河北省衡水一中高三一調(diào)理科數(shù)學(xué)試卷

2017-2018學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)一調(diào)考試

數(shù)學(xué)（理科）試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.從每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最佳選

項(xiàng)，并在答題紙上將該項(xiàng)涂黑）

I.設(shè)集合4={l,2,4},8={x∣χ2-4χ+∕n=0}.若/口8={1}，則8=（）

A.{l,-3}B.{l,0}C.{1,3}D.{1,5}

1.答案：C

解析：由題意可知1∈8,將x=l代入f-4x+m=0,得m=3,所以f-4x+3=0,

即（x-l）（x-3）=0,解得X=1或X=3,所以B={l,3}

。一i

2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)α的值是（）

1÷2i

11

A.一一B.0C-D.2

22

2.答案：D

解析：設(shè)上Q」—i=bi,b∈A,貝∣Ja-i=M（l+2i）=-26÷M,所以|“一一，故α二2

l+2ib=-l

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

I開(kāi),始I

/輸晨/

［同來(lái)J

—I,A.100湎~1

?<^^>~——軍N

IS=；+M小is/

正（主）視圖側(cè)（左）視圖nNr

Ay'制I結(jié)1I飛昌

--------I=Lu

俯視圖才2------NB

第3題圖第6題圖第13題圖

3.答案：D

解析：t=?,M=100,S=0→是→S=100,Λ∕=-10"=2→是→S=90,W=l"=3→否

→輸出S=90<91,結(jié)束，所以正整數(shù)N的最小值為2.

2x+y—22O,

4.已知點(diǎn)4-2,0）,點(diǎn)〃（》/）為平面區(qū)域0—2了+420,上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∣ZΛ∕∣的最小值

3x-,y-3≤0

是（）

6/7

A.5B.3C.---D.25/2

4.答案：C

解析：作可行域如圖所示，則的最小值為點(diǎn)力到直線2x+v-2=0的距離，

|2x（-2）+0-2|_6_6√5

-忑-飛F

5.已知AZBC的三個(gè)內(nèi)角43,。依次成等差數(shù)列，BC邊上的中線ND=JIZB=2,則

SAABC=（）

A.3B.2√3C.3√3D.6

5.答案：C

解析：因?yàn)?民C成等差數(shù)列，所以28=Z+C,又因?yàn)?+8+0=180。，所以8=60。,

在A4BD中,由余弦定理可得A>=/32+302—2/8.3??os60。，即

BD2-2BD-3^0,所以（8。—3）（3O+l）=0,所以80=3,故BC=2BD=6,

SAABC=?4B×BC×sin60°=3也

6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有棱中，最長(zhǎng)的棱為（）

A.3B.2√3C.2√2D.√5

6.答案：A

解析：該幾何體的直觀圖如圖所示，則BC=1,/C=2,CO=石,8。=2√Σ,AB=yβ,AD=3

所以最長(zhǎng)的棱為3

7.已知數(shù)列｛/｝滿足q=0,α用=子二、-(〃eN*),則/。=()

√3%+l

40B.—v/?C.y/3D.——

2

7.答案：B

解析：解法1：a1=O,α2=-?/?,/=-------=?/?,%=°=%，周期T=3,所以%o=%=一G

—2

π

∕τtana-tan—

八Cl“一73ntι3

解法設(shè)則

2：an=tanan，qtanO，tanα,用=?+l=-?一-=-----------?-

J3α,,+11+tanαtan—

3

=tan%—W所以％+∣=α“一?，所以數(shù)列｛α,J是一個(gè)首項(xiàng)為0,公差為一5的等差數(shù)列,

n-1

%=-----π

3

8.已知刃＞0,函數(shù)/'（1）=$111］妙一0）在（0，］）內(nèi)單調(diào)遞減，則G的取值范圍是（）

?3

B.5,?lcD.

4吟2T?42,4

8.答案：B

ππ.π71717171

解析：當(dāng)x∈時(shí)，ωx——∈-CO----,-CO----,根據(jù)題意可得

^3,233323

TCTC、..TC

-ω---32k兀T——

πππ_.3Γ)所以1332

,2kτr+人∈Z,k∈Z,

,

322π冗723z

-ω----W2上乃+一

1232

12k+5——12k÷11.?12k+5-12k÷11.5.7EE“一

解λλz得fi：------≤69≤----------,所rr以0<---------≤----------,所cr以——<k&—,又因?yàn)?/p>

23231212

左∈Z,所以上=0,所以0∈?,-

23

9.設(shè)函數(shù)/(x)=2Sin(GX+°),X∈R,其中啰＞0,|同＜乃.若f0,且

/(x)的最小正周期大于2〃，則()

17萬(wàn)2IU

A.ω=-,φ=——B.(O=-,φ=------

224312

1??π2π

C.(O=-P=------D,ω=-,φ=—

324312

9.答案：D

51L,.1π5π3π(2Ar+l)

解析：根π4據(jù)oh題k意λ--?------=—=1-------T,keZ,所以7=」一,%eZ,又因?yàn)門>2〃，

88442k+?

2萬(wàn)_2W5冗.54_,TC.r

所以左=0,T=3肛co=X=—時(shí)，cox+°=-----Fe=2k7i-?—,k∈Z,

T=3,8122

JT

ι.φ=2kπ+^,又因?yàn)闀r(shí)<"，所以8=三

10.已知函數(shù)/(x)=[∕-4

1,若實(shí)數(shù)“滿足/(Iog2α)+/(log05tz)≤2∕(l),則實(shí)數(shù)α的

取值范圍是()

一；

A.-∞,^jU(2,+∞)B.8,U[2,+∞)

10.答案:C

解析：函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，log05α=Tog2α,所以

2∕(log2a)≤2∕(l),所以/(l0g2α)W/⑴，所以TWlogzaWl,所以;WαW2

II.已知函數(shù)/(x)=/+α∕+1的圖像的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為/(χ0＞0),且/(x)有三個(gè)零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

-

A.(—8,0)B.-8,-----JC.(0,÷∞)D.(―∞91)

11.答案：B

解析：f'(χ)=3x2+2ax,/'(X)的對(duì)稱軸為X=-巴，所以％=-巴>0,所以。<0,令

44安歷

取得極小值一/+1,要想使/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則必須一q3+l<0,解得—工

27272

12.定義在［l,+8)內(nèi)的函數(shù)/(x)滿足：①當(dāng)2WxW4時(shí)，/(x)="x-3∣;②/(2x)=Cf(X)

(C為正常數(shù)).若函數(shù)的所有極大值點(diǎn)都落在同一直線上，則常數(shù)C的值是()

A.1B.±2C.L或3O.1或2

2

12.答案：D

解析：在區(qū)間［2,4］上,當(dāng)X=3時(shí)，/(x)取得極大值1,極大值點(diǎn)為4(3,1),當(dāng)xe［4,8］時(shí)，

∣∈［2,4］-f(x)=cf所以在區(qū)間［4,8］上，當(dāng);=3,即X=6時(shí)，/(x)取得極大值c,

極大值點(diǎn)為8(6,c),當(dāng)Xeu,2］時(shí)，2xw［2,4］,所以/(x)=1∕(2x),所以在區(qū)間［1,2］上，

C

31<3∩

當(dāng)2x=3,即x=—時(shí)，/(x)取得極大值一，所以極大值點(diǎn)為C—,根據(jù)題意，/(3,1),

2c12CJ

1-l

8(6,c),c［∣,1)三點(diǎn)共線，所以一^C=F,解得C=I或2

2

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.如圖，正方形/8CD中，",N分別是8C,CD的中點(diǎn)，若衣=4萬(wàn)7+〃麗，則

λ+/J—.

O

13.答案：一

5

解析：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則ZC=(2,2),

而=(2,1),麗=(—1,2),因?yàn)?=4赤+〃麗，所以(2/1—〃,幾+2〃)=(2,2),

6

Λ-

-8

24—〃=25

所以《解得<25一

λ+2〃=24--

5

14.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)/(x)滿足/⑴=4,且/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)<3,則不等式

/(?nx)>31nx+l的解集為.

14.答案：(0,e)

解析：設(shè)/=Inx,貝IJf(t)>3t+?,BPf(t)-3t>l,設(shè)g(。=/?)—3/,則g(l)=/(l)-3=1,

且g")=/'?)—3<0,所以函數(shù)g(∕)是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，不等式/(/)—3/>1等價(jià)于

g")>g(l),所以，<1，即InX<1,解得x∈(0,e)

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,S1=6,52=4,>0,且52“，52“_”52“+2成等比數(shù)列，

S2,I，邑,+2，^2n+1成等差數(shù)列，則出。16等于-

15.答案:-1009

C2=SS_____________

解析：由題意可得二［2;2),+2,因?yàn)镾“〉0,所以25.=SXl+J^方二，

所以2瓦二=J67+J惠=("∈N*),故數(shù)列｛、■｝為等差數(shù)列，又由S∣=6,$2=4,

S2-S4,可得S4=9；2S4=S∣+S3,可得S3=i2,所以數(shù)列｛、瓦｝是以卮=2為首

項(xiàng)，以百一病=1為公差的等差數(shù)列，所以卮=〃+1,即$2,=(〃+1)2,

2

故S2n,l=JS2nS2n+2=(n+l)(n+2),?fc520,6=1009,520,5=1009×1010,

所以。2016=$2016-S2015=一1009

,O≤x≤1,

16.已知函數(shù)y=∕(x)是定義域?yàn)榛鸬呐己瘮?shù)，當(dāng)x20時(shí)，f(x)=<

(!)+1,X>L

若關(guān)于X的方程5[∕(x)]2-(5a+6)∕(x)+6α=0(αe火)有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

16.答案：0<a≤l或a=—

解析：由5"(x)F-(5a+6)∕(x)+6a=0可得[5∕(x)-6]?"(x)-a]=0,所以/(x)=9或

f(x)=a,畫出y=∕(x)的圖像，當(dāng)f(x)=9時(shí)，因?yàn)?<9<3,所以該方程有4個(gè)根；因

554

為關(guān)于X的方程5[∕(x)]2-(5a+6)∕(x)+6a=0(a∈R)有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以

/(x)=a有兩個(gè)根，由圖可知，實(shí)數(shù)媒的取值范圍是：0<“<1或a=』

三、解答題(共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考試必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

在443C中，角4民C的對(duì)邊分別為a,仇c，??/?^cosC=(2b-?/?e)cosA.

(1)求角Z的大?。?/p>

(2)求CoSl芳-81-2sin2?∣的取值范圍.

17.解：(1)由JJaeOSC=(26-GC)COSZ及正弦定理可得：

VJSin4cosC=(2sin5-?/?sinC)cosA=2sin5cos√4-VJsinCcos√4,

故2sin8cosA=G(SinAcosC÷sinCcosA)=y∣3sin(∕+C)=?/?sin5,

?.?O<5<?,.,.sin5≠O,.,.cosA=,又因?yàn)?<∕<%,所以/二工

(2)cosf?-5j-2sin2-?=sin5÷cosC-I=sin5-cos(∕+5)-1

=Sin5-cos—cos8+sin&SinB-I=-SinB-----cos8-I=VJSilIB---1

6622I6J

由“曦可得匹（。片）所以八3π2π,從而SinB-—I∈-?,l.

因此GSin（8—工］-l∈一&1,也_1

故CoSIW—81—2sin22的取值范圍是「立垃/T

I2)2I2

18.（本小題滿分12分）高三某班12月月考語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布NaOO,17.52）,數(shù)學(xué)成績(jī)的

頻率分布直方圖如圖，如果成績(jī)大于135分，則認(rèn)為特別優(yōu)秀.

（1）這500名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？

（2）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三

人中兩科都特別優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若X?N（μ,CH）,則尸（〃—σ?<X<〃+σ?）=0.68,P（μ-2σ<X<μ+2σ）^0.96

18.解：因?yàn)檎Z(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布N（IOO,17.52）,所以語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為

Pl=尸（X〉135）=（l—0.96）x；=0.02,

3

數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為Pz=0.0016X20X：=0.024

所以語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的同學(xué)有500x0.02=10（人），

數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有500x0.024=12（人）................（5分）

（2）因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有6人，單科優(yōu)秀的有10人，X的所有可能取值為0,1,2,3

所以X的分布列為

ZABB

19.(本小題滿分12分)如圖①,在平行四邊形/844中，I=60°,/8=4,AAi?2,C,C1

分別為/8,44的中點(diǎn)，現(xiàn)把平行四邊形440。沿Ccl折起，如圖②所示，連接4C4444

(1)求證：AB11CC1；

(2)若ABl—?/e,求二面角C-ABt—4的余弦值.

19.(1)證明：由已知可得，四邊形∕CC∣4,8CC∣8∣均為邊長(zhǎng)為2的菱形，且

N/CG=NBCC=60°,取CG的中點(diǎn)。，連接1。，4。,/￡，則a/CG是等邊三角形，

所以∕o,cq,同理可得80,cc∣.又因?yàn)楱Monqo=o,所以CG，平面〃。片，又因

為/gu平面所以/4，Cc「....................(5分)

BBl

（2）由已知得。∕=08=√i,45∣=遙，所以。M+OB2=/耳，故。/，。4，分別以

西,西,方的方向?yàn)閄軸，y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得

C(0,-l,0),Bt(√3,0,0),/(0,0,√3),At(0,2,√3).設(shè)平面CZg的法向量而=(x∣,y,z∣),

AB-m--?∕3x—乖>Z?=0

AB?(√3,0,-√3),^AC=(0,-l,-√3),.?.<}1

}—,_r-，令玉=1，得

AC?m--yx-√3z1=0

Zl=LM=-石,所以C4B1的法向量蔡=(1,-√3,1).

設(shè)平面AAlBi的法向量3=@2,8，Z2)，彳瓦=(√3,O,-√3),Zξ=(0,2,0),

?n—√3X7—√3Z9=0

由_-^,令工2=1，得Z2=l,%=°，

?n=2y2=0

所以平面工44的法向量〃=（LO』）,

m`n2Vio

于是cos（加,〃

p∣?∣n∣^√5×√2r

因?yàn)槎娼莄—/片一4的平面角為鈍角，所以二面角c一/耳一耳的余弦值為—半

20.（本小題滿分12分）已知曲線/（x）=αr+bχ2]nχ在點(diǎn)（1,/⑴）處的切線方程是y=2x-l.

（1）求實(shí)數(shù)α,b的值；

(2)若/(x)NAX2+/一I)X對(duì)任意χw(o,+o0)恒成立，求實(shí)數(shù)上的最大值.

,[/⑴=Q=I

20.解：(1)/(x)=β+2hxInX+?x,由《,可得。=b=l......(4分)

[/'⑴=α+b=2

?γIrlY

(2)由x+χ21nx2丘2+伏一i)χ對(duì)任意Xe(O,+00)恒成立，即)WW恒成立,令

x+1

2+XInX(InX+I)(X+1)-2-XInXInx+x-1

g(χ)(x>0),則g'(x)

x+1(X+1)2(X+1)2

顯然N=InX+x-l單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)x=l,

所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以gmin(x)=g(D=l,

所以左≤1,故左的最大值為1.........................................(12分)

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=ln(g+g&x[+χ2-狽(。為常數(shù)，。＞0).

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)/(x)的圖像在x=l處的切線方程；

(2)當(dāng)J=/(x)在X=；處取得極值時(shí)，若關(guān)于X的方程/(x)-b=0在[0,2]上恰有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

^1I?

(3)若對(duì)任意的OG(1,2),總存在XOe-A，使不等式/(%)＞加(/+2。-3)成立，求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.

21.解：(1)當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=lnfL+,x]+χ2-χ,所以/，(X)=-L+2χ-I,/'⑴=3,

^22√1+x2

3

又7(1)=0,即切點(diǎn)為(1,0),所以切線方程為y=](x—1),即3x—2y-3=0.……(3分)

,

(2)∕(χ)=-≤―+2x-a,依題意，/'(']=—^—+l—a=0,即/一。—2=0,因?yàn)?/p>

1+辦UJι+lα

2

α＞0,所以α=2,此時(shí)/'(所=2：：；T),所以/(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,2上單

調(diào)遞增，又3531

/(0)=InIJ--,/(2)=In-,所以一±<b/ln±.(6分)

4242

,、“、aC2ax2+(2-a2)xx[20x-(α2-2)1

(3)/(X)=------+2x-a=-----------------―=-^----------------

1+QX1+QX1+QX

._,、1YCLL…Cr—21id—2)(。+1)?,—21.-,...,.1IAz.3

因?yàn)?<。<2,所以---------=------------<0?Ο即r------<一,所r以/z(zx)在一,i1上單調(diào)

2a22a2a2\_2J

遞增，所以加X(jué)(X)=/⑴=山6+34+1-*

問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的a∈(1,2),不等式In；4)+1—α〉m(a2+2?！?)恒成立,

設(shè)h(a)-?x??-+-a?+?-a-m{a2+2a-3)(1<ɑ<2),

LI,,/、?C-2"7Q2-(4/篦+1)。-2加EI/、_LL1?1,/、4.,

則〃(。)=------↑-2ma-2m=-----------------------------，XA(I)=O,所以〃(。)在Q=I1右1側(cè)zm

l+aα+l

需先單調(diào)遞增，所以〃'⑴20,即加〈一].

當(dāng)初〈一??時(shí)，設(shè)8(。)=一2加。2-(4加+1)4-2加，其對(duì)稱軸為Q=T———<1,又一2加〉0,

84m

開(kāi)口向上，且g⑴=一8m—120,所以在(1,2)內(nèi)，g(a)>0,即/(a)>0,所以久。)在(1,2)

內(nèi)單調(diào)遞增，A(a)>Λ(l)=0,即In++l—4>∕w(α2+24-3)(1<a<2).

^1"I,

于是，對(duì)任意的αe(1,2),總存在XOW~Λ，使不等式/(%)>皿。+2?！?)成立.

綜上可知，m≤——