廣西欽州市2023年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

L請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

flogx,x>0

1已知函數(shù)Av，若關(guān)于X的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-oo,0）U（0,1）B.（-℃,0）U（l,+oo）

C.（一8,0）D.（0,l）U（l,+oo）

1

2函數(shù)/（X）=—■——-的圖象大致是（）

x—Inx—I

4已知數(shù)列后［滿足：%1叼。4一廠/?“N6（〃￡N）.若正整數(shù)k伏汩使得。1小一。四戈成立，則

k()

A.16B.17C.18D.19

5已知d,〃滿足網(wǎng)=2』，5|=3,小6=—6,則a在5上的投影為（

A.-2B.-1C.-3D.2

6若關(guān)于x的不等式f1丫42有正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的最小值為（）

A.9B.8C.7D.6

7已知函數(shù)/（乂）=21211（0^）（（0>0）的圖象與直線'=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為兀，若定義巾以｛。/｝=<，產(chǎn)/?

［b,a<b

（n3兀、

則函數(shù)八（x）=max"（x）,/（x）cosx｝在區(qū)間［一,一內(nèi)的圖象是（）

（22

8已知/?=ex-1是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()

庚+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

[Qx,X<l

9已知實(shí)數(shù)a>0,awl,函數(shù)/(x)=J4在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X2+_+alnx,x>1

.x

A.l<a<2B.a<5c.3<a<5D.2<a<5

10.把滿足條件(1)VxeR,f(-x)=f(x),(2)Vx”R,3xe/?,使得/(x)=一/G,)的函數(shù)稱為“D函

數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（)

①/=;v2+|x[②7="3③/=加+以*④y=cosx（§）；/=xsinx

A.1個(gè){}（B?）2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.設(shè)數(shù)列a?eN*的各項(xiàng)均為正數(shù)，前"項(xiàng)和為5,loga=1+log〃，且〃=4,則S=（）

〃n2//+12/i36

A.128B.65C.64D.63

12.已知橢圓rfJ=l（〃>〃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,上頂點(diǎn)為點(diǎn)n,延長力F交橢圓「于點(diǎn)B,若

產(chǎn)AABF

a2bi1221

為等腰三角形，則橢圓〃的離心率e=

A.1B.在

33

1

cD"

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩

節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)、排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物

理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)

和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有種.

14.已知尸（一3,0）,尸（3,0）為雙曲線，：￥/二=1（“>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線。的漸近線上存在點(diǎn)P滿足

12G左

\PF\=2\PF\,貝”的最大值為

I2--------

15.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人

至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

16.已知三棱錐P—/BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=BC=5,PB=AC=J^,PC=AB=2#,則球。

的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷

（x-1+2/

直線/JcQ為參數(shù)）與圓。：「2+2「。（《。一2「5由6=0的位置關(guān)系.

&=1-2，

18.（12分）如圖所示，在四棱錐P—/BCD中，AB//CD,AD=AB=-CD,/.DAB=60°,點(diǎn)E,尸分別為CD,4尸

2

的中點(diǎn).

/\>玉::二：E

/\

/z\

J.\

//\

/Z

fZ

彳B

(1)證明：PC〃面BEF；

(2)若P4_LPD,且P4=P。，面P/D，面力BCD,求二面角F-BE—/的余弦值.

19.(12分)4/BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(〃+2c)cosB+bcosA=0.

(1)求B；

(2)若。=4,求的面積的最大值.

fx=COS0,

20.(12分)在直角坐標(biāo)系川沙中，曲線￡的參數(shù)方程為j=§50以。為極點(diǎn)，*軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

I，

八A71

設(shè)點(diǎn)力在曲線c：pSin0=1.h,點(diǎn)B在曲線c：e=__(p〉0)上，且A/OB為正三角形.

236

(1)求點(diǎn)4,B的極坐標(biāo)；

〈2)若點(diǎn)。為曲線工上的動(dòng)點(diǎn)，池為線段4>的中點(diǎn)，求IB/MI的最大值.

21.(12分)如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD1AB,/B=3C=2/D=2,四邊形EDCF為矩形，

CF=>/3,平面EDCF1平面ABCD.

⑴求證：DF||平面ABE；

⑵求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.

J3

(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為2—，若存在，求出線段BP的長，若不

4

存在，請說明理由.

22.(10分)已知拋物線。：.尸=4、的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)力(〃,3),點(diǎn)P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若bM+|PH的最小值為5,求實(shí)數(shù)，，的值；

（2）設(shè)線段OP的中點(diǎn)為其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若NM0/=NM40=N/0F,求八?？诘拿娣e.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

利用換元法設(shè)/=/（◎,則等價(jià)為/（，）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分〃＜（）,〃=。,〃＞。三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合函

數(shù)的圖象，求出"的取值范圍.

【詳解】

解：設(shè)/=/（乂），則/（/）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

f(Q=a-<0,由/(/)=()即bgj=()

當(dāng)〃＜0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)解得/=1,

I刃3

結(jié)合圖象可知，此時(shí)當(dāng)/=1時(shí)，得/'（Q=1,則丫=-是唯一解，滿足題意；

3

當(dāng)〃=0時(shí)，此時(shí)當(dāng)乂＜0時(shí)，/（、）=〃.（：：'=（）,此時(shí)函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)〃＞（）時(shí)，當(dāng)kWO時(shí)，/（、）=〃,（；[e[〃,+oc）,此時(shí)/Q）最小值為〃，

結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于X的方程/[/(?]=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)〃>1.

綜上所述：a<Q或〃>1.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

2.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，把分母設(shè)為新函數(shù)，首先計(jì)算函數(shù)定義域，然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，對應(yīng)函數(shù)圖像得

到答案.

【詳解】

11

設(shè)=xTnx-l,g(l)=0,則/(刈=----------的定義域?yàn)閤G(0J)U(l，+8).g'(x)=l-一，當(dāng)xw(l,+8),

x—Inx—1x

g'(x)>0,g(W單增，當(dāng)x€(0,1),g'3)<0,g(x)單減，則g(x)>^(1)=0.則/(x)在％G(0,1)上單增，XG。,+8)

上單減，/③>().選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖像的判斷，用到了換元的思想，簡化了運(yùn)算，同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.

3.B

【解析】

螭x<0,/(x)>0,可排除4,D,然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：a<0,

所以當(dāng)X<0時(shí)，/G)>0,

又f\x)=ex+a,

令f'G）>0,貝!Jx>In（—a）

令f'G）<0,則無<ln（—a）

所以函數(shù)/（X）在Joo,In（-。））單調(diào)遞

減在（in（-a）,+8）單調(diào)遞增，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬

基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

由題意可得力"2%%2,"6勺。臼。廠/2-13/,兩時(shí)，"必…1+"”，將^換為”一,兩

式相除，a：a,^ra?n>6,

累加法耒得"J?。14,廠/?1-5即止；?4?I%,廠%Ik-5-a*-1h/6,結(jié)合條件,

即可得到所求值.

【詳解】

2.n<5

解:上"？’.廠/.”26仞￡、'.[

即伊3q%42,%0產(chǎn)‘3%"）-/3/,

時(shí)，“此…，.//'an,

ala2-a,,/+4+/,

/+*/

兩式相除可得]1+aa?%,

則可一%7。n>6,

2

由"t，=a7'a6'1,

4=%/-4+/,k>5,

可得￡1+…(卜5

,,17

…+。1=20+。&//?。色+上?5=?j+"-16

且力與…%/+，+/,

2i2

正整數(shù)上保切時(shí),要使得勺'0+…1”*=叩*2…勺成立,

則"1+16=*/+/,

觸”,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列

相關(guān)的方程，本題屬于難題.

5.A

【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.

【詳解】

ab-6

。在上的投影為-2

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

zx*-Inx31n3r\Inx

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為丁2一亡，令八x)=—,利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)k的最小值.

⑺27X

【詳解】

,%Inx

因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解，所以工〉0,于是■轉(zhuǎn)化為^^231113,%=1顯然不是不等式的解，當(dāng)x>l時(shí),

VxJ27

,八~klnx_Inx31n3

lnx〉0,所以231n3可變形為一>.

xxk

令人）=史，則r（x）=3,

Xx2

...函數(shù)/（X）在（0,e）上單調(diào)遞增，在Q+8）上單調(diào)遞減，而2<e<3,所以

當(dāng)xeN*時(shí)，/=max{/（2）,/（3）}=世，故婦之吧解得心9.

max3'3k

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考

查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

71

由題知/(x)=2tan(3X)(3>0),利用「=而求出3,再根據(jù)題給定義，化簡求出Mx）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和

正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意，/（x）=2tan（（0x）（8>0）的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為兀，

C八冗汽

所以/（x）=2tan（（ox）（（o>（））的周期為兀，則co=_=_=l，

T71

|「2sinx,xe71,71

()

所以6(x)=max2tanx,2sinx

=12tanx,xJ?！敢鳎?/p>

I-J

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知力正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對新定義的理解.

8.C

【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得a=1,進(jìn)而可知/（X）在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得x-3<9-X2,解一元二次不等式即可得解.

【詳解】

因?yàn)?(A-)=6一1是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(1)+/(-1)=0,

e>+a

1-1(、

刖e—l)工=0,解得。=1,即臼一1一2

即'―1—9

e+。1+4ci+1ex+1

e

易知/G)在R上為增函數(shù).

又一(無一3)</(9-九2),所以X-3<9-X2,解得-4<x<3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

9.D

【解析】

根據(jù)題意，對于函數(shù)分2段分析：當(dāng)x<l,/(x)=3,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得”>1①，當(dāng)

44a

x>l,/(x)=x2+_+alnx,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得尸(x)=2x-_+(),在U,+8)上恒成立，變形

XX2X

可得。22②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得。41+4③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.

【詳解】

ifax.x<\

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=14在R上單調(diào)遞增，

X2+_+?Inx,x>1

x

當(dāng)X<1J(X)=G,若/G%增函數(shù)，貝!|〃〉1①，

4

當(dāng)尤2l,f(x)=x2+—+a\nx,

X

若/(X)為增函數(shù)，必有「(x)=2x-￡+±20在［1,+8)上恒成立，

X2X

4

變形可得：a>一功，

x

又由可得g(x)=3-2x2在n,+oo)上單調(diào)遞減，則芻2%2?4二2=2,

,XX1

4

若。2_-2心在［1,+8)上恒成立，貝情4?2②，

X

若函數(shù)f(X)在R上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，

則需有aW1+4=5,③

聯(lián)立①②③可得：2<a<5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

10.B

【解析】

滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，分別對所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，①不滿足(2)；②不滿足(1)；

③不滿足(2)；④⑤均滿足(1)(2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.

11.D

【解析】

根據(jù)log。=l+bga,得到loga=log2a,即a=2a,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列%｝是等比數(shù)列，然

2n+12n2n+12nn+lnn

后再利用前n項(xiàng)和公式求S.

6

【詳解】

因?yàn)閘oga=1+loga,

2n+l2n

所以loga=log2a,

2n+l2n

所以嘖=2，

所以數(shù)列'a｝是等比數(shù)列，

n

又因?yàn)閍=4,

3

4

所以a=2=1,

1q24

a(l-Qo)ix(-2r.)

S=」-------=---------=63.

6

1—q1—2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

12.B

【解析】

設(shè)則\=2a-t,\AB\=a+t,

2i

因?yàn)閨=a,所以|4B|>|4F若|AF1=1BF\,則a=2a-t,所以a=t,

1I1I

所以|A尸|+|BFl=MBI=2a,不符合題意，所以I|,則2a-t=a+t,

II1

所以a=2t,所以|BF|=|4B|=3t,|AF|=2t,設(shè)NBAF=29,貝!Je=sinO,

11I

在AABF中，易得cos29=l，所以l—2sin20=L解得sinO=正（負(fù)值舍去），

1333

所以橢圓r的離心率6=—.故選B.

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1344

【解析】

分四種情況討論即可

【詳解】

解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：0x4x0=384

444

數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：ClX44X=288

Ci

344

數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：。x4x=288

Ci

344

數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有：Cix/14x=384

Ci

444

所以共有1344種

故答案為：1344

【點(diǎn)睛】

考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.

12

14.——

5

【解析】

設(shè)P（x,y）,由|P。1=2||可得（x+3）2+y2=4［（x-3）2+yJ,整理得（x-5A+尸=16,即點(diǎn)P在以⑸。）為圓心，

4為半徑的圓上.又點(diǎn)??到雙曲線。的漸近線的距離為匕，所以當(dāng)雙曲線。的漸近線與圓（x-5"+y2=16相切時(shí)，b

I)412

取得最大值，此時(shí)一解得〃=_.

355

15.5040.

【解析】

分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數(shù)為N=4/2+064^5=1440+3600=5040。填5040.

64265

【點(diǎn)睛】

利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏,在本題中，甲與乙是兩個(gè)特殊元素，對于

特殊元素“優(yōu)先法”，所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題，采用“插空法”。

16.30n

【解析】

如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長方體，球。為長方體的外接球，長、寬、高分別為〃他*計(jì)算得到R三巴，

2

得到答案.

【詳解】

如圖所示，將三棱錐P-/BC補(bǔ)成長方體，球。為長方體的外接球，長、寬、高分別為",仇，,

底+例=25,

則《底+”=15,,所以〃2+及+己=30,所以球o的半徑R43a,

［及+2=20,2

則球。的表面積為S=4兀R2=4兀30兀.

故答案為：30K.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐P-/BC補(bǔ)成長方體是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.直線/與圓C相切.

【解析】

首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用求出直線和圓的位置關(guān)系.

【詳解】

.設(shè)=1+2/

直線。為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為N+J-2=0.

卜=1一2/

圓C:p2+2pcosO-2psinO=0轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為k+尸+2x-2y=0,轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式為

3+1)2+(#—1)2=2,

I-1+1-21L

所以圓心(-1,1)到直線X+J—2=0,的距離/=--y=-=J2

直線/與圓C相切.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距

離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

18.(1)證明見解析(2)2屈

13

【解析】

(1)根據(jù)題意，連接力。交BE于H,連接FH,利用三角形全等得FH//PC,進(jìn)而可得結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角F-BE-/的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接力C交BE于H,連接FH,

AB=CE,ZFL4B=NHCE,NBHA=ZCHA,

：.MBH且ACEH,

AH=CH且FH//PC,

FHu面FBE,面FBE,

:.PC//面FBE,

<2)取/。中點(diǎn)。，連P。，OB,由B4=p。，，「。，力。

?.一面_L面/BCD

.??PO上面/BCD,又由NCMB=60,AD=AB

：.OBLAD

以0%,OB,OP分別為31軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

11

設(shè)力。=2,則N(1,0,0)，B(0,R,0),0(-1,0,0),P(0,0,1),F(_,0,_),

11

EB=D？4=(2,0,0),B戶=

22

a=(0,0,1)為面BEA的一個(gè)法向量,

1

設(shè)面FBE的法向量為7=儀，j，，v),

20^00

依題意，川石二°即12v°1.

IBF?%=0|—X—邪y+—1=0

2〔2oo2o

令)=邪,解得弋=6,x=0

000

所以，平面FBE的法向量=(0,>/3,6),

2

rr,n，62戶夕

COS/n\n\=12=_____=7

KJ忖舊贏|3’

又因二面角為銳角，

故二面角F-BE-A的余弦值為絲三.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中位線和向量法的合理運(yùn)用,

屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)B/兀⑵4?

33

【解析】

1

⑴由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得COSB=:，即可求得B；

2

16

(2)由余弦定理借助基本不等式可求得〃，<一即可求出力BC的面積的最大值.

3△

【詳解】

(1),/(a+2c)cosB+bcos4=0,/.(sinA+2sinQcosB+sinBcosA=Q,

所以(sinNcosB+sinBcosA)+2sinCeosB=0,

所以sin(/+B)+2cosBsinC=0,

??sin(4+B)=sinC,.-.cosB=-l,

2

2

??0<B<n,：.B--n.

-3

(n

(2)由余弦定理得m=〃2+q-二|.屋+。+〃0=1623〃，，

/.ac<I，,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4#時(shí)取等,

33

/.S=1?csinB<x/=4下.

a/BC22~23

所以的面積的最大值為4,.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角形面積的最值問題，難度較易.

(兀、，兀、1

20.(1)A2,,2,—.(2)+

〔dHH2串

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；

(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(KJ),則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2乂-/2)-1).將此代入曲線q的方程，可得點(diǎn)M在以

21正」1為圓心，1為半徑的圓上，所以IBMI的最大值為I盟1+1，即得解.

I22122

【詳解】

,A_兀

(1)因?yàn)辄c(diǎn)B在曲線C/”一一下(P>0)上，A/OB為正三角形，

56

八兀

所以點(diǎn)力在曲線e=_(p>())上.

又因?yàn)辄c(diǎn)力在曲線C：PsinO=1上,

2

，71\

所以點(diǎn)力的極坐標(biāo)是2,

從而，點(diǎn)的極坐標(biāo)是［2,一兀），

B-

6

（2）由（1）可知，點(diǎn)工的直角坐標(biāo)為（、/II），B的直角坐標(biāo)為（6-1）

設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為3,j），則點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為（2X—73,2j-1）.

x=q+[cos?,

將此代入曲線（：的方程，有《

'Isin0,

、22

即點(diǎn)用在以2f且,1為圓心，入半徑的圓上.

（222

Z

\BQ\=9+（》S

所以的最大值為|呢|+J=1+0.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合，考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化，參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸,

數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

21.（I）見解析（II）之卑〈山）|所卜2

【解析】

試題分析：

（1（取點(diǎn)，D/［在直線為^軸，DE所在直線為弋軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面NBE的法向量

百=x/3,0,1,且赤=一1,2,G，據(jù)此有DFw=O,則DF//平面力BE.

（II）由題意可得平面BBF的法向量歷=Q/、8,4）,結(jié)合（I）的結(jié)論可得|COS9|=

，即平面ABE

與平面EFB所成銳二面角的余弦值為5。31

31

(DI)設(shè)DP=九。尸=(九,2九,九G[o,l],則BP=C入—1,2入—2,衣)而平面4BE的法向量

n=(氏0,1)據(jù)此可得sinO=dosBP,ng,解方程有九=1或入=].據(jù)此計(jì)算可得「比[=2

試題解析：

(I)取。為原點(diǎn)，所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則/(1,0,0),5(1,2,0),

E(),0，G)，F(xiàn)C1,2,^)A^=C1-2,5/?)期=(0,2,0),

設(shè)平面/BE的法向量n=G,y,z),.?.<|-x—2y+J3z=°，不妨設(shè)〃=(戶oj)又必尸=[1,2,0)

[