湖北省宜昌市示范高中協(xié)作體2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

湖北省宜昌市示范高中協(xié)作體2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．3．如圖所示，程序框圖算法流程圖的輸出結(jié)果是A． B． C． D．4．下列各命題中，假命題的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)5．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．6．一只小狗在圖所示的方磚上走來(lái)走去，最終停在涂色方磚的概率為（）A． B． C． D．7．若且，則下列四個(gè)不等式：①，②，③，④中，一定成立的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④8．下列大小關(guān)系正確的是()A.B.C.D.9．兩條直線和，，在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．10．已知平面向量的夾角為，且，則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列語(yǔ)句：①若為正實(shí)數(shù)，，則；②若為正實(shí)數(shù)，，則；③若，則；④當(dāng)時(shí)，的最小值為，其中結(jié)論正確的是___________．12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，那么使其前項(xiàng)和最小的是______.13．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線的方程為___________.14．甲、乙兩人要到某地參加活動(dòng)，他們都隨機(jī)從火車、汽車、飛機(jī)三種交通工具中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為_________.15．設(shè)三棱錐滿足，，則該三棱錐的體積的最大值為____________.16．已知等差數(shù)列則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求（）的最大值與最小值.18．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值.19．據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．（1）試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比；（2）假設(shè)球半徑．試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.20．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：．21．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求：（Ⅰ）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）直線的方程

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由得，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【題目詳解】，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．2、D【解題分析】

由共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出即可.【題目詳解】向量，，且，，解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)的值，解題時(shí)要熟悉共線向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

模擬程序圖框的運(yùn)行過程，得出當(dāng)時(shí)，不再運(yùn)行循環(huán)體，直接輸出S值．【題目詳解】模擬程序圖框的運(yùn)行過程，得S=0,n=2,n<8滿足條件，進(jìn)入循環(huán)：S=滿足條件，進(jìn)入循環(huán)：進(jìn)入循環(huán)：不滿足判斷框的條件，進(jìn)而輸出s值，該程序運(yùn)行后輸出的是計(jì)算：．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．根據(jù)程序框圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．4、D【解題分析】

根據(jù)弧度制的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，正確；B選項(xiàng)，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正確；C選項(xiàng)，根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，正確；D選項(xiàng)，用角度制度量角，與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故D錯(cuò).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查弧度制的相關(guān)判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解題分析】

利用平面向量數(shù)量積和定義計(jì)算出，可得出結(jié)果.【題目詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來(lái)計(jì)算平面向量的模，在計(jì)算時(shí)，一般將模進(jìn)行平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6、C【解題分析】

方磚上共分為九個(gè)全等的正方形，涂色方磚為其中的兩塊，由幾何概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【題目詳解】由圖形可知，方磚上共分為九個(gè)全等的正方形，涂色方磚為其中的兩塊，由幾何概型的概率公式可知，小狗最終停在涂色方磚的概率為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，解題時(shí)要理解事件的基本類型，正確選擇古典概型和幾何概型概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

根據(jù)且，可得，，且，，根據(jù)不等式的性質(zhì)可逐一作出判斷．【題目詳解】由且，可得，∴，且，，由此可得①當(dāng)a=0時(shí)，不成立，②由，，則成立，③由，，可得成立，④由，若，則不成立，因此，一定成立的是②③，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】試題分析：因?yàn)椋?，所以。故選C?？键c(diǎn)：不等式的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：對(duì)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，若，則函數(shù)都為增函數(shù)；若，則函數(shù)都為減函數(shù)。9、A【解題分析】

由方程得出直線的截距，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【題目詳解】由截距式方程可得直線的橫、縱截距分別為，直線的橫、縱截距分別為選項(xiàng)A，由的圖象可得，可得直線的截距均為正數(shù)，故A正確；選項(xiàng)B，只有當(dāng)時(shí)，才有直線平行，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，只有當(dāng)時(shí)，才有直線的縱截距相等，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由的圖象可得，可得直線的橫截距為正數(shù)，縱截距為負(fù)數(shù)，由圖像不對(duì)應(yīng)，故D錯(cuò)誤；故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的截距式方程，需理解截距的定義，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

將模平方后利用數(shù)量積的定義計(jì)算其結(jié)果，然后開根號(hào)得出的值．【題目詳解】，因此，，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來(lái)求平面向量的模，通常利用平方法結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義來(lái)進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③.【解題分析】

利用作差法可判斷出①正確；通過反例可排除②；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③正確；根據(jù)的范圍可求得的范圍，根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知④錯(cuò)誤.【題目詳解】①，為正實(shí)數(shù)，，即，可知①正確；②若，，，則，可知②錯(cuò)誤；③若，可知，則，即，可知③正確；④當(dāng)時(shí)，，由對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知：，可知④錯(cuò)誤.本題正確結(jié)果：①③【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問題、利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問題，屬于常規(guī)題型.12、5【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，判斷開口方向，計(jì)算出對(duì)稱軸，即可得出答案?！绢}目詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為關(guān)于的二次函數(shù)，又因?yàn)?，所以其?duì)稱軸為，而，所以開口向上，因此當(dāng)時(shí)最?。绢}目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。13、；【解題分析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，∵是中點(diǎn)，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長(zhǎng)（其中為圓心到弦所在直線的距離）．14、【解題分析】

利用古典概型的概率求解.【題目詳解】甲、乙兩人選擇交通工具總的選擇有種，他們選擇相同交通工具有3種情況，所以他們選擇相同交通工具的概率為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型，要用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

取中點(diǎn)，連，可證平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【題目詳解】取中點(diǎn)，連，所以，，，平面，平面，設(shè)中邊上的高為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查錐體的體積計(jì)算，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.16、1【解題分析】試題分析：根據(jù)公式，，將代入，計(jì)算得n=1．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，；(2)的最大值是，最小值是.【解題分析】試題分析：（1）由條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解得，，再根據(jù)等差與等比數(shù)列通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式（2）化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可確定其最值試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則解得，，所以，.（2）由（1）得，故，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，隨的增大而減小，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，隨的增大而增大，所以，令，，則，故在時(shí)是增函數(shù).故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上所述，的最大值是，最小值是.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理將邊角轉(zhuǎn)化,結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求得角.（Ⅱ）先根據(jù)余弦定理求得,再由正弦定理求得,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得,即可求得.即可求得的值.【題目詳解】（Ⅰ）在中,由正弦定理可得即因?yàn)?所以,即又因?yàn)?可得（Ⅱ）在中,由余弦定理及,,有,故由正弦定理可得因?yàn)?故因此,所以,【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,二倍角公式及正弦和角公式的用法,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）圓錐體積，表面積【解題分析】

（1）由球的半徑可知圓柱底面半徑和高，代入球和圓柱的體積公式求得體積，作比得到結(jié)果；（2）由球的半徑可得圓錐底面半徑和高，從而可求解出圓錐母線長(zhǎng)，代入圓錐體積和表面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)球的半徑為，則圓柱底面半徑為，高為球的體積；圓柱的體積球與圓柱的體積比為：（2）由題意可知：圓錐底面半徑為，高為圓錐的母線長(zhǎng)：圓錐體積：圓錐表面積：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間幾何體的表面積和體積求解問題，考查學(xué)生對(duì)于體積和表面積公式的掌握，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

(1)連接與與交于點(diǎn)，在利用中位線證明平行.(2)首先證明平面，由于平面，證明得到結(jié)論.【題目詳解】證明：（1）連接與交于點(diǎn)，連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為中點(diǎn)因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以所以，，，平面，平面所以平面因?yàn)槠矫?，所以【題目點(diǎn)撥】本題考查直棱柱得概念和性質(zhì)，考查線面平行的判定定理，考查線面垂直的判