2018北京市高考數(shù)學試題（文科）

./2017年北京市高考數(shù)學試卷〔文科一、選擇題1．已知全集U=R,集合A={x|x＜﹣2或x＞2},則?UA=〔A．〔﹣2,2 B．〔﹣∞,﹣2∪〔2,+∞C．[﹣2,2] D．〔﹣∞,﹣2]∪[2,+∞2．若復數(shù)〔1﹣i〔a+i在復平面內對應的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是〔A．〔﹣∞,1 B．〔﹣∞,﹣1 C．〔1,+∞ D．〔﹣1,+∞[點評]本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為〔A．2 B．C．D．4．若x,y滿足,則x+2y的最大值為〔A．1 B．3 C．5 D．95．已知函數(shù)f〔x=3x﹣〔x,則f〔x〔A．是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)6．某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為〔A．60 B．30 C．20 D．10[解答]解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐,該三棱錐的體積==10．故選：D．[點評]本題考查了三棱錐的三視圖、體積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題．7．設,為非零向量,則"存在負數(shù)λ,使得=λ"是?＜0”的〔A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解答]解：,為非零向量,存在負數(shù)λ,使得=λ,則向量,共線且方向相反,可得?＜0．反之不成立,非零向量,的夾角為鈍角,滿足?＜0,而=λ不成立．∴,為非零向量,則"存在負數(shù)λ,使得=λ"是?＜0”的充分不必要條件．故選：A．8．根據(jù)有關資料,圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與最接近的是〔〔lg3≈0.48A．1033 B．1053C．1073 D．10[分析]根據(jù)對數(shù)的性質：T=,可得：3=10lg3≈100.48,代入M將M也化為10為底的指數(shù)形式,進而可得結果．[解答]解：由題意：M≈3361,N≈1080,根據(jù)對數(shù)性質有：3=10lg3≈100.48,∴M≈3361≈〔100.48361≈10173,∴≈=1093,故本題選：D．[點評]本題解題關鍵是將一個給定正數(shù)T寫成指數(shù)形式：T=,考查指數(shù)形式與對數(shù)形式的互化,屬于簡單題．二、填空題9．在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于y軸對稱,若sinα=,則sinβ=．推導出α+β=π+2kπ,k∈Z,從而sinβ=sin〔π+2kπ﹣α=sinα,由此能求出結果．[解答]解：∵在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于y軸對稱,∴α+β=π+2kπ,k∈Z,∵sinα=,∴sinβ=sin〔π+2kπ﹣α=sinα=．故答案為：．[點評]本題考查角的正弦值的求法,考查對稱角、誘導公式,正弦函數(shù)等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想,是基礎題．10．若雙曲線x2﹣=1的離心率為,則實數(shù)m=2．[分析]利用雙曲線的離心率,列出方程求和求解m即可．[解答]解：雙曲線x2﹣=1〔m＞0的離心率為,可得：,解得m=2．故答案為：2．[點評]本題考查雙曲線的簡單性質,考查計算能力11．已知x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是[,1]．解：x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2=x2+〔1﹣x2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],則令f〔x=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函數(shù)的對稱軸為：x=,開口向上,所以函數(shù)的最小值為：f〔==．最大值為：f〔1=2﹣2+1=1．則x2+y2的取值范圍是：[,1]．故答案為：[,1]．12．已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為〔﹣2,0,O為原點,則?的最大值為6．[解答]解：設P〔cosα,sinα.=〔2,0,=〔cosα+2,sinα．則?=2〔cosα+2≤6,當且僅當cosα=1時取等號．故答案為：6．13．能夠說明"設a,b,c是任意實數(shù)．若a＞b＞c,則a+b＞c"是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為﹣1,﹣2,﹣3．[解答]解：設a,b,c是任意實數(shù)．若a＞b＞c,則a+b＞c"是假命題,則若a＞b＞c,則a+b≤c"是真命題,可設a,b,c的值依次﹣1,﹣2,﹣3,〔不唯一,故答案為：﹣1,﹣2,﹣314．某學習小組由學生和教師組成,人員構成同時滿足以下三個條件：〔i男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；〔ii女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；〔iii教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．①若教師人數(shù)為4,則女學生人數(shù)的最大值為6．②該小組人數(shù)的最小值為12．[解答]解：①設男學生女學生分別為x,y人,若教師人數(shù)為4,則,即4＜y＜x＜8,即x的最大值為7,y的最大值為6,即女學生人數(shù)的最大值為6．②設男學生女學生分別為x,y人,教師人數(shù)為z,則,即z＜y＜x＜2z即z最小為3才能滿足條件,此時x最小為5,y最小為4,即該小組人數(shù)的最小值為12,故答案為：6,12三、解答題15．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．〔Ⅰ求{an}的通項公式；〔Ⅱ求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．[分析]〔Ⅰ利用已知條件求出等差數(shù)列的公差,然后求{an}的通項公式；〔Ⅱ利用已知條件求出公比,然后求解數(shù)列的和即可．[解答]解：〔Ⅰ等差數(shù)列{an},a1=1,a2+a4=10,可得：1+d+1+3d=10,解得d=2,所以{an}的通項公式：an=1+〔n﹣1×2=2n﹣1．〔Ⅱ由〔Ⅰ可得a5=a1+4d=9,等比數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2b4=9．可得b3=3,或﹣3〔舍去〔等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同．∴q2=3,{b2n﹣1}是等比數(shù)列,公比為3,首項為1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．16．已知函數(shù)f〔x=cos〔2x﹣﹣2sinxcosx．〔I求f〔x的最小正周期；〔II求證：當x∈[﹣,]時,f〔x≥﹣．[解答]解：〔Ⅰf〔x=cos〔2x﹣﹣2sinxcosx,=〔co2x+sin2x﹣sin2x,=cos2x+sin2x,=sin〔2x+,∴T==π,∴f〔x的最小正周期為π,〔Ⅱ∵x∈[﹣,],∴2x+∈[﹣,],∴﹣≤sin〔2x+≤1,∴f〔x≥﹣[點評]本題考查了三角函數(shù)的化簡以及周期的定義和正弦函數(shù)的圖象和性質,屬于基礎題17．某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30,[30,40,…[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：〔Ⅰ從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率；〔Ⅱ已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50內的人數(shù)；〔Ⅲ已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．[分析]〔Ⅰ根據(jù)頻率=組距×高,可得分數(shù)小于70的概率為：1﹣〔0.04+0.02×10；〔Ⅱ先計算樣本中分數(shù)小于40的頻率,進而計算分數(shù)在區(qū)間[40,50內的頻率,可估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50內的人數(shù)；〔Ⅲ已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．進而得到答案．解：〔Ⅰ由頻率分布直方圖知：分數(shù)小于70的頻率為：1﹣〔0.04+0.02×10=0.4故從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率為0.4；〔Ⅱ已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,故樣本中分數(shù)小于40的頻率為：0.05,則分數(shù)在區(qū)間[40,50內的頻率為：1﹣〔0.04+0.02+0.02+0.01×10﹣0.05=0.05,估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50內的人數(shù)為400×0.05=20人,〔Ⅲ樣本中分數(shù)不小于70的頻率為：0.6,由于樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．故分數(shù)不小于70的男生的頻率為：0.3,由樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,故男生的頻率為：0.6,即女生的頻率為：0.4,即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為：3：2．[點評]本題考查的知識點是頻率分布直方圖,用樣本估計總體,難度不大,屬于基礎題．18．如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點．〔1求證：PA⊥BD；〔2求證：平面BDE⊥平面PAC；〔3當PA∥平面BDE時,求三棱錐E﹣BCD的體積．[分析]〔1運用線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC,再由性質定理即可得證；〔2要證平面BDE⊥平面PAC,可證BD⊥平面PAC,由〔1運用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC,再由等腰三角形的性質可得BD⊥AC,運用面面垂直的性質定理,即可得證；〔3由線面平行的性質定理可得PA∥DE,運用中位線定理,可得DE的長,以及DE⊥平面ABC,求得三角形BCD的面積,運用三棱錐的體積公式計算即可得到所求值．[解答]解：〔1證明：由PA⊥AB,PA⊥BC,AB?平面ABC,BC?平面ABC,且AB∩BC=B,可得PA⊥平面ABC,由BD?平面ABC,可得PA⊥BD；〔2證明：由AB=BC,D為線段AC的中點,可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABC,PA?平面PAC,可得平面PAC⊥平面ABC,又平面ABC∩平面ABC=AC,BD?平面ABC,且BD⊥AC,即有BD⊥平面PAC,BD?平面BDE,可得平面BDE⊥平面PAC；〔3PA∥平面BDE,PA?平面PAC,且平面PAC∩平面BDE=DE,可得PA∥DE,又D為AC的中點,可得E為PC的中點,且DE=PA=1,由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1,則三棱錐E﹣BCD的體積為DE?S△BDC=×1×1=．[點評]本題考查空間的線線、線面和面面的位置關系的判斷,主要是平行和垂直的關系,注意運用線面平行的性質定理以及線面垂直的判定定理和性質定理,面面垂直的判定定理和性質定理,同時考查三棱錐的體積的求法,考查空間想象能力和推理能力,屬于中檔題．19．已知橢圓C的兩個頂點分別為A〔﹣2,0,B〔2,0,焦點在x軸上,離心率為．〔Ⅰ求橢圓C的方程；〔Ⅱ點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E．求證：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．[分析]〔Ⅰ由題意設橢圓方程,由a=2,根據(jù)橢圓的離心率公式,即可求得c,則b2=a2﹣c2=1,即可求得橢圓的方程；〔Ⅱ由題意分別求得DE和BN的斜率及方程,聯(lián)立即可求得E點坐標,根據(jù)三角形的相似關系,即可求得=,因此可得△BDE與△BDN的面積之比為4：5．[解答]解：〔Ⅰ由橢圓的焦點在x軸上,設橢圓方程：〔a＞b＞0,則a=2,e==,則c=,b2=a2﹣c2=1,∴橢圓C的方程；〔Ⅱ證明：設D〔x0,0,〔﹣2＜x0＜2,M〔x0,y0,N〔x0,﹣y0,y0＞0,由M,N在橢圓上,則,則x02=4﹣4y02,則直線AM的斜率kAM==,直線DE的斜率kDE=﹣,直線DE的方程：y=﹣〔x﹣x0,直線BN的斜率kBN=,直線BN的方程y=〔x﹣2,,解得：,過E做EH⊥x軸,△BHE∽△BDN,則丨EH丨=,則=,∴：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．[點評]本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,直線與橢圓的位置關系,直線的斜率公式,相似三角形的應用,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題．20．已知函數(shù)f〔x=excosx﹣x．〔1求曲線y=f〔x在點〔0,f〔0處的切線方程；〔2求函數(shù)f〔x在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值．[分析]〔1求出f〔x的導數(shù),可得切線的斜率和切點,由點斜式方程即可得到所求方程；〔2求出f〔x的導數(shù),再令g〔x=f′〔x,求出g〔x的導數(shù),可得g〔x在區(qū)間[0,]的單調性,即可得到f〔x的單調性,進而得到f〔x的最值．[解答]解：〔1函數(shù)f〔x=excosx﹣x的導數(shù)為f′〔x=ex〔cosx﹣sinx﹣1,可得曲線y=f〔x在點〔0,f〔0處的切線斜率為k=e0〔cos0﹣sin0﹣1=0,切點為〔0,e0cos0﹣0,即為〔0,1,曲線y=f〔x在點〔0,f〔0處的切線方程為y=1；〔2函數(shù)f〔x=exco