90°，

1-PA7=.A1A7-tan^AirOA7=12xV3=12v5.

【考點(diǎn)】弧長的計算，圓的綜合題

【解析】【分析】(1)利用弧長公式求解即可，

(2)利用圓周角定理證明即可

(3)解直角三角形可求解。

17.(2021?河北)下圖是某同學(xué)正在設(shè)計的一動畫示意圖，x軸上依次有A,0,N三個點(diǎn)，且

4。=2,在ON上方有五個臺階Ti?Ts(各拐角均為90°),每個臺階的高、寬分別是1和15臺

階1\到x軸距離0K=10.從點(diǎn)A處向右上方沿拋物線L：y=-x2+4%+12發(fā)出一個帶光的

點(diǎn)P.

(1)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，且在圖中補(bǔ)畫出y軸，并直接指出點(diǎn)P會落在哪個臺階上；

(2)當(dāng)點(diǎn)P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,

求C的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點(diǎn)；

(3)在x軸上從左到右有兩點(diǎn)D,E,且DE=1,從點(diǎn)E向上作EBJ.x軸，且BE=2.在

△BDE沿x軸左右平移時，必須保證(2)中沿拋物線C下落的點(diǎn)P能落在邊BD(包括端點(diǎn))上，

則點(diǎn)B橫坐標(biāo)的最大值比最小值大多少？

(注：(2)中不必寫%的取值范圍)

【答案】(1)解：當(dāng)y=0,-X2+4X+12=0,

解得：x=—2,x=6,

???4在左側(cè)，???4(—2,0),

y=-X2+4x+12關(guān)于x=――=2對稱，

2a

■■y軸與OK重合，如下圖：

點(diǎn)P會落在T4的臺階上，由題意在坐標(biāo)軸上標(biāo)出相關(guān)信息，

當(dāng)y=7時，—%2+4%+12=7,

解得：x=-l,x=5,

4.5<5<6,

■-P會落在T4的臺階上且坐標(biāo)為P(5,7),

(2)設(shè)將拋物線L,向下平移5個單位，向右平移a的單位后與拋物線C重合，則拋物線C的解析

式為：y=—(%—2—a)2+11,

由(1)知，拋物線C過P(5,7),將P(5,7)代入y=-(x-2-a)2+ll,

7=-(3-a)2+11,

解得：a=5,a=l(舍去，因?yàn)槭菍ΨQ軸左邊的部分過P(5,7)),

拋物線C:y=-(萬-7/+11,

y=—(x—7)2+11關(guān)于x=--=7,且6<7<7.5,

'''2a

???其對稱軸與臺階T5有交點(diǎn).

(3)由題意知，當(dāng)4BDE沿x軸左右平移，恰使拋物線C下落的點(diǎn)P過點(diǎn)D時，此時點(diǎn)B的橫

坐標(biāo)值最大；

當(dāng)y=0,-(X-7)2+11=0,

解得：=7+VT1,x2=7—V1T(取舍)，

故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)最大值為：8+VT1,

當(dāng)4BDE沿x軸左右平移，恰使拋物線C下落的點(diǎn)P過點(diǎn)B時，此時點(diǎn)B的橫坐標(biāo)值最??；

當(dāng)y=2,—(x-7)2+ll=2,

解得：Xi=10,%2=4(舍去)，

故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)最小值為：10,

則點(diǎn)B橫坐標(biāo)的最大值比最小值大：8+VT1-10=V11-2,

故答案是：Vli-2.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題，二次函數(shù)y=ax"2+bx+c的圖象，二次函數(shù)的其他應(yīng)用

【解析】【分析】(1)由題意臺階T4的左邊端點(diǎn)(4.5,7),右邊端點(diǎn)的坐標(biāo)(6,7)求出x=4.5,6時

的值即可判斷。

(2)由題意可設(shè)C的解析式為：y=-x2+bx+c,經(jīng)過R(5,7),最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11.列出方程組求出b,

c,可得出結(jié)論。

(3)求出拋物線與X軸的交點(diǎn)，以及y=2時，點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出兩種特殊位置點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值，可得

結(jié)論。

18.(2021?河北)在一平面內(nèi)，線段AB=20,線段BC=CD=DA=10,將這四條線段順次首尾相

接.把AB固定，讓AD繞點(diǎn)A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角a(a>0°)到某一位置時，BC,CD

將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

B

（1）論證如圖1,當(dāng)AD//BC時，設(shè)48與CD交于點(diǎn)0,求證：A0=10；

（2）發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60°時，4DC的度數(shù)可能是多少？

（3）嘗試取線段CD的中點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時，求點(diǎn)M到AB的距離；

（4）拓展①如圖2,設(shè)點(diǎn)。與B的距離為d,若/BCD的平分線所在直線交AB于點(diǎn)P，直接

寫出BP的長（用含d的式子表示）；

②當(dāng)點(diǎn)C在4B下方，且AD與CD垂直時，直接寫出a的余弦值.

【答案】（1）證明：,:ADI嚴(yán),

:?/A=/B,/D=NC，

/A=/B

在〉A(chǔ)OD和公BOC中，=,

ND=NC

：.△AOD=△BOCQISA）,

???AO=BO,

???AOBO=AB=20,

???AO=10；

（2）由題意，由以下兩種情況：

①如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接DE,則AE=BE=^AB=10,

?.?AD=AE=10f^A=a=60°,

??.△4Z)E是等邊三角形，

,?.DE=AD=10,ZAED=ZADE=60°,

???DE=DC=BC=BE=10,

???四邊形BCDE是菱形，

**?AB〃CDi

???NCDE=ZAED=60°,

???ZADC=ZADE+NCDE=600+60°=120°;

②如圖，當(dāng)點(diǎn)C與48的中點(diǎn)E重合，

D

AB

則AD=AC=DC=10,

ACD是等邊三角形，

/ADC=60°,

綜上，NADC的度數(shù)為60°或120°；

(3)如圖，連接BM，

"BC=10,CM=^CD=5,

BM<BC+CM=15,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B,C,M共線時，等號成立，

如圖，過點(diǎn)D作DEVAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)M作MNJ.AB于點(diǎn)N,則MN即為所求,

???BC=CD=10,CM=5,

BD=BC+CD=20,BM=BC+CM=15,

設(shè)4E=x,貝ijBE=20-x,

???AD2-AE2=DE2=BD2-BE2,

???102-x2=202-(20-x)2,

解得％=I,

<-,*BE=20—x=—,DE=7BD2—BE?=2yg,

22

5V15.—

在RtABOE中，sinB=*M=叵，

BD208

在Rt△BMN中，MN=BM-sinB=15x—=,

88

即當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時，點(diǎn)M到AB的距離為史空

(4)①如圖，連接BD交CP于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DE1.AB于點(diǎn)E,

???BC=CD,CP平分/BCD,BD=d