2024屆陜西省商洛市高三上學(xué)期尖子生學(xué)情診斷考試數(shù)學(xué)（理科）試卷

商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.B.C.1D.-1

3.如圖所示方格紙上的圖形為某幾何體的三視圖（其中小方格邊長為1），則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.4.如圖，在中，滿足條件，若，則（）A.8B.4C.2D.5.已知拋物線的焦點為，點在上，點，則周長的最小值為（）A.8B.10C.12D.13

6.已知等比數(shù)列的前項和，則（）A.3B.9C.-9D.-3

7.已知雙曲線的一條漸近線為為右支上任意一點，且到的距離為，到左焦點的距離為，則的最小值為（）A.4B.C.D.8.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一個“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一個重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一個重卦，則該重卦恰有2個陰爻的概率是（）A.B.C.D.9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意兩個實數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集是（）A.B.C.D.10.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，若將的圖象向左至少平移個單位長度后可得到的圖象，則（）A.的圖象關(guān)于原點對稱B.C.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點對稱11.半正多面體亦稱“阿基米德體”或者稱“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個球，則該球體積的最大值為（）A.B.C.D.12.設(shè)，則（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________.14.已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為__________.15.若，則__________.16.設(shè)函數(shù)的定義域為為的導(dǎo)函數(shù)，，則__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知中，角所對的邊分別為.（1）求；（2）設(shè)是邊上的點，且滿足，求內(nèi)切圓的半徑.18.（本小題滿分12分）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在丑橘銷售旺季，某丑橘基地隨機(jī)抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售丑橘的數(shù)量（都在100箱到600箱之間）情況如下：丑橘數(shù)量（箱）購物群數(shù)量（個）1818（1）求實數(shù)的值，并用組中值估計這100個購物群銷售丑橘總量的平均數(shù)（箱）；（2）假設(shè)所有購物群銷售丑橘的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，100.若參與銷售該基地丑橘的購物群約有2000個，銷售丑橘的數(shù)量在（單位：箱）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266箱的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596箱的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該丑橘基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該丑橘基地大約需要準(zhǔn)備多少元？附：若服從正態(tài)分布，則.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，為棱上一點.（1）求證：；（2）若，求二面角的大小.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率是，其左?右焦點分別為，過點且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于.（1）求證：；（2）若點，過橢圓右焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點，點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，函數(shù).（i）證明：在區(qū)間上存在極值點；（ii）記在區(qū)間上的極值點為在區(qū)間上的零點的和為.證明：.（二）選考題：共10分.請考生在第22?23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線交于兩點，求線段的長.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知.（1）解不等式；（2）令，若的圖象與軸所圍成的圖形的面積為，求實數(shù)的值.商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試·數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案?提示及評分細(xì)則1.B，所以.故選B.

2.D因為，所以，則的虛部為-1.故選D.

3.A易知三視圖所表示的為四棱錐（如圖所示），且底面是邊長為2的正方形，一條側(cè)棱與底面垂直，且，易求，，所以該幾何體的表面積為.故選A.

4.A因為，所以，故.故選A.

5.D如圖，顯然，記拋物線的準(zhǔn)線為，則，記點到的距離為，點到的距離為，則.故選D.

6.D當(dāng)時，；當(dāng)時，.，又是等比數(shù)列，所以，解得.故選D.

7.C由題可知，，設(shè)右焦點到漸近線的距離為，由圖可知，.故選C.

8.B所有“重卦”共有種，恰有2個陰爻的情況有種，所以該重卦恰有2個陰爻的概率為.故選B.

9.A由任意兩個實數(shù)，不等式恒成立，得函數(shù)在上單調(diào)遞增.由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，所以不等式化為，解得，所以不等式的解集為.故選A.

10.B由題意，可設(shè)，因為與的圖象關(guān)于軸對稱，所以，則的最小值為，所以，則.對于A，因為的定義域為，而，所以不是奇函數(shù)，圖象不關(guān)于原點對稱，錯誤；對于B，，B正確；對于C，由，得，又在上不單調(diào)，C錯誤；對于D，，不存在，使，故不是圖象的對稱中心，D錯誤.故選B.

11.A由題意，半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，，當(dāng)球的體積最大時，該球的球心即為半正多面體所在正四面體的內(nèi)切球的球心，記球心為.在中，，該半正多面體所在的正四面體的高，設(shè)點到正六邊形所在平面的距離為，過點作于，由幾何知識得，，所以，即，解得，所以當(dāng)球的體積最大時，該球的半徑為，則該球的體積為.故選A.

12.D設(shè)，設(shè)0，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.根據(jù)已知得，可設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.故選D.

13..14.解法一：圓，所以圓心為，半徑為2，設(shè)，由線段的中點為，可得，即有，即，所以點的軌跡方程為.解法二：因為，所以點的軌跡是以為直徑的圓，所以點的軌跡方程為.15.196由，所以.16.89因為，所以，所以，所以，即，所以，則.17.解：（1）結(jié)合及正弦定理得，因為，所以，因為，所以.（2）如圖所示：在中根據(jù)余弦定理得，即，①又因為，所以，因為，所以，將兩邊平方并整理得，②聯(lián)立①②得到，所以，所以的面積為.設(shè)其內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切圓的半徑為.18.解：（1）由題意得，解得.故平均數(shù)為（箱）.（2）由題意，，且，故，所以“優(yōu)質(zhì)群”約有（個），，所以“一級群”約有（個），所以需要資金為（元），故至少需要準(zhǔn)備373400元.19.（1）證明：，由余弦定理，得，.平面平面，又平面，平面.平面.（2）解：以為原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則.，平面的一個法向量為.設(shè)，則.又，即，故.設(shè)平面的一個法向量為，由得取，可得.設(shè)二面角的大小為，由圖可知為鈍角，則，得.故二面角的大小為.20.（1）證明：設(shè)橢圓的半焦距為，因為，所以，又，所以，所以直線，令，解得，所以，所以，所以.（2）解：若點，則，解得，則，所以橢圓方程為.如圖，設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立得，則.直線的方程為，令，得.故在軸上存在一個定點，使得三點共線.21.（1）解：因為，所以.令，所以，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：（i）因為，所以，令，則，令，則，顯然在區(qū)間上，即即在上單調(diào)遞增，所以，所以即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，由零點存在性定理可得：在區(qū)間上存在唯一零點，且在該零點左右兩側(cè)的值符號相反，故在區(qū)間上存在極值點.（ii）由（i）得在上小于0，在上大于0，又當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即，使，又，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，由，得，.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即.22.解：（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為；因為曲線的極坐標(biāo)方