動(dòng)畫(huà)解析將軍飲馬問(wèn)題15個(gè)常見(jiàn)模型（下載后才能觀看動(dòng)畫(huà)效果）

初中數(shù)學(xué)

將軍飲馬問(wèn)題

常見(jiàn)模型解析鄭若軍2019年12月14日早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)在亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題。將軍每天從營(yíng)地A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的營(yíng)地B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳。什么是將軍飲馬問(wèn)題？河岸如圖所示，從A出發(fā)向河岸線L引垂線，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線上，取A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A‘，連結(jié)A‘B，與河岸線相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的最佳位置。將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，所走的路程就是最短的。如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C‘飲馬，所走的路程就是AC‘+C‘B。但是，AC‘+C‘B=A‘C‘+C‘B>A‘B=A‘C+CB=AC+CB可見(jiàn)，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C‘飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些。解決辦法AB河岸線LA’CC’D將軍飲馬問(wèn)題模型化在解決日常生活中遇到的問(wèn)題時(shí)，我們把常常把問(wèn)題數(shù)學(xué)化,抽象歸納成為一個(gè)數(shù)學(xué)模型。將軍飲馬問(wèn)題也不例外。在這個(gè)問(wèn)題中，我們把營(yíng)地A、營(yíng)地B抽象為點(diǎn)A、點(diǎn)B，把河岸抽象為直線L，把距離抽象為線段的長(zhǎng)度，這樣，一個(gè)生活問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。將軍飲馬問(wèn)題模型有很多變種，但是，其核心理論基礎(chǔ)不外乎以下兩點(diǎn)：1）公理：兩點(diǎn)之間線段最短；2）垂直平分線定理。將軍飲馬問(wèn)題尋找對(duì)稱軸的方法：動(dòng)點(diǎn)在哪兒，對(duì)稱軸就在哪兒。找到對(duì)稱軸之后，再作對(duì)稱點(diǎn)，然后再將題設(shè)中求和的各個(gè)線段映射到一條直線上。最后，就可以利用上述兩個(gè)定理加以證明了。下面，對(duì)常見(jiàn)的十五個(gè)問(wèn)題模型進(jìn)行逐個(gè)講解。將軍飲馬問(wèn)題模型1---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線L同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)C是直線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置，能使得AC+BC最小。將軍飲馬問(wèn)題模型1---解答【問(wèn)題】如圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線L同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)C是直線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置，能使得AC+BC最小?！窘獯稹窟^(guò)點(diǎn)A作線段AG垂直于直線L交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AG至A‘，使AG=

A‘G，連接A‘B交直線L于點(diǎn)C，在直線L上取另外任一點(diǎn)C‘，連接AC‘、

A‘C‘和BC‘，因?yàn)橹本€L是AA‘的垂直平分線，顯然有：AC‘+C‘B=A‘C‘+C‘B>A‘B=A‘C+CB=AC+CB因此，AC+BC取最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型1---演示【問(wèn)題】如圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線L同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)C是直線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置，能使得AC+BC最小?！居^察】在點(diǎn)C‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：

C‘B=A‘C‘+C‘B≥A‘B=A‘C+CB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C‘和點(diǎn)C重合時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型2---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小。MN將軍飲馬問(wèn)題模型2---解答【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小?！窘獯稹糠謩e作P點(diǎn)關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P‘、P‘‘，易知，射線OM和ON分別是線段PP‘和PP‘‘的垂直平分線。連接P‘P‘‘分別交OM、ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。連接PA、PB，易知：

△PAB的周長(zhǎng)=PA+AB+BP=P‘A+AB+

BP‘‘=P‘P‘‘。在射線OM、ON上分別取點(diǎn)A‘、B‘，易知：△PA‘B‘的周長(zhǎng)=PA‘+A‘B‘+B‘P=P‘A‘+A‘B‘+B‘P‘‘>P‘P‘‘=△PAB的周長(zhǎng).（公理：兩點(diǎn)之間線段最短）因此，圖中△PAB的周長(zhǎng)最小。MN將軍飲馬問(wèn)題模型2---演示【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小?！居^察】在點(diǎn)A‘和點(diǎn)B‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：P‘A‘+A‘B‘+B‘P‘‘≥P‘A+AB+BP‘‘當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A‘和點(diǎn)A、點(diǎn)B‘和點(diǎn)B同時(shí)重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。MN將軍飲馬問(wèn)題模型3---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P、Q是∠MON內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小。MN將軍飲馬問(wèn)題模型3---解答【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P、Q是∠MON內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小?！窘獯稹糠謩e作點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P‘、Q‘，則射線OM和ON分別是線段PP‘和QQ‘的垂直平分線。連接P‘Q‘分別交OM、ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。連接PA、QB，易知：

四邊形PABQ的周長(zhǎng)=PQ+PA+AB+BQ=PQ+P‘A+AB+BQ‘=PQ+P‘Q‘。在射線OM、ON上分別取點(diǎn)A‘、B‘，易知：四邊形PA‘B‘Q的周長(zhǎng)=PQ+PA‘+A‘B‘+B‘Q+=PQ+P‘A‘+A‘B‘+B‘Q‘>PQ+P‘Q‘=四邊形PABQ的周長(zhǎng)。（兩點(diǎn)之間線段最短）因此，圖中四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小。MN將軍飲馬問(wèn)題模型3---演示【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P、Q是∠MON內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小?！居^察】在點(diǎn)A‘和點(diǎn)B‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：P‘A‘+A‘B‘+B‘Q‘≥P‘A+AB+BQ‘當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A‘和點(diǎn)A、點(diǎn)B‘和點(diǎn)B同時(shí)重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。MN將軍飲馬問(wèn)題模型4---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，在射線OM作點(diǎn)A，使PA和A點(diǎn)到射線ON的距離之和最小。將軍飲馬問(wèn)題模型4---解答【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，在射線OM作點(diǎn)A，使PA和A點(diǎn)到射線ON的距離之和最小?！窘獯稹孔鼽c(diǎn)P關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P‘，作線段P‘B垂直于ON并分別交OM、ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。連接PA，QB，易知：PA+AB=P‘A+AB=P‘B。在射線OM上取點(diǎn)A‘，作A‘B‘垂直于ON交于點(diǎn)B‘，易知：P‘A‘+A‘B‘>P‘B=P‘A+AB=PA+AB（公理：兩點(diǎn)之間線段最短）因此，圖中點(diǎn)A即為所求。將軍飲馬問(wèn)題模型4---演示【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，在射線OM作點(diǎn)A，使PA和A點(diǎn)到射線ON的距離之和最小?！居^察】在點(diǎn)A‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：P‘A‘+A‘B‘≥PA+AB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A‘和點(diǎn)A重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型5---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，E是AC上的點(diǎn)且AE=2，點(diǎn)M是中線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求EM+MC的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型5---解答【問(wèn)題】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，E是AC上的點(diǎn)且AE=2，點(diǎn)M是中線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求EM+MC的最小值。

將軍飲馬問(wèn)題模型5---演示【問(wèn)題】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，E是AC上的點(diǎn)且AE=2，點(diǎn)M是中線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求EM+MC的最小值?！居^察】在點(diǎn)M‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：E‘M‘+M‘C≥E‘C=E‘M+MC=EM+MC當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M‘和點(diǎn)M重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型6---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠??????=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)。求PE+PB的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型6---解答【問(wèn)題】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠??????=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)。求PE+PB的最小值?！窘獯稹孔鼽c(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E‘，連接E‘B交AC于點(diǎn)P，連接EP，易知：EP+PB=E‘P+PB=E‘B。在AC上另取一點(diǎn)P‘，連接P‘E‘、P‘E、P‘C，易知：

將軍飲馬問(wèn)題模型6---演示【問(wèn)題】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠??????=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)。求PE+PB的最小值。【觀察】在點(diǎn)P‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：

P‘E+P‘B=P‘E‘+P‘B>=E‘B=EP+PB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P‘和點(diǎn)P重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型7---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，正方形ABCD的面積為12，⊿ABE為等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)。求PD+PE的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型7---解答【問(wèn)題】如圖，正方形ABCD的面積為12，⊿ABE為等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)。求PD+PE的最小值。

將軍飲馬問(wèn)題模型7---演示【問(wèn)題】如圖，正方形ABCD的面積為12，⊿ABE為等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)。求PD+PE的最小值。【觀察】在點(diǎn)P‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：

P‘D+P‘E=P‘B+P‘E>BE=PD+PE當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P‘和點(diǎn)P重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型8---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，在直角梯形ABCD中，AD=6，AB=7，BC=8，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)。求PC+PD的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型8---解答【問(wèn)題】如圖，在直角梯形ABCD中，AD=6，AB=7，BC=8，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)。求PC+PD的最小值。

將軍飲馬問(wèn)題模型8---演示【問(wèn)題】如圖，在直角梯形ABCD中，AD=6，AB=7，BC=8，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)。求PC+PD的最小值。【觀察】在點(diǎn)P‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：P‘C+P‘D=P‘C+P‘D‘>D‘C=PC+PD當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P‘和點(diǎn)P重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型9---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，MN是圓O的直徑，MN=10，∠AMN=30°，B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是MN上的動(dòng)點(diǎn)。求PA+PB的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型9---解答【問(wèn)題】如圖，MN是圓O的直徑，MN=10，∠AMN=30°，B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是MN上的動(dòng)點(diǎn)。求PA+PB的最小值。【解答】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B‘，連接AB‘交MN于點(diǎn)P，連接PB，易知：PA+PB=PA+PB‘=AB‘在MN上取點(diǎn)P‘，易知：P‘A+P‘B=P‘A+P‘B‘>AB‘=PA+PB因此，圖中點(diǎn)P即為PA+PB取最小值的位置。

將軍飲馬問(wèn)題模型9---演示【問(wèn)題】如圖，MN是圓O的直徑，MN=10，∠AMN=30°，B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是MN上的動(dòng)點(diǎn)。求PA+PB的最小值?！居^察】在點(diǎn)P‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：

P‘A+P‘B=P‘A+P‘B‘>AB‘=PA+PB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P‘和點(diǎn)P重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型10---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A是直線y=x/2和反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)，AM垂直于x軸交于點(diǎn)M，⊿OAM面積為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型10---解答【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A是直線y=x/2和反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)，AM垂直于x軸交于點(diǎn)M，⊿OAM面積為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值。

將軍飲馬問(wèn)題模型10---演示【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A是直線y=x/2和反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)，AM垂直于x軸交于點(diǎn)M，⊿OAM面積為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值?！居^察】在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：

PA‘+P‘B=P‘A‘+P‘B=BA‘≤PA‘+PB=PA+PB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P‘和點(diǎn)P重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型11---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線L同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線上作線段CD，使CD=a(定值)，且AC+CD+DB最小。將軍飲馬問(wèn)題模型11---解答【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線L同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線上作線段CD，使CD=a(定值)，且AC+CD+DB最小?！窘獯稹孔鼽c(diǎn)AA‘//CD，且AA‘=CD。作A‘關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A‘‘，連接BA‘‘交直線L于D，作AC‘//CD交直線L于C，故AA‘DC為平行四邊形，易知：AC=A‘D=A‘‘D在直線上取線段C‘D‘=CD，易知：AA‘D‘C‘為平行四邊形，且AC‘=A‘D‘=A‘‘D‘?！郃C+CD+DB=CD+A‘‘D+DB=CD+A‘‘B≤CD+A‘‘D‘+D‘B=AC‘+C‘D‘+D‘B因此，所作線段CD可使AC+CD+DB取最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型11---演示【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線L同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線上作線段CD，使CD=a(定值)，且AC+CD+DB最小?！居^察】在線段C‘D‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：A‘‘B≤A‘‘D‘+D‘B，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D‘和點(diǎn)D重合且點(diǎn)C‘和點(diǎn)C也同時(shí)重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型12---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，直線L1//L2，A為L(zhǎng)1上方一點(diǎn)，B為L(zhǎng)2下方一點(diǎn)，在L1上作點(diǎn)M，在L2上作點(diǎn)N，使MN⊥L1，且AM+MN+NB最小。將軍飲馬問(wèn)題模型12---解答【問(wèn)題】如圖，直線L1//L2，A為L(zhǎng)1上方一點(diǎn)，B為L(zhǎng)2下方一點(diǎn)，在L1上作點(diǎn)M，在L2上作點(diǎn)N，使MN⊥L1，且AM+MN+NB最小?！窘獯稹孔鼽c(diǎn)AA‘⊥L1，且AA‘的長(zhǎng)度等于L1和L2

之間的距離。連接BA‘交直線L2于N，作NM⊥L1于M，易知：MN=AA‘，AM=A‘N在直線L1、L2上分別另外取點(diǎn)M‘、N‘，使得M‘N‘⊥L1，易知：AA‘N‘M‘為平行四邊形，故有：AM‘=A‘N‘?！郃M+MN+NB=A‘N+MN+NB=MN+A‘B≤MN+A‘N‘+N‘B=AM‘+MN+N‘B因此，所作線段MN可使AM+MN+NB取最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型12---演示【問(wèn)題】如圖，直線L1//L2，A為L(zhǎng)1上方一點(diǎn)，B為L(zhǎng)2下方一點(diǎn)，在L1上作點(diǎn)M，在L2上作點(diǎn)N，使MN⊥L1，且AM+MN+NB最小。【觀察】在線段M‘N‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：A‘B≤A‘N‘+N‘B，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N‘和點(diǎn)N重合且點(diǎn)N‘和點(diǎn)N也同時(shí)重合時(shí)，上述不等式等號(hào)成立。將軍飲馬問(wèn)題模型13---問(wèn)題

將軍飲馬問(wèn)題模型13---解答

將軍飲馬問(wèn)題模型13---演示

【觀察】在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)P、點(diǎn)P‘和點(diǎn)B‘四點(diǎn)共線時(shí)，AP+PP‘+P‘B‘取最小值A(chǔ)B‘，也就是PA+PB+PC取最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型14---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，連接OA，將線段繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200，得到線段OB。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式。（3）在(2)中的拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使得⊿BOC周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。將軍飲馬問(wèn)題模型14---解答【問(wèn)題】詳見(jiàn)上頁(yè)。

將軍飲馬問(wèn)題模型15---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，∠BAC=600，AB=6，AC=3，弧BC是以點(diǎn)D為圓心的弧，且∠BDC=600?，F(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)E在弧BC上，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上運(yùn)動(dòng)。求PE+EF+FP的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型15---解答(1/2)

【問(wèn)題】如圖，∠BAC=600，AB=6，AC=3，弧BC是以點(diǎn)D為圓心的弧，且∠BDC=600?，F(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)E在弧BC上，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上運(yùn)動(dòng)。求PE+EF+FP的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型15---解答(2/2)

【問(wèn)題】如圖，∠BAC=600，AB=6，AC=3，弧BC是以點(diǎn)D為圓心的弧，且∠BDC=600?，F(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)E在弧BC上，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上運(yùn)動(dòng)。求PE+EF+FP的最小值。將軍飲馬問(wèn)題模型15---演示【觀察】點(diǎn)E‘在弧BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有：AE+ED=AD<AE‘+E‘D=AE‘+ED

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)E‘

重合時(shí)，不等式等號(hào)成立?！締?wèn)題】如圖，∠BAC=600，AB=6，AC=3，弧BC是以點(diǎn)D為圓心的弧，且∠BDC=600?，F(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)E在弧BC上，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上運(yùn)動(dòng)。求PE+EF+FP的最小值。拓展思考題1【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A、D分別是OM，ON上的定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贠M、ON上分別作點(diǎn)C和點(diǎn)B，使AB+BC+CD之和最小。拓展思考題1答案【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)A、D分別是OM，ON上的定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贠M、ON上分別作點(diǎn)C和點(diǎn)B，使AB+BC+CD之和最小。【解答】分別作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A‘，點(diǎn)D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D‘，然后，連接A‘D‘，分別交OM、ON于點(diǎn)C和點(diǎn)B，此時(shí)，AB+BC+CD之和最小。拓展思考題2---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm處的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，求螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離。拓展思考題2---解答

【問(wèn)題】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm處的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，求螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離。拓展思考題3---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，正方形ABCD中，AB＝8，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)向D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從B出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同．當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段BE、CF相交于點(diǎn)P，H是線段CD上任意一點(diǎn)，則AH+PH的最小值為（）。拓展思考題3---解答

【問(wèn)題】如圖，正方形ABCD中，AB＝8，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)向D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從B出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同．當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段BE、CF相交于點(diǎn)P，H是線段CD上任意一點(diǎn)，則AH+PH的最小值為（）。拓展思考題4---問(wèn)題【問(wèn)題】如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC=600。將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A‘B‘D‘，分別鏈接A‘C，A‘D，B‘C，求A‘C+B‘C的最小值。拓展思考題4---解答

【問(wèn)題】如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC=600。將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A‘B‘D‘，分別鏈接A‘C，A‘D，B‘C，求A‘C+B‘C的最小值。拓展思考題4---演示【觀察】在△A‘‘B‘‘D‘‘的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有：

A‘C+B‘C=A‘E+A‘C=EC≤A‘‘E+A‘‘C=A‘‘C+B‘