高中物理競賽輔導(dǎo)講義-微積分初步

物理競賽講義--微積分初步第第頁微積分初步一、微積分的基本概念1、極限極限指無限趨近于一個固定的數(shù)值兩個常見的極限公式*2、導(dǎo)數(shù)當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限叫做導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)含義，簡單來說就是y隨x變化的變化率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該點(diǎn)切線的斜率。3、原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)上每點(diǎn)都求出導(dǎo)數(shù)，作為新函數(shù)的函數(shù)值，這個新的函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)。4、微分和積分由原函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)：微分由導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)：積分微分和積分互為逆運(yùn)算。例1、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義，推導(dǎo)下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）（2）（3）二、微分1、基本的求導(dǎo)公式（1）（2）（3）*（4）（5）*（6）（7）（8）（9）（10）**（11）**（12）**（13）**（14）2、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)（1）（2）（3）例2、求y=tanx的導(dǎo)數(shù)3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)對于函數(shù)y=f(x)，可以用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)看成y=f[g(x)]，即y=f(u)，u=g(x)即：例3、求的導(dǎo)數(shù)例4、求的導(dǎo)數(shù)三、積分1、基本的不定積分公式下列各式中C為積分常數(shù)（1）（2）5.2附微積分閱讀材料**一、求極限的羅必塔法則此時可以對分子分母同時求導(dǎo)后再求極限，從而避免出現(xiàn)未定式無法計(jì)算的情況。如果求導(dǎo)后仍然是未定式，可多次利用羅必塔法則。如果始終是未定式，則此方法失效。例1：例2：***二、分部積分法理解、運(yùn)用起來容易出錯，高中階段很少用到。根據(jù)函數(shù)相乘的求導(dǎo)公式：移項(xiàng)可得：兩邊取積分：***例3、求***例4、求利用分部積分法的步驟：(1)將被積函數(shù)分為兩部分，一部分可以看做是原函數(shù)，即u，另一部分可以看做是導(dǎo)函數(shù)，即v’。(2)右邊第一項(xiàng)為兩個原函數(shù)uv的乘積，第二項(xiàng)將原函數(shù)u變?yōu)閷?dǎo)函數(shù)u’，導(dǎo)函數(shù)v’變?yōu)樵瘮?shù)v，相乘后再求積分。利用分部積分法的技巧：上述過程的難點(diǎn)在于對v’求積分，以及對u’v求積分。因此，要將被積函數(shù)拆成適當(dāng)?shù)膬刹糠?，使得這兩個積分求解起來都比較容易。三、簡單的常微分方程（分離變量法）***例5：放射性元素衰變問題設(shè)鈾的衰變速度與未衰變的原子數(shù)目M成正比已知t=0時未衰變的鈾的含量為M0，求M隨時間變化的函數(shù)。解：變量為M和t，分離變量得：兩邊分別求不定積分：根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C：帶入后消去C可得：***例6：電容器充放電問題電容為C的電容經(jīng)過充電后，兩端電壓為U0。從t=0時刻開始串聯(lián)上電阻R進(jìn)行放電。求電壓U隨時間t的變化函數(shù)。解：聯(lián)立上面兩式可得：分離變量可得：兩邊分別求不定積分：根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C0：帶入后消去C0可得：可以看到，RC的值與電容器放電的快慢有關(guān)，因此RC也叫做RC電路的時間常數(shù)。類似的，RL電路中，時間常數(shù)為L/R。此外，求解簡諧運(yùn)動和電磁振蕩問題時也需要求解微分方程，不過采用的方法是試探解法。***四、泰勒展開將一個函數(shù)寫成多項(xiàng)式的形式各項(xiàng)分別為零階小量、一階小量、二階小量……常用于近似處理和對小量的討論。理解公式前兩項(xiàng)的幾何意義。公式最后一項(xiàng)表示剩下所有的項(xiàng)，相對于都是小量。常見函數(shù)在x0=0處