導(dǎo)數(shù)在研究初等函數(shù)上的應(yīng)用

第3頁(yè)安陽(yáng)師范學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)論文導(dǎo)數(shù)在研究初等函數(shù)上的應(yīng)用作者系（院）數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師論文成績(jī)?nèi)掌趯?dǎo)數(shù)在研究初等函數(shù)上的應(yīng)用摘要：文章介紹了導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,在此基礎(chǔ)上討論了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凸凹性、拐點(diǎn)等方面性質(zhì).并選取一些典型的問(wèn)題,用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)、加深、鞏固知識(shí).關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);單調(diào)性;極值;凸凹性;拐點(diǎn)1引言導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中最重要的基本概念之一,它反映了一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的變化率.導(dǎo)數(shù)的概念是從很多實(shí)際的科學(xué)問(wèn)題抽象而產(chǎn)生的,有著廣泛的應(yīng)用意義.導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬為解決極大、極小值問(wèn)題而引入的.但導(dǎo)數(shù)作為微積分學(xué)中最主要的概念,卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過(guò)程中建立的,教學(xué)大綱對(duì)此的要求突出一個(gè)“用”字.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)研究函數(shù)分析性質(zhì),諸如單調(diào)性、極值點(diǎn)、凹凸性等許多性質(zhì).本文著重闡述運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究中學(xué)中常見(jiàn)的因式分解、證明恒等式、曲線的切線和法線方程、方程根的討論等,目的是可以給中學(xué)里解決數(shù)學(xué)問(wèn)題拓展新的思路,可以使得有些數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,希望能給中學(xué)的老師和同學(xué)得到一些可借鑒的東西.2預(yù)備知識(shí)2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1從運(yùn)動(dòng)的角度看曲線的切線：如圖所示,設(shè)曲線：與直線的交點(diǎn)為：，則有：此時(shí),為曲線的割線,如果,沿著曲線無(wú)限接近,那么與重合時(shí),l與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),則變成了曲線的切線.2.1.2從運(yùn)動(dòng)的角度看切線的斜率我們不難得出：所以圖2-1當(dāng)沿?zé)o限接近時(shí),所以在點(diǎn)處的切線的斜率:2.1.3導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念定義1函數(shù)的導(dǎo)數(shù),就是當(dāng)時(shí),函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限,即.實(shí)際背景：瞬時(shí)速度,加速度,角速度,電流等.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性態(tài),它反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間隨自變量的增大而增大（或減少）的一個(gè)特征.但是,利用單調(diào)性的定義來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性往往是比較困難的.下面利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性．由圖可以看出,當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)增加時(shí),其曲線上任一點(diǎn)的切線的傾斜角都是銳角,因此它們的斜率都是正的,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,此時(shí),曲線上任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都是正值,即．由圖可以看出,當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)減少時(shí),其曲線上每一點(diǎn)的切線的傾斜角都是鈍角,因此它們的斜率都是負(fù)的,此時(shí),曲線上任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都是負(fù)值,即．圖3-1圖3-2定理2設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果在內(nèi),那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加;(2)如果在內(nèi),那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少．注：在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零,不影響函數(shù)的單調(diào)性．如冪函數(shù),其導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處為,但它在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的．例1判斷函數(shù)的單調(diào)性．解因?yàn)?所以,函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的．例2確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解函數(shù)的定義域?yàn)?求導(dǎo)數(shù)得．令,得．用它們將定義域分為小區(qū)間,我們分別考察導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào),就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．為了更清楚,列表如下：＋－＋↗↘↗從表中看得很清楚,函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為和,函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為．還應(yīng)該注意到,導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),也可能成為單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間的分界點(diǎn),看下面的例子.例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解函數(shù)的定義域?yàn)?求導(dǎo)數(shù)得,令,得．當(dāng)時(shí),不存在．我們用以上三個(gè)點(diǎn)把定義域分成小區(qū)間,列表考察各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)：－+不存在－＋↘↗↘↗所以,函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為和,單調(diào)減少區(qū)間為和．從以上三例可以看出,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部狀態(tài).研究函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)先求出的點(diǎn)或不存在的點(diǎn),這些點(diǎn)把定義域分為若干個(gè)小區(qū)間,考查在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),然后根據(jù)定理判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.3.2函數(shù)的極值3.2.1極值的概念如圖所示,函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它左右近旁的函數(shù)值都大,而在點(diǎn)的函數(shù)值比它左右近旁的函數(shù)值都小,對(duì)于這種特殊的點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,我們給出如下定義：定義3設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,是內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)．(1)如果對(duì)于點(diǎn)近旁的任一點(diǎn),都有,那么稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極大值,點(diǎn)稱(chēng)為的一個(gè)極大值點(diǎn)．(2)如果對(duì)于點(diǎn)近旁的任一點(diǎn),都有,那么稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極小值,點(diǎn)稱(chēng)為的一個(gè)極小值點(diǎn)．函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)．圖3-3如圖中的和是函數(shù)的極大值點(diǎn),和是函數(shù)極大值;和是函數(shù)的極小值點(diǎn),和是函數(shù)的極小值．注:(1)極值只是一個(gè)局部概念,它僅是與極值點(diǎn)鄰近的函數(shù)值比較而言較大或較小的，而不是在整個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值．函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,在區(qū)間的端點(diǎn)處不能取得極值;(2)函數(shù)的極大值與極小值可能有很多個(gè),極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小;(3)函數(shù)的極值可能取在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．3.2.2函數(shù)極值的判定從圖可以看出,曲線在點(diǎn)、、、取得極值處的切線都是水平的,即在極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零．對(duì)此,我們給出函數(shù)存在極值的必要條件：定理4如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且取得極值,那么．使得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(即方程的實(shí)根),叫做函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)．上述定理說(shuō)明,可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的穩(wěn)定點(diǎn),但是,函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)不一定是它的極值點(diǎn)．例如點(diǎn)是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn),但不是極值點(diǎn)．所以定理4還不能解決所有求函數(shù)極值的問(wèn)題．但是,定理4提供了尋求可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的范圍,即從穩(wěn)定點(diǎn)中去尋找．還要指出連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn),如,在處連續(xù),但不可導(dǎo),而是該函數(shù)的極小點(diǎn)．判斷穩(wěn)定點(diǎn)是否是極值點(diǎn),我們有如下定理：定理5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的近旁可導(dǎo),且．(1)如果當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,那么是極大值點(diǎn)是函數(shù)的極大值;(2)如果當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,那么是極小值點(diǎn),是函數(shù)的極小值;(3)如果在點(diǎn)的左右兩側(cè),同號(hào),那么不是極值點(diǎn),函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有極值．圖分別顯示了以上三種情形：(1)(2)(3)圖根據(jù)定理4和定理5,可得到求函數(shù)極值點(diǎn)和極值的步驟如下：(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(3)令,求出函數(shù)在定義域內(nèi)的全部穩(wěn)定點(diǎn);(4)用所有穩(wěn)定點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)部分區(qū)間,列表考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)的符號(hào),確定極值點(diǎn);(5)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,即得函數(shù)的全部極值．例4求函數(shù)的極值．解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為;(3)令,得穩(wěn)定點(diǎn),;(4)列表考察：＋－＋↗極大值↘極小值↗所以,函數(shù)的極大值為,極小值為．例5求函數(shù)的極值．解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為;(3)令,得穩(wěn)定點(diǎn),,;(4)列表考察：－－＋＋↘↘極小值↗↗由上表可知,函數(shù)的極小值為,穩(wěn)定點(diǎn),不是極值點(diǎn)．例6求函數(shù)的極值．解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(3)令得穩(wěn)定點(diǎn),又函數(shù)的在點(diǎn)和處的導(dǎo)數(shù)都不存在．(4)用,和這三個(gè)點(diǎn)將定義域分為四個(gè)區(qū)間．列表考察：－不存在＋－不存在＋↘極小值↗極大值↘極小值↗由上表可知,函數(shù)的極大值為,極小值為．3.3函數(shù)的最值在生產(chǎn)實(shí)踐中,常會(huì)遇到一類(lèi)“最大”、“最小”、“最省”等問(wèn)題,例如廠家生產(chǎn)一種圓柱形杯子,就要考慮在一定條件下,杯子的直徑和高取多大時(shí),用料最省;又如在銷(xiāo)售某種商品時(shí),在成本固定之下,怎樣確定零售價(jià),才能使商品售出最多,獲得利潤(rùn)最大等.這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上叫做最大值、最小值問(wèn)題,簡(jiǎn)稱(chēng)最值問(wèn)題. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道,函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值與最小值．最大值與最小值可能取在區(qū)間內(nèi)部,也可能取在區(qū)間的端點(diǎn)處,如果取在區(qū)間內(nèi)部,那么,它們一定取在函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)處或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處．函數(shù)的極值是局部概念,在一個(gè)區(qū)間內(nèi)可能有很多個(gè)極值,但函數(shù)的最值是整體概念,在一個(gè)區(qū)間上只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值．由以上分析知,求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值的步驟為：(1)求出在區(qū)間內(nèi)的所有穩(wěn)定點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),并計(jì)算各點(diǎn)的函數(shù)值;(2)求出端點(diǎn)處的函數(shù)值和;(3)比較以上所有函數(shù)值,其中最大的就是函數(shù)在上的最大值,最小的就是函數(shù)在上的最小值．例7求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,得函數(shù)定義域內(nèi)的穩(wěn)定點(diǎn)為,,其函數(shù)值分別為,．(2)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值分別為,;(3)比較以上各函數(shù)值,可以得到,函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為．例8求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令得函數(shù)定義域內(nèi)的穩(wěn)定點(diǎn)為(因?yàn)椴缓项}意舍去)．由,,,可知,函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是．3.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,對(duì)于了解函數(shù)的性態(tài),描繪函數(shù)的圖形起到了重要作用．但是僅依賴(lài)于這些知識(shí),還不能比較準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形．例如函數(shù)與在上的圖形(),其曲線都是單調(diào)上升的,但他們的彎曲方向卻不同,這就是所謂的凹與凸的區(qū)別．曲線上任一點(diǎn)的切線均位于曲線下方,形狀是凹的,而曲線上任一點(diǎn)的切線均位于曲線上方,形狀是凸的．圖3-5

一般地,從圖3-6可以看出,在向下凸的曲線弧上,任一點(diǎn)處的切線都在曲線的下方;在向上凸的曲線弧段上,任一點(diǎn)處的切線都在曲線的上方．定義6如果在某區(qū)間內(nèi),曲線弧段上任一點(diǎn)處的切線都在曲線的下方,那么稱(chēng)此曲線弧段為凹曲線;曲線弧段上任一點(diǎn)處的切線都在曲線的上方,那么稱(chēng)此曲線弧段為凸曲線．從中還可以看出,當(dāng)曲線弧段是凹的時(shí)候,其切線的斜率是逐漸增加的,即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)增加的;當(dāng)曲線弧段是凸的時(shí)候,其切線的斜率是逐漸減少的,即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)減少的．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判定方法,有如下定理：圖3-6定理7設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)．(1)如果當(dāng)時(shí),恒有,則曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的;(2)如果當(dāng)時(shí),恒有,則曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的．例9判定曲線的凹凸性．解函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?,所以,函數(shù)在其定義域內(nèi)是凹的.例10判定曲線的凹凸性．解函數(shù)的定義域是,因?yàn)?,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,由定理４知：曲線在區(qū)間內(nèi)凸的,在區(qū)間內(nèi)是凹的．例1中點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)．對(duì)于這樣的點(diǎn),我們給出下面的定義：定義8連續(xù)曲線上凸的曲線與凹的曲線的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)．例11求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)．解函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,由定理7知:曲線的凹區(qū)間為,凸區(qū)間為,點(diǎn)是曲線凹凸的分界點(diǎn),所以拐點(diǎn)為．為了更清楚,我們列出表格＋－拐點(diǎn)由例3可以看出,判定曲線的凹凸性,求拐點(diǎn)的步驟如下：(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù);(3)用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成小區(qū)間;(4)列表考察各部分區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),判斷出曲線的凹凸區(qū)間,求出曲線的拐點(diǎn)．例12求函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)．解(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?2),．(3)解方程,得,．(4)列表考察＋－＋拐點(diǎn)拐點(diǎn)所以函數(shù)的凹區(qū)間為和，凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為和.3.5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用3.5.1基本概念如果函數(shù)在其定義域上的函數(shù)值滿(mǎn)足，其中，則稱(chēng)為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值．連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得。3.5.2基本運(yùn)算3.5.2.1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題解題時(shí)，只要求出所有的極值點(diǎn)（穩(wěn)定點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)）及端點(diǎn)，然后比較這些點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大的必然就是最大值，最小的必然就是最小值．例13求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值．解令，得穩(wěn)定點(diǎn)為，，由于，，，比較各值，得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上僅有一個(gè)極大值，而沒(méi)有極小值，則此極大值就是函數(shù)在上的最大值；如果連續(xù)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極小值，而沒(méi)有極大值，則此極小值就是函數(shù)在上的最小值．例14求函數(shù)在區(qū)間上的最值．解令，得穩(wěn)定點(diǎn)為，由于，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，又因?yàn)樵趨^(qū)間上只有唯一的極大值點(diǎn)，故也是函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn)，相應(yīng)的最大值．3.5.2.2經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最大值和最小值在實(shí)際問(wèn)題中，首先要根據(jù)問(wèn)題的具體意義，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的最大值和最小值。若問(wèn)題的最大值和最小值的客觀存在是明顯的，且在所限定的區(qū)間內(nèi)，只有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，那么，這個(gè)唯一穩(wěn)定點(diǎn)的函數(shù)值，一定是所求的最大值或最小值.參考文獻(xiàn)[1]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1980.[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(第二版)[M].北京：人民教育出版社，1982.[3]徐利治.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京：高等教育出版社，1984.[4]梁開(kāi)福.極值點(diǎn)與拐點(diǎn)關(guān)系的研究[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,1999,29(4)：25-29.[5]田雄飛.關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的研究[J].山西教育學(xué)院學(xué)報(bào),2000,25(3)：36-40.[6]郭書(shū)力.例說(shuō)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào),2004,11(5