線性規(guī)劃交點法及其適用范圍

線性規(guī)劃交點法及其適用范圍一、線性規(guī)劃對于標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃，我們知道可以用交點法來解決，會比畫圖來的簡單，比如下面這個題目：(2018成外高新期中7)設(shè)滿足約束條件,則的最大值為()A．5B．3C．7D．【答案】C【解析】我們將三個約束條件進行編號=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③，將其看成等式，=1\*GB3①=2\*GB3②交點為=2\*GB3②=3\*GB3③交點為，=1\*GB3①=3\*GB3③，分別代入目標(biāo)函數(shù)可得，故最大值為7但是對于所有的線性規(guī)劃，這樣用交點法都沒問題嗎？比如我們來看一下2017年一道浙江高考題：(2017浙江4)若，滿足約束條件，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D【解析】如果按照交點法來解，過程如下：=1\*GB3①=2\*GB3②交點為，=2\*GB3②=3\*GB3③交點為，=1\*GB3①=3\*GB3③，分別代入目標(biāo)函數(shù)可得，故最大值為6，最小值為0，范圍，選A和正確答案就有出入了，那么問題在哪兒呢？我們先來看一下常規(guī)解答：如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D．所以問題是一般情況下，三個約束條件會導(dǎo)致可行域是封閉的，所以用交點法解決是沒有問題的，但是如果三個約束條件畫出的可行域不封閉，那么直接用交點法就會做錯，這種情況雖然不多，但是相信同學(xué)們對于使用這種方法就有些顧慮了，畢竟我們不能為了節(jié)約時間而冒著做錯的風(fēng)險事實上我們只需要在多做一步就能得到正確答案，接著本題交點法繼續(xù)來看，取得最小值的最優(yōu)解是，是由第=1\*GB3①=3\*GB3③兩個方程解出的交點，故我們將其代入第=2\*GB3②方程發(fā)現(xiàn)，并不成立，此時我們可以判斷可行域并不封閉，那么該最小值取不到，次小值就變成了最小值候選，繼續(xù)驗證此時的最優(yōu)解是由=2\*GB3②=3\*GB3③兩個方程解得的，故代入方程=1\*GB3①，發(fā)現(xiàn)滿足，故4就是最小值，同時沒有了最大值，故范圍為.我們再來看一個天津的高考題：(2015天津理2)設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()(A)3(B)4(C)18(D)40【答案】C【解析】按順序解出交點為：=1\*GB3①=2\*GB3②交點為，=2\*GB3②=3\*GB3③交點為，=1\*GB3①=3\*GB3③，分別代入目標(biāo)函數(shù)可得，故將候選最優(yōu)解代入第2個方程，發(fā)現(xiàn)不滿足，候選最大值變?yōu)?8，將候選最優(yōu)解代入第1個方程，滿足，故最大值為18當(dāng)然如果約束條件只有兩條，可行域一定不封閉，可以直接采用畫圖方式來解決，對于約束條件有四條直線，則一定有交點不在可行域內(nèi)，建議用畫圖法解決簡單總結(jié)一下，對于標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃，交點法適用于三條線的情況，并且最后一定要檢驗可行域是否封閉二、線性規(guī)劃含參下面我們來看一下交點法能不能解決線性規(guī)劃含參問題：已知滿足約束條件，若的最小值為1，則a等于()A．B．C．1D．2【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，則最小值只能是，故故選B已知實數(shù)x、y滿足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m等于()A．3B．4C．5D．7【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，從選項可判斷，故只能，即，故選C在約束條件下，若目標(biāo)函數(shù)的最大值不超過4，則實數(shù)m的取值范圍()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，易知，故，，故選D已知z=2x+y，其中實數(shù)x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是()A．B．C．4D．【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，選項AD代入不合題意，而選項C代入約束條件易得沒有可行域，故選B設(shè)x，y滿足約束條件，若的最大值與最小值的差為7，則實數(shù)()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，將四個選項代入，只有C符合題意已知實數(shù)x，y滿足約束條件，如果目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實數(shù)a的值為()A．3B．C．3或D．3或【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，將四個選項代入，只有D符合題意若實數(shù)x，y滿足不等式組且的最大值為5，則a等于()A．B．C．2D．1【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，易知最大，則，故選C已知實數(shù)x，y滿足不等式組，若目標(biāo)函數(shù)取得最大值時有唯一的最優(yōu)解，則實數(shù)m的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，故需，故選Cx、y滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()A．或B．2或C．2或1D．2或【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，當(dāng)時，，此時為最小值不唯一故排除AB，又目標(biāo)函數(shù)斜率應(yīng)與約束條件中某一條直線斜率相等，故選D設(shè)x，y滿足約束條件，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時，取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，故需，故選B從上面幾個題可以看出，交點法依然可以適用于線性規(guī)劃的含參問題，不過有時候需要進行一定的討論，如果是選擇題，也可以結(jié)合答案簡化討論三、常見的非線性規(guī)劃 前面兩個部分我們發(fā)現(xiàn)交點法可以適用于線性規(guī)劃三條直線問題，不管是不是含參的，從中我們發(fā)現(xiàn)，其實只要是在交點處取得最值就可以用交點法，那么常見的非線性規(guī)劃(可行域是線性的)中，目標(biāo)函數(shù)為斜率型的依然可以用交點法來解決(需要注意定點是在可行域的下方還是兩側(cè))，目標(biāo)函數(shù)為距離型的，如果是求最大值，可以用交點法來解決；如果是求最小值，則不能用交點法來解決設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為()A．B．2C．D．0【解析】三個交點為，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，故選A若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】由于故交點只有一個，另外兩個交點取不到，代入目標(biāo)函數(shù)可得分別為，故選B(2018石室期末14)若滿足約束條件，則的取值范圍為__________．【答案】(交點法)(2015全國1卷理15)若滿足約束條件，QUOTE則QUOTExy的最大值為.【答案】3(交點法)若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】B(交點法)注意邊界(2017七中期末2)已知的坐標(biāo)滿足條件，則的最大值為()A.B.8C.1